Partiel de Ph´ enom` enes quantiques Lundi 2 Novembre 2015

Licence de Physique Chimie S5 Universit´e Paris-Sud
Ann´ee 2015-2016
Partiel de Ph´enom`enes quantiques
Lundi 2 Novembre 2015
dur´ee : 2 heures
Calculatrices et documents de cours-TD interdits.
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la note.
Quantification de Bohr et puits infini
On consid`ere une particule libre `a une dimension, de masse m, de position xet soumise au
potentiel V(x) = ∞si x < 0 ou x>Let V(x) = 0 si x∈[0, L].
Approche semi-classique
On rappelle la r`egle de quantification de Bohr-Sommerfeld `a une dimension : pour une trajectoire
p´eriodique, l’int´egrale suivante est quantifi´ee :
Ipdx=nh avec n∈N∗
avec pl’impulsion de la particule et Hl’int´egrale sur une p´eriode de la trajectoire.
1. Que repr´esente hdans l’´equation ci-dessus ? Quel est son nom ? Son unit´e ? Quel est son ordre
de grandeur (on donnera le premier chiffre et la puissance de 10 dans les unit´es l´egales) ?
2. En t= 0, la particule est en x= 0 avec une vitesse v > 0. Au bout de quel temps Tla
particule revient en x= 0 ? Tracer la trajectoire x(t) sur une p´eriode.
3. Donner les valeurs possibles de pau cours du temps. D´eduire de la r`egle de quantification
les valeurs possibles vnde la vitesse.
4. Exprimer l’´energie de la particule Een fonction de met v. En d´eduire les ´energies possibles
En.
Par la dualit´e onde-corpuscule
On note kle vecteur d’onde associ´e `a la particule.
5. Quelle est la relation entre pet k?
6. Une fonction d’onde stationnaire du puits infini est de la forme ϕ(x) = Csin(kx +φ) avec
Cet φdeux constantes. Quelles sont les conditions aux limites que ϕ(x) doit satisfaire ? En
d´eduire les valeurs possibles kndu vecteur d’onde.
7. D´eterminer les ´energies possibles Enet comparer aux r´esultats de l’approche semi-classique.
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Saut de potentiel
Questions de cours
On consid`ere une fonction d’onde ψ(x, t) d´ecrivant l’´etat quantique d’une particule de masse m
`a une dimension, de position xet soumise au potentiel V(x) ind´ependant du temps.
1. Comment obtenir la densit´e de probabilit´e p(x) associ´ee `a la pr´esence de la particule en x?
2. Rappeler l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps.
3. Justifier que la fonction d’onde ψ(x, t) = ϕ(x) e−iωt d´ecrit une particule d’´energie Ebien
d´etermin´ee.
a) Comment d´epend-t-elle de ω?
b) Comment appelle-t-on un tel ´etat ?
c) ` A quelle ´equation diff´erentielle ob´eit ϕ(x) ?
R´eflexion quantique
On consid`ere la situation o`u le potentiel est tel que V(x) = V0>0 pour x < 0 et V(x) = 0 pour
x > 0. La particule arrive de la gauche et se propage vers la droite. On suppose que la particule
incidente arrive avec une ´energie E > V0.
4. Repr´esenter le potentiel sur une figure. Que se passe-t-il dans une description classique ?
5. Justifier que la fonction d’onde ϕ(x) solution de l’´equation de Schr¨ odinger stationnaire est
de la forme
ϕ(x) = Ae+ikx +Be−ikx pour x < 0
=A0e+iqx pour x > 0
o`u k,q,A,A0,Bdes coefficients `a d´eterminer.
a) Que repr´esentent les diff´erents termes de ϕ(x) ? Pourquoi n’y a-t-il pas de terme e−iqx ?
b) Exprimer ket qen fonction de m,~,Eet V0?
6. Rappeler les conditions de raccordement des solutions en x= 0. D´eterminer les expressions
des rapports A0/A et B/A en fonction de γ=q
k=rE E−V0
.
7. On rappelle que le courant de probabilit´e associ´e `a une fonction d’onde est J=~
mIm ϕ∗∂ϕ ∂x .
a) Calculer l’expression Jdans les deux r´egions x < 0 et x > 0 en fonction de ~/m,k,q,A,
A0et B. Identifier les courants incident Ji, r´efl´echi Jret transmis Jt.
b) Rappeler la d´efinition des coefficients de r´eflexion Ret transmission Ten fonction des
courants ci-dessus.
c) Montrer les r´esultats suivants : R=γ−1
γ+ 12
, T =4γ
(γ+ 1)2.
d) ´ Etudier les deux cas limites EV0puis E→V0. Qu’y a-t-il de surprenant ?
Cette r´eflexion quantique a ´et´e utilis´ee pour cr´eer des miroirs pour atomes d’Helium tr`es ralentis.
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