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X Maths B MP 2012 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
CONCOURSD’ADMISSION2012 FILIÈREMP
COMPOSITION DEMATHÉMATIQUES–B–(X)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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Valeursd’adhérencedesériesentières surlecercledeconvergence
Lanotationiétant réservée (c’estun nombre complexedontle carré est−1)lescandidats
éviterontdel’utiliseràd’autresfins,parexemple commeindice desuite,desommationou de
produit.
Premièrepartie:convergenceausensdeCésaro
Soit(an)n>0unesuitedenombrescomplexes.On ditqu’elle estC-convergentesi lasuite
(mn)n>0définiepar
∀n>0,mn=a0+a1+···+an
n+1
estconvergente etonappellealorsC-limitede(an)n>0lalimitedelasuite(mn)n>0.
1.Montrerquetoutesuite convergente estC-convergente etdonnerun exempledesuite
C-convergentemaisnonconvergente.
2.Montrerquesi lasuite(an)n>0estC-convergente,alorslim
n→∞
an
n=0.
3.Montrerquepour toutα∈]0,1[, lasuitedetermegénéralan=(−1)nnαestC-convergente.
Si(bn)n>0estunesuitedenombre complexes,on ditquelasérieXbnestC-convergentesi
lasuitedes sommespartiellesdelasérie estC-convergente etlaC-limitedelasuitedes sommes
partielles sera appelée C-limitedelasérie.
SoitXcnznunesérie entièrederayon de convergence R>0.On notepour toutn>0,
Sn(z)=
n
X
k=0
ckzk,σn(z)=S0(z)+S1(z)+···+Sn(z)
n+1.
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X Maths B MP 2012 — Énoncé 2/4
4.Soitz0un nombre complexetelquelasérieXcnzn
0soitC-convergente.Montrerque
|z0|6R.
Siz0∈Cest telqueXcnzn
0estC-convergente,on noteσ(z0)saC-limite.On noteF
l’ensembledesnombrescomplexesdemoduleRpourlesquelslasérie estC-convergente.
5.Pourchacunedes sériesentièresXcnznsuivantes,déterminerlerayon de convergence,
l’ensembleFetlavaleurdeσ(z)pour toutz∈F.
5a.∀n∈N,cn=1.
5b.∀n∈N,c2n=α,c2n+1 =α+β,α,β∈C,β6=0,2α+β6=0.
5c.∀n∈N,cn=1+αeinλ,α∈]0,1[,λ∈R.
Deuxièmepartie:un théorèmedeKronecker
Onrappellequedesnombresréelsx1,... ,xmsontlinéairementindépendants surQs’ils
formentun systèmelibredeRconsidéré commeQ-espace vectoriel.
SoitCb(R,C)leC-espace vectorieldesfonctionscontinuesbornéesdeRdansC.Ilestmuni
delanormedéfiniepour toutefonctionf∈Cb(R,C)par
||f||∞=sup
x∈R|f(x)|.
Siλ∈R,on désignepareλ∈Cb(R,C)lafonction définiepareλ(t)=eiλt.SoitEle
sous-espace deCb(R,C)engendréparlesfonctionseλ,λ∈R.
6a.Montrerquepour toutf∈E, lafonctionx7→ 1
2xZx
−x
f(t)dtadmetunelimitelorsquex
tend vers+∞qu’on noteM(f).Vérifierquef7→ M(f)estuneformelinéaire continuesurE.
6b.Montrerque(eλ)λ∈RestunebasedeEetquepour toutf∈E,M(f)estlacoordonnée
defsuivante0danslabasedes(eλ)λ∈R.
6c.Montrerquesif,g∈Ealorsil enestdemêmedefg.Dansle casoùgestàvaleurs
réellespositives,établirque|M(fg)|6||f||∞M(g).
7.On posepour toutentierN>0,KN=
N
X
j=−NÇ1−|j|
N+1åej.
7a.MontrerqueKN(t)=1+
N
X
j=1
2j
N+1cos((N+1−j)t).
7b.Montrerquepour toutt∈R\2πZ,
sin(N+1
2t)
sin(t
2)=
N
X
k=0
ei(N
2−k)tpuisqueKN(t)=1
N+1ÑsinÄN+1
2tä
sin(t
2)é2
.
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X Maths B MP 2012 — Énoncé 3/4
Danslasuitede cettepartie,onfixeun entiern>1,desnombresréelsλ1,... ,λn,λn+1
linéairementindépendants surQ,desnombresréelspositifsr0,... ,rn+1 etdesnombresréels
α1,... ,αn+1.
Pourj=1,... ,n+1,on poseaj=rjeiαjetpour toutx∈R,f(x)=r0+
n+1
X
j=1
ajeiλjx.
8.Pour toutentierN>0,on posegN(x)=
n+1
Y
p=1
KN(λpx+αp).
8a.ÉcriregNcomme combinaisonlinéairedefonctionseλavec λdelaforme
λ=k1λ1+···+kn+1λn+1,ki∈{−N,... ,N}.
En déduirequeM(gN)=1.
8b.MontrerqueM(fgN)=r0+N
N+1
n+1
X
j=1
rj.
8c.En déduireque||f||∞=
n+1
X
j=0
rj,(on pourrautiliser6c).
9.Soientu1,... ,umdesnombrescomplexesdemodule1etεun réelstrictementpositif.On
supposeque|u1+···+um|>m−ε.Montrerquesik6=jona|uk+uj|>2−εet|uk−uj|62√ε.
Danslasuiteonsupposedeplusqueλn+1 =2π,rj=1pour toutj∈{1,... ,n+1}et
αn+1 =0,desortequef(x)=1+
n
X
j=1
eiαjeiλjx+ei2πx.
10a.Montrerqu’il existeunesuitedenombresréels(xm)m∈Ntellequelim
m→+∞|f(xm)|=n+2.
10b.Montrerqu’unetellesuite(xm)m∈Nvérifiepour toutj∈{1,... ,n},
lim
m→+∞eiλjxm=e−iαj,lim
m→+∞ei2πxm=1.
10c.Posonsxm=Nm+ym,avec ym∈[−1
2,1 2[etNm∈Z.Montrerquelim
m→+∞ym=0,puis
quepour toutj∈{1,... ,n},onalim
m→+∞eiλjNm=e−iαj.
11.Danscettequestion,onconsidèrele casparticulieroùαj=π,pour toutj∈{1,... ,n},
desortequef(x)=1−
n
X
j=1
eiλjx+ei2πx.
11a.Montrerquesur toutintervallefermébornéIdeR,sup
x∈I|f(x)|<n+2.
11b.En déduirel’existence d’unesuite(N′
m)m∈Nd’entiersrelatifstellequelim
m→+∞N′
m=±∞
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X Maths B MP 2012 — Énoncé 4/4
etpour toutj∈{1,... ,n},lim
m→+∞eiλjN′
m=−1.Quepeut-on diredes suites(ei2λjN′
m)m∈N?
12.Déduirede ce quiprécèdelethéorèmesuivant.
ThéorèmedeKronecker.Soientλ1,... ,λndesréelstelsqueλ1,... ,λn,πsontlinéaire-
mentindépendants surQ.Soientα1,... ,αndesréels.Alorsil existeunesuite(Nm)m∈Nd’entiers
naturelstelsquelim
m→+∞Nm= +∞etpour toutj∈{1,... ,n},lim m→+∞eiλjNm=eiαj.
Troisièmepartie:valeursd’adhérenceauxpointsdeC-convergence
Onrappellequeℓestunevaleurd’adhérence delasuite(un)n∈Ns’il existeuneapplication
strictementcroissanteφ:N→Ntellequeℓ=lim
n→+∞uφ(n).
Lesvaleursd’adhérence d’unesériesontcellesdelasuitedeses sommespartielles.SiXcnzn
estunesérie entière etz0∈C,on noteL(z0)l’ensembledesvaleursd’adhérence delasé-
rieXcnzn
0.Danscettepartie,onétudiel’ensembleL(z0),z0∈F,pourlesexemplesdela
question5.LesnotationsF,σ(z)sontcellesdelapremièrepartie.
13a.Onreprend l’exemple5a.DéterminerL(eix), lorsquex
π∈Q.Lorsquex π/∈Q,montrer
queL(eix)estun cerclede centreσ(eix)donton détermineralerayon.
13b.Onreprend l’exemple5b.Onsupposequex
π/∈Q,α6=0etβ
α/∈R.MontrerqueL(eix)
est réunion dedeuxcerclesde centreσ(eix)donton détermineralesrayons.
13c.Onreprend l’exemple5c.Onsupposequelesnombresx,λ,πsontlinéairementindé-
pendants surQ.Montrerquepourα>0suffisammentpetit,
L(eix)={ζ∈C;|ζ−σ(eix)|∈[r1,r2]}
pourdesréels0<r1<r2quel’on déterminera.
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