Nombres complexes Forme algébrique d’un nombre complexe 1)Definition Il existe un ensemble de nombres, appelé ensemble des nombres complexes et noté c, vérifiant les propriétés suivantes : 1. c contient IR 2. c contient un nombre noté i vérifiant i 1 2 3. L'addition et la multiplication ont les même propriétés de calcul dans c et dans IR. Propriétés : Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z a ib , a et b étant deux réels. a est la partie réelle de z : a Re( z ) et b est la partie imaginaire de z : b = Im( z ) z a ib est la forme algébrique de z Operations dans c. Pour tous réels a, b, a' et b' Addition . (a ib) (a'ib' ) (a a' ) i(b b' ) . Multiplication (a ib).(a'ib' ) (aa'bb' ) i(ab'ba' ) . Inverse d’un complexe non nul. Si de plus a 0 et b 0 : 1 1.(a ib) a ib 2 a ib (a ib )(a ib) a b 2 Conjugué : On appelle conjugué du nombre complexe z a ib le nombre complexe noté z , défini par z a ib z est réel si et seulement si z z , z est imaginaire pur si et seulement si z z . Propriétés : a Re( z ) zz zz et b Im( z ) 2 2 « Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tous nombres complexes z et z ' et n IN 1 z Pour tout nombre complexe non nul z, : z z ' z z ' ; z.z ' z.z ' et z n z n 1 z' z' et z z z Exemple. Pour a réel et z complexe 5 ai 2 z 5 ai 2 z 3 ; (a 3i)2 (1 ai)7 (a 3i)2 (1 ai)7 z 4 1 3ai z ( z 1 3aiz )3 et 1 iz (1 i z )3 4 . 2) REPRESENTATION GEOMETRIQUE Mr Raouf Ben Mansour Complexes Bac sx et T Page 1 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o, u, v) A tout nombre complexe z a ib est associé l'unique point M (a, b) On dit alors que z est l'affixe de M. on note z M y M(z=a+ib) b A tout vecteur du plan w est associé 1 nombre complexe z w i l’affixe de w v Si I A * B alors z I 0 u 1 a x RBM un unique z A zB 2 Si w 0 v, w sont colinéaires vw zv zw zv zw est réel est imaginaire pure Opposé, conjugué d’un nombre complexe Affixe du vecteur AB y 1 O 0 1 x RBM z est réel M( z ) est sur l'axe des abscisses. z 0 ,z est imaginaire pure M( z ) est sur l'axe des ordonnées privé de l’origine. L’affixe du vecteur AB est z AB z B z A z u v zu zv Forme trigonométrique d’un nombre complexe Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o, u, v) 1)Module : Mr Raouf Ben Mansour Complexes Bac sx et T Page 2 Prop : z z z 2 Si les points A ( z A ) et B ( zB ) alors AB= z B z A «Le module marche bien avec la multiplication» Pour tous nombres complexes z et z ' et n IN : z.z ' z . z ' et z n z Pour tout nombre complexe non nul z, et Soit M ( z x iy ) le module de z est : Def z' z' z z Pour tous nombres complexes z et z′, z z' z z' 1 3 i1 3 1 3 1 3 2 1 ai 1 a2 1 Pour a réel 1 ai 1 (a) 2 2 (inégalité triangulaire) 1 2 3 3 1 2 3 3 2 2 ; 2)Argument d’un nombre complexe non nul: Soit z 0 et M(z) On appelle argument de z une mesure y en radian de l’angle orienté (u, OM ) arg z (u, OM )2 M Prop : Pour z1 et z 2 non nuls et n 1 v O0 A 1 u arg( z1.z2 ) arg z1. arg z2 k 2 arg arg( x RBM 1 z1 arg z1 k 2 z2 ) arg z2 arg z1 k 2 z1 arg z1 n arg z1 k 2 n . . Exemple Z 5 -3 2i -4i 1+i -1-i -1+i argz Mr Raouf Ben Mansour 1 1 z z «Le module ne marche pas bien avec l’addition» z OM r x 2 y 2 Exemple. n Complexes Bac sx et T Page 3 3)Forme trigonométrique et exponentielle y M (z=x+iy) y Forme Ecriture de z Algébrique x iy Polaire r, Trigonométrique r (cos i sin ) Exponentielle rei 1 r v r z x2 y2 0 O u 1 x x RBM arg z est tel que : cos x y et sin r r Les points remarquables du cercle trigonométrique Mr Raouf Ben Mansour Complexes Bac sx et T Page 4 4)Vision géométrique z AB z B z A affixe d’un vecteur B A Longueur d’un AB= z B z A B segment A angle entre u et AB B (u, AB ) arg( z B z A ) k 2 A (v, w) arg( angle entre deux zw zv u ) arg z w arg z v k 2 w vecteurs ( AB, CD) arg( z D zC ) k 2 zB z A v Racine nieme et Le second degré cherche z une racine carré( resp 3ieme) de Z revient a résoudre l’équation : z2=Z (resp z3=Z) z a ae 2 i z ae i z a ae 2 n i z n ae 2 k i n Pour résoudre l’équation az 2 bz c 0 , a, b et c étant des nombres complexes ,avec a 0 , on calcule le discriminant b 2 4ac puis on cherche une racine carré de 2 les solutions sont z ' b b ; z' ' 2a 2a Conséquences az 2 bz c a( z z ' )( z z ' ' ) Si a b c 0 alors z ' 1 et z ' ' c a S z ' z ' ' Complexes P z '.z ' ' c a Si a b c 0 alors z ' 1 et z ' ' Si z ' m est une solution alors l ' autre solution est z ' ' Mr Raouf Ben Mansour b a c a P m Bac sx et T Page 5