2012 Mathématiques 2 MP 4 heures

Centrale Maths 2 MP 2012 — Énoncé 1/4
2012
Mathématiques2
MP
4heuresCalculatricesautorisées
Cesujetestdivisé entroisparties.La partieIII estindépendantedesdeuxpremières(mêmesi lespartiesII et
III ontencommun des’intéresseràdesmatricesditesdeHankel).
Ilestattendudes candidat(e)squ’ilsfassentpreuve dequalités derédaction,declartéet deprésentation.
Notations
Danstoutleproblème,KdésigneindifféremmentRou C.
On noteKNl’espacevectorieldes suitesàvaleursdansK.
PourtoutespacevectorielEsurK,on noteL(E)l’algèbredesendomorphismesdeE.
On noteσl’élémentdeL(KN)quiàtoutx=(xn)n∈NdeKNassociey=(yn)n∈NdansKNdetermegénéral
yn=xn+1.
On noteK[X]l’algèbredespolynômesàcoefficientsdansK,etKm[X]lesous-espacevectorieldeK[X]formé
despolynômesdedegréinférieurou égal àm.
Onrappellequ’un polynômenon nulestditunitairesi le coefficientdeson monômedeplushautdegrévaut1.
On noteMn(K)l’algèbredesmatricescarréesd’ordrenàcoefficientsdansK.
SiMestunematrice carrée,on notetMsatransposée et tr(M)satrace.
On noteSn(R)l’ensembledesmatricescarrées symétriquesd’ordrenàcoefficientsréels.
Rappels surlespolynômesd’endomorphisme
Oneffectueiciquelquesrappelsutiles surlespolynômesd’endomorphismed’un espacevectoriel.
SoitEun espacevectorielsurK.On noteIdl’endomorphismeidentitédeE.
PourtoutfdeL(E),et toutA=
p
Ø
k=0
akXkdeK[X],on noteA(f)=
p
Ø
k=0
akfk(avec laconvention f0=Id).
PourtoutfdeL(E), l’application AÔ→ A(f)estalorsun morphismed’algèbres deK[X]dansL(E).
Rappelonsque celasignifieque,pourtousA,BdeK[X]etpourtous scalairesα,βdeK,on a:
−(αA+βB)(f)=αA(f)+βB(f);
−siA=1,alorsA(f)=Id;
−(AB)(f)=A(f)◦B(f)=B(f)◦A(f).
Cas particulier(utiledanslasuitedu problème):
−SiE=KN,f=σetA=
p
Ø
k=0
akXk,alorsA(σ)=
p
Ø
k=0
akσk.
−PourtoutxdeKN,y=A(σ)(x)estdonclasuitedetermegénéral yn=
p
Ø
k=0
akxn+k.
ISuitesrécurrenteslinéaires
Soitpun entiernaturel.
On ditqu’un élémentxdeKNestunesuiterécurrentelinéaire(enabrégé unesrl)d’ordrep>0s’il existeun
polynômeA=
p
Ø
k=0
akXkdansK[X]dedegrép,telqueA(σ)(x)soitlasuitenulle,c’est-à-diresi :
∀n∈N
p
Ø
k=0
akxn+k=apxn+p+ap−1xn+p−1+··· +a1xn+1 +a0xn=0(I.1)
On ditquelarelation I.1(danslaquelle,rappelons-le,apestnon nul)estunerelation derécurrence linéaire
d’ordrep,dontAestun polynôme caractéristique.
L’ensembledes suitesxdeKNquiobéissentàI.1estnotéRA(K).
On noteR(K)l’ensembledetoutesles suitesrécurrenteslinéaires,quelquesoitleurordre(autrementdit,R(K)
estlaréunion desRA(K)pourtouslespolynômesAnon nulsdansK[X]).
I.A–Ordre(etpolynôme)minimald’une suite récurrente linéaire
Soitxunesuiterécurrentelinéaire.
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Centrale Maths 2 MP 2012 — Énoncé 2/4
Montrerquel’ensembleJxdespolynômesAtelsqueA(σ)(x)=0estun idéal deK[X],non réduità{0}.
Onrappellequ’il enrésultedeuxchoses:
−d’unepart, il existedansJxun uniquepolynômeunitaireBdedegréminimal ;
−d’autrepart, lesélémentsdeJxsontlesmultiplesdeB.
Par définition,on ditqueBestlepolynômeminimaldelasuitex,queledegrédeBestl’ordreminimaldex,
etquelarelation B(σ)(x)=0estlarelationderécurrence minimaledex.
I.B–Quelquesexemples
I.B.1) DansKN,quelles sontles suitesrécurrenteslinéairesd’ordre0?d’ordre1?
Quelles sontles suitesdeKNdontlepolynômeminimal est(X−1)2?
I.B.2) Onconsidèrelasuitexdéfiniepar x0=0,x1=−1,x2=2etpar larelation derécurrence linéaire
d’ordre3:∀n∈N,xn+3 =−3xn+2 −3xn+1 −xn.
Déterminerlepolynômeminimal (etdoncl’ordreminimal)delasuitex.
I.C–L’espace vectorielRA(K)etdeuxcasparticuliers
SoitA=
p
Ø
k=0
akXkun élémentdeK[X],dedegrép>0,quesansperdredegénéralitéon supposeunitaire.
I.C.1) ProuverqueRA(K)estun sous-espacevectorieldedimension pdeKNetqu’il eststablepar σ(on ne
demandepas icidedéterminerunebasedeRA(K),car c’estl’objetdesquestions suivantes).
I.C.2) DéterminerRA(K)quandA=Xp(avec p>1)eten donnerunebase.
I.C.3) Danscettequestion,on supposep>1etA=(X−λ)p,avec λdansK∗.
On noteEA(K)l’ensembledesxdeKNdetermegénéral xn=Q(n)λn,où QestdansKp−1[X].
a)MontrerqueEA(K)estun sous-espacevectorieldeKNdonton préciseraladimension.
b) Montrerl’égalitéRA(K)=EA(K).
I.D–ÉtudedeRA(K)quand AestscindésurK
Danscettequestion,on supposequelepolynômeAestscindésurK.
Plusprécisément,on noteA=Xm0
d
Ù
k=1
(X−λk)mk,où :
−les scalairesλ1,λ2,...,λdsontlesracinesnon nulles distinctes éventuelles deAdansK,etm1,m2,...,md
sontleursmultiplicitésrespectives(supérieuresou égalesà1).SiAn’apas deracinenon nulle,on convient
qued=0etque
d
Ù
k=1
(X−λk)mk=1;
−l’entierm0estlamultiplicitéde0commeracineéventuelledeA.Si0n’estpasracinedeA,on adoptela
convention m0=0.
Avec cesnotations,on a
d
Ø
k=0
mk=degA=p.
En utilisantlethéorèmededécomposition desnoyaux,montrerqueRA(K)estl’ensembledes suitesx=(xn)n>0
deKNtellesque:
∀n>m0,xn=
d
Ø
k=1
Qk(n)λn
k
où,pourtoutkde{1,...,d},QkestdansK[X]avec degQk<mk.
Remarque:sid=0, lasomme
d
Ø
k=1
Qk(n)λn
kestpar convention égaleà0.
II MatricesdeHankelassociéesàunesuiterécurrentelinéaire
SoitxdansKN.PourtoutentierndeN∗,on noteHn(x)lamatrice deMn(K)définiepar
∀(i,j)∈{1,...,n}2,[Hn(x)]i,j=xi+j−2
Onapar exempleH2(x)=3x0x1
x1x24,H3(x)=
x0x1x2
x1x2x3
x2x3x4
etH4(x)=
x0x1x2x3
x1x2x3x4
x2x3x4x5
x3x4x5x6
.
Onidentifietoutematrice deMn(K)avec l’endomorphismedeKnqui luiestassociédanslabase canonique.
OnidentifiedemêmetoutélémentdeKnavec lamatrice-colonnequi luicorrespond.
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Centrale Maths 2 MP 2012 — Énoncé 3/4
II.A–Calculdurang deHn(x)quand xestune suite récurrente linéaire
Danscettesection,xestunesuiterécurrentelinéaired’ordreminimalp>1etdepolynômeminimal B.
II.A.1) Montrerquelafamille(σk(x))06k6p−1estunebasedeRB(K).
En déduire,pourtoutndeN∗, lerangdelafamille(σk(x))06k6n−1.
II.A.2) Montrerquesin>p, l’application ϕn:;RB(K)→Kn
vÔ→ (v0,...,vn−1)estinjective.
En déduirequesin>p,alorsrang(Hn(x)) =p.
Remarque: il estclairque ce résultat restevrai sip=0(car lasuitexetlesmatricesHn(x)sontnulles).
II.B–Déterminationdelarécurrenceminimaled’une suite récurrente linéaire
Soitxunesuiterécurrentelinéairenon nulle,d’ordrem>1.Soitp=rang(Hm(x)).
II.B.1) Montrerquexestd’ordreminimal petquelenoyau deHp+1(x)estunedroitevectorielledontun
vecteurdirecteurpeuts’écrire(b0,...,bp−1,1),où b0,...,bp−1sontdansK.
II.B.2) Avec cesnotations,montrerquelepolynômeminimal dexestB=Xp+bp−1Xp−1+···+b1X+b0.
II.C–Étuded’unexemple
Danscettequestion,on considèrelasuitex=(xn)n>0définiepar
x0=1,x1=1,x2=1,x3=0,et∀n∈N,xn+4 =xn+3 −2xn+1
II.C.1) Danslelangage informatiquedevotre choix(quevouspréciserez),écrireuneprocédure(ou fonction)
deparamètreun entiernaturelnetrenvoyantlaliste(ou laséquence,ou levecteur)desxkpour06k6n.
II.C.2) PréciserlerangdeHn(x)pourtoutentierndeN∗etindiquerl’ordreminimal delasuitex.
II.C.3) Déterminerlarelation derécurrence minimaledelasuitex.
II.C.4) Donneruneformulepermettantpourtoutn>1de calculerdirectementxn.
II.C.5) On décidedemodifieruniquementlavaleurdex0,en posantcettefoisx0=1
2.
Avec cettemodification,reprendrerapidementl’étudedesquestionsII.C.2etII.C.3.
III ValeurspropresdesmatricesdeHankelréelles
Danstoute cettepartie,ndésigneun entiersupérieurou égal à3.
On notep=[(n+1)/2] lapartie entièrede(n+1)/2.
Onadoncn=2psinestpair,etn=2p−1sinestimpair.
Rnestmunidesastructure euclidienne canoniquedontleproduitscalaire estnotéé·,·êetlanormeassociée
estnotée ë·ë.
Un élémentdex=(x1,...,xn)deRnestditordonnés’il vérifiesix1>x2>. . . >xn.
On ditqu’unematrice M=(mi,j)16i,j6ndeMn(R)estunematrice deHankel s’il existea=(a0,...,a2n−2)∈
R2n−1telquepourtousietjde{1,...,n},mi,j=ai+j−2.Unetellematrice estnotée M=H(a).
III.A–Préliminaires
III.A.1) MontrerquesiMestunematrice deHankeldetaillenalorselleadmetnvaleurspropresréelles
λ1,...,λn(chacune étantrépétée autantdefoisquesamultiplicité)quel’on peutclasserdansl’ordredécroissant
λ1>λ2>. . . >λn.
On notealorsSpo(M)=(λ1,...,λn)lespectreordonnédelamatrice M,c’est-à-direlen-upletordonnédes
valeurspropresdeM.
Ons’intéresseau problèmesuivant:àquellesconditionsun n-upletordonnéderéelspeut-il êtrelen-uplet
ordonnédesvaleurspropresd’unematrice deHankeldetaillen?
III.A.2) Montrerquesiλ∈R∗alorslen-uplet(λ,...,λ)n’estpas len-upletordonnédesvaleurspropres
d’unematrice deHankeldetaillen.
III.B–Une première conditionnécessaire
Soita=(a0,...,a2n−2)un élémentdeR2n−1etM=H(a).On noteSpo(M)=(λ1,...,λn).
On définitdeux vecteursv=(v1,...,vn)etw=(w1,...,wn)deRnpar
vi=√2i−1a2(i−1)etwi=1
√2i−1sii∈{1,...,p}
vi=√2n−2i+1a2(i−1)etwi=1
√2n−2i+1sii∈{p+1,...,n}
On pose enfin Kn=n−ëwë2.
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Centrale Maths 2 MP 2012 — Énoncé 4/4
III.B.1) Montrerque
n
Ø
i=1
λi=
n−1
Ø
k=0
a2ket
n
Ø
i=1
λ2
i=
n−1
Ø
k=0
(k+1) a2
k+
2n−2
Ø
k=n
(2n−k−1) a2
k
III.B.2) Montrerqueév,wê=
n
Ø
i=1
λietëvë26
n
Ø
i=1
λ2
i.
III.B.3) MontrerqueØ
16i<j6n
(λi−λj)2=n
n
Ø
i=1
λ2
i−év,wê2eten déduirel’inégalité:
Ø
16i<j6n
(λi−λj)2>Kn
n
Ø
i=1
λ2
i(III.1)
III.B.4) Vérifierquesin=3, lacondition III.1équivautà:2(λ2
1+λ2 2+λ2
3)>3(λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3).
III.C–D’autresconditions nécessaires
Danscettepartie,on admet lerésultat suivant:siAetBsontdeuxmatricesdeSn(R)dontlesvaleurspropres
respectives(avec répétitionséventuelles)sontα1>. . . >αnetβ1>. . . >βnalors
n
Ø
i=1
αiβn+1−i6tr(AB)6
n
Ø
i=1
αiβi(III.2)
SoitB=(bi,j)16i,j6nlamatrice deMn(R)définiepar
b1,2p−1=1b2p−1,1=1bp,p=−2
touslesautrescoefficientsdeBétantnuls(on rappellequepdésignelapartie entièrede(n+1)/2).
III.C.1) Déterminerlespectreordonnédelamatrice B.
III.C.2) Soita=(a0,...,a2n−2)un élémentdeR2n−1etM=H(a).
On noteSpo(M)=(λ1,...,λn).
Établirque
λ1−λn−1−2λn>0et2λ1+λ2−λn>0(III.3)
III.D–Casn=3
Soientλ1,λ2,λ3troisréelsvérifiant
λ1>λ2>λ3λ1−λ2−2λ3>0 2λ1+λ2−λ3>0
On définitlamatrice deHankelM=H(a,b,c,b,a)=
abc
bcb
cba
,où a,b,csontréels.
III.D.1) CalculerlesvaleurspropresdeM(sanschercheràlesordonner).
III.D.2) Explicitera,b,c(avec b>0)enfonction deλ1,λ2,λ3,detellesortequeSpo(M)=(λ1,λ2,λ3).
III.D.3) Quepeut-on déduiredu résultat précédent,quantàlacondition III.3dansle cas n=3?
En utilisantun tripletordonné(λ,1,1),montrerquepourn=3, lacondition III.1n’estpas suffisante.
• • • FIN• • •
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