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CCP Maths 2 MP 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Frédéric Mazoit (Enseignant-chercheur à l’université) ;
il a été relu par Denis Ravaille (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet de géométrie est de difficulté moyenne et peut être traité entièrement
dans le temps imparti. Le thème central, les matrices de Gram, est très souvent
abordé dans les sujets de géométrie ou d’algèbre, ce qui fait de cet énoncé un très
bon entraînement aux écrits des concours. Il comprend quatre parties largement
indépendantes et les résultats nécessaires à la suite du sujet sont fournis dans l’énoncé
lorsqu’il y en a besoin.
• La première partie sert à établir des propriétés utilisées dans les parties suivantes. Elle donne notamment une interprétation géométrique des matrices de
Gram.
• Dans la deuxième partie, on étudie à quelles conditions une sphère de dimension n admet des familles de p points tous à égale distance les uns des autres,
puis on applique les résultats trouvés au cas de la dimension 3.
• La troisième partie porte sur les ellipses et plus précisément sur les théorèmes
d’Apollonius :
Étant donné une ellipse C de centre O et un point M0 de C, la parallèle
à la tangente à C en M0 passant par O coupe l’ellipse en deux points
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
M1 et M2 . On dit que OM0 et OM1 (ou OM0 et OM2 ) sont des
diamètres conjugués.
M1
M0
O
C
M2
– OM0 2 + OM1 2 est constant quand M0 décrit C.
– L’aire du parallélogramme qui s’appuie sur OM0 et OM1 est
constante.
• Enfin, dans la quatrième partie, on montre, à l’aide des matrices de Gram,
qu’une isométrie entre deux ensembles finis de points de Rn peut toujours se
prolonger en une isométrie de Rn .
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Indications
Première partie
t
1.b Faire apparaître un produit de la forme B B. Utiliser le théorème du rang.
3.b Utiliser une propriété du déterminant des matrices symétriques.
−→ −→ −→
4 Calculer Γ OA, OB, OC .
5.b Commencer par calculer (x − z | y), (x | z) et (z | z) en utilisant la propriété
(x | y)
y.
du cours suivante : le projeté de x sur Vect(y) est
(y | y)
−→ −→
5.c Distinguer le cas où AB et AC sont orthogonaux du cas général.
6.a Utiliser la question 2. Le volume du parallélépipède « formé par A, B, C et D »
−→ −→ −→
est det AB, AC, AD .
Deuxième partie
7.b Trouver une base de vecteurs propres.
7.c Faire apparaître une application du résultat de la question 7.b.
8.a Appliquer le résultat de la question 3.a.
8.b Appliquer le résultat de la question 3.b. Pour montrer que m 6 n + 1, utiliser
le premier critère de la question pour montrer que les familles (x1 , x2 , . . . , xm )
et (x1 , x2 , . . . , xm−1 ) ne peuvent pas être simultanément liées.
9 À l’aide des hypothèses sur la famille (A1 , A2 , . . . , Am ), déterminer m puis t.
Interpréter géométriquement.
10.b Calculer les produits scalaires (xi | xj ) pour (i, j) ∈ [[ 1 ; 3 ]].
10.c Utiliser les résultats des questions 10.a et 10.b.
Troisième partie
11 Exprimer B en fonction de A et P. Calculer la trace des deux matrices.
1/a2
0
12.a Faire intervenir la matrice D =
.
0
1/b2
12.c Une équation de la tangente à une courbe C au point M0 est
−−→ −−−→ (OM − OM0 ∇C(M0 ) = 0
12.d.i Appliquer le résultat de la question 11 aux vecteurs définis à la question 12.b.
Quatrième partie
13.a Montrer la propriété pour les vecteurs de base.
13.b Pour montrer que yi − u(xi ) ∈ W⊥ , en utilisant
le résultat de la question 13.a,
calculer les produits scalaires yi − u(xi ) yj .
14.b Une application affine ϕ : E 7→ E est une isométrie si et seulement si
∀(A, B) ∈ E2
d(A, B) = d ϕ(A), ϕ(B)
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I. Généralités
t
1.a Soit Y ∈ Mn,1 telle que Y Y = 0. En notant (yi,1 )i∈[[ 1 ; n ]] les coefficients de Y
et (z1,i )i∈[[ 1 ; n ]] ceux de sa transposée, on obtient
t
YY =
n
P
z1,k yk,1 =
k=1
n
P
(yk,1 )2
k=1
On en déduit que chaque terme yk,1 est nul et donc
La matrice Y est nulle.
On peut aussi aborder la question en disant qu’une matrice Y de Mn,1 peut
t
être considérée comme un vecteur de Rn et que Y Y est alors le produit
t
scalaire canonique de Y avec Y. Donc si Y Y est nul, par définition du
produit scalaire, Y = 0.
t
t
1.b Soit X un vecteur de Ker ( A A). Comme ( A A)X = 0, on a
t
t
t
X( A A)X = (AX)(AX) = 0
Le résultat de la question 1.a permet alors de conclure que AX = 0 et donc que X
appartient à Ker (A). Finalement,
t
Ker ( A A) ⊆ Ker (A)
Comme par ailleurs, tout vecteur X de Ker (A) vérifie AX = 0 et donc
t
t
t
( A A)X = A(AX) = A 0 = 0
les noyaux de A et de t A A sont égaux.
D’après le théorème du rang, si ϕ : E 7→ F est une application linéaire,
dim Ker (ϕ) + rg (ϕ) = dim(E)
t
Or, les applications linéaires associées aux matrices A et A A ont toutes les deux le
même ensemble de définition (Rn ) et nous venons de montrer qu’elles ont le même
noyau. Par conséquent,
t
∀A ∈ Mn,p (R)
rg (A) = rg ( A A)
2 Pour i ∈ [[ 1 ; p ]], les coordonnées du vecteur xi dans la base B sont, par définition,
les coefficients (ak,i )k∈[[ 1 ; n ]] . On en déduit que
P
n
n
P
(xi | xj ) =
ak,i ek |
al,j el
=
=
(xi | xj ) =
k=1
l=1
n P
n
P
(ak,i ek | al,j el )
k=1l=1
n P
n
P
ak,i al,j (ek | el )
k=1l=1
n
P
ak,i ak,j
k=1
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n
P
t
car B est orthonormale. Par ailleurs, ( A A)i,j =
ak,i ak,j donc
k=1
t
G(x1 , x2 , . . . , xn ) = A A
De plus, d’après le résultat de la question 1.b, rg (A) = rg ( t A A). Par conséquent,
rg G(x1 , x2 , . . . , xp ) = rg (x1 , x2 , . . . , xp )
3.a Comme n = p, la matrice A définie à la question 2 est telle que
A est inversible ⇐⇒ rg (A) = p = n
⇐⇒ la famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est libre
D’après le résultat de la question 2,
On en déduit que
rg (A) = rg G(x1 , x2 , . . . , xn )
A est inversible ⇐⇒ G(x1 , x2 , . . . , xn ) est inversible
⇐⇒ Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) 6= 0
Et au final,
La famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est liée si et seulement si Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0.
t
3.b On a démontré à la question 2 que G(x1 , x2 , . . . , xn ) = A A. Par conséquent,
t
Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) = det( A A)
t
= det( A) det(A)
= det(A)2
Et donc
Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) > 0
Or on vient de montrer que la famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est liée si et seulement si
Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0. On en déduit donc que
La famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est libre si et seulement si Γ(x1 , x2 , . . . , xn ) > 0.
4 Les points A, B et C étant sur la sphère unité, on a
−→
−→
−→
kOAk = kOBk = kOCk = 1
−→ −→ −→ −→
−→ −→
Les produits scalaires (OA | OB), (OB | OC) et (OC | OA) sont donc respectivement
égaux aux cosinus des angles α, β et γ. Par conséquent,


1
cos α cos γ
−→ −→ −→
1
cos β 
G(OA, OB, OC) = cos α
cos γ cos β
1
−→ −→ −→
En développant le déterminant Γ(OA, OB, OC) selon la première colonne, on obtient
1
cos α cos γ −→ −→ −→
cos β + cos γ cos α cos γ Γ(OA, OB, OC) = −
cos
α
cos β
1
cos β
1
1
cos β = 1 + 2 cos α cos β cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ
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