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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/17
CCP Maths 2 MP 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Frédéric Mazoit (Enseignant-chercheur à l’université) ;
il a été relu par Denis Ravaille (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet de géométrie est de difficulté moyenne et peut être traité entièrement
dans le temps imparti. Le thème central, les matrices de Gram, est très souvent
abordé dans les sujets de géométrie ou d’algèbre, ce qui fait de cet énoncé un très
bon entraînement aux écrits des concours. Il comprend quatre parties largement
indépendantes et les résultats nécessaires à la suite du sujet sont fournis dans l’énoncé
lorsqu’il y en a besoin.
•La première partie sert à établir des propriétés utilisées dans les parties sui-
vantes. Elle donne notamment une interprétation géométrique des matrices de
Gram.
•Dans la deuxième partie, on étudie à quelles conditions une sphère de dimen-
sion nadmet des familles de ppoints tous à égale distance les uns des autres,
puis on applique les résultats trouvés au cas de la dimension 3.
•La troisième partie porte sur les ellipses et plus précisément sur les théorèmes
d’Apollonius :
Étant donné une ellipse Cde centre Oet un point M0de C, la parallèle
à la tangente à Cen M0passant par Ocoupe l’ellipse en deux points
M1et M2. On dit que −−−→ OM0et −−−→ OM1(ou −−−→ OM0et −−−→ OM2) sont des
diamètres conjugués.
M0
M2
M1
C
O
–OM02+ OM12est constant quand M0décrit C.
– L’aire du parallélogramme qui s’appuie sur OM0et OM1est
constante.
•Enfin, dans la quatrième partie, on montre, à l’aide des matrices de Gram,
qu’une isométrie entre deux ensembles finis de points de Rnpeut toujours se
prolonger en une isométrie de Rn.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/17
Indications
Première partie
1.b Faire apparaître un produit de la forme tB B. Utiliser le théorème du rang.
3.b Utiliser une propriété du déterminant des matrices symétriques.
4 Calculer Γ−→ OA,−→ OB,−→ OC.
5.b Commencer par calculer (x−z|y),(x|z)et (z|z)en utilisant la propriété
du cours suivante : le projeté de xsur Vect(y)est (x|y)
(y|y)y.
5.c Distinguer le cas où −→ AB et −→ AC sont orthogonaux du cas général.
6.a Utiliser la question 2. Le volume du parallélépipède « formé par A,B,Cet D»
est det−→ AB,−→ AC,−→ AD.
Deuxième partie
7.b Trouver une base de vecteurs propres.
7.c Faire apparaître une application du résultat de la question 7.b.
8.a Appliquer le résultat de la question 3.a.
8.b Appliquer le résultat de la question 3.b. Pour montrer que m6n+ 1, utiliser
le premier critère de la question pour montrer que les familles (x1, x2,...,xm)
et (x1, x2,...,xm−1)ne peuvent pas être simultanément liées.
9 À l’aide des hypothèses sur la famille (A1,A2,...,Am), déterminer mpuis t.
Interpréter géométriquement.
10.b Calculer les produits scalaires (xi|xj)pour (i, j)∈[[ 1 ; 3 ]].
10.c Utiliser les résultats des questions 10.a et 10.b.
Troisième partie
11 Exprimer Ben fonction de Aet P. Calculer la trace des deux matrices.
12.a Faire intervenir la matrice D = 1/a20
0 1/b2.
12.c Une équation de la tangente à une courbe Cau point M0est
(−−→
OM −−−−→ OM0
∇C(M0)= 0
12.d.i Appliquer le résultat de la question 11 aux vecteurs définis à la question 12.b.
Quatrième partie
13.a Montrer la propriété pour les vecteurs de base.
13.b Pour montrer que yi−u(xi)∈W⊥, en utilisant le résultat de la question 13.a,
calculer les produits scalaires yi−u(xi)
yj.
14.b Une application affine ϕ: E 7→ Eest une isométrie si et seulement si
∀(A,B) ∈E2d(A,B) = dϕ(A), ϕ(B)
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/17
I. Généralités
1.a Soit Y∈ Mn,1telle que tY Y = 0. En notant (yi,1)i∈[[ 1 ; n]] les coefficients de Y
et (z1,i)i∈[[ 1 ; n]] ceux de sa transposée, on obtient
tY Y =
n
P
k=1
z1,kyk,1=
n
P
k=1
(yk,1)2
On en déduit que chaque terme yk,1est nul et donc
La matrice Yest nulle.
On peut aussi aborder la question en disant qu’une matrice Yde Mn,1peut
être considérée comme un vecteur de Rnet que tY Y est alors le produit
scalaire canonique de Yavec Y. Donc si tY Y est nul, par définition du
produit scalaire, Y = 0.
1.b Soit Xun vecteur de Ker ( tA A). Comme (tA A)X = 0, on a
tX( tA A)X = t(AX)(AX) = 0
Le résultat de la question 1.a permet alors de conclure que AX = 0 et donc que X
appartient à Ker (A). Finalement,
Ker ( tA A) ⊆Ker (A)
Comme par ailleurs, tout vecteur Xde Ker (A) vérifie AX = 0 et donc
(tA A)X = tA(AX) = tA 0 = 0
les noyaux de Aet de tA A sont égaux.
D’après le théorème du rang, si ϕ: E 7→ Fest une application linéaire,
dimKer (ϕ)+ rg (ϕ) = dim(E)
Or, les applications linéaires associées aux matrices Aet tA A ont toutes les deux le
même ensemble de définition (Rn) et nous venons de montrer qu’elles ont le même
noyau. Par conséquent,
∀A∈ Mn,p(R) rg (A) = rg ( tA A)
2Pour i∈[[ 1 ; p]], les coordonnées du vecteur xidans la base Bsont, par définition,
les coefficients (ak,i)k∈[[ 1 ; n]]. On en déduit que
(xi|xj) = n
P
k=1
ak,iek|
n
P
l=1
al,j el
=
n
P
k=1
n
P
l=1
(ak,iek|al,j el)
=
n
P
k=1
n
P
l=1
ak,ial,j (ek|el)
(xi|xj) =
n
P
k=1
ak,iak,j
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/17
car Best orthonormale. Par ailleurs, (tA A)i,j =
n
P
k=1
ak,iak,j donc
G(x1, x2,...,xn) = tA A
De plus, d’après le résultat de la question 1.b, rg (A) = rg ( tA A). Par conséquent,
rg G(x1, x2,...,xp)= rg (x1, x2,...,xp)
3.a Comme n=p, la matrice Adéfinie à la question 2 est telle que
Aest inversible ⇐⇒ rg (A) = p=n
⇐⇒ la famille (x1, x2,...,xn)est libre
D’après le résultat de la question 2,
rg (A) = rg G(x1, x2,...,xn)
On en déduit que
Aest inversible ⇐⇒ G(x1, x2,...,xn)est inversible
⇐⇒ Γ(x1, x2,...,xn)6= 0
Et au final,
La famille (x1, x2,...,xn)est liée si et seulement si Γ(x1, x2,...,xn) = 0.
3.b On a démontré à la question 2 que G(x1, x2,...,xn) = tA A. Par conséquent,
Γ(x1, x2,...,xn) = det( tA A)
= det( tA) det(A)
= det(A)2
Et donc Γ(x1, x2,...,xn)>0
Or on vient de montrer que la famille (x1, x2,...,xn)est liée si et seulement si
Γ(x1, x2,...,xn) = 0. On en déduit donc que
La famille (x1, x2,...,xn)est libre si et seulement si Γ(x1, x2,...,xn)>0.
4Les points A,Bet Cétant sur la sphère unité, on a
k−→ OAk=k−→ OBk=k−→ OCk= 1
Les produits scalaires (−→ OA |−→ OB),(−→ OB |−→ OC) et (−→ OC |−→ OA) sont donc respectivement
égaux aux cosinus des angles α,βet γ. Par conséquent,
G(−→ OA,−→ OB,−→ OC) = 
1 cos αcos γ
cos α1 cos β
cos γcos β1
En développant le déterminant Γ(−→ OA,−→ OB,−→ OC) selon la première colonne, on obtient
Γ(−→ OA,−→ OB,−→ OC) = 
1 cos β
cos β1
−cos α
cos αcos γ
cos β1
+ cos γ
cos αcos γ
1 cos β
= 1 + 2 cos αcos βcos γ−cos2α−cos2β−cos2γ
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