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CCP Maths 1 MP 2013 — Énoncé 1/4
Lescalculatrices sontautorisées
Lesujetestcomposédedeuxexercicesetd’un problème,tousindépendants.
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
____________________
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
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CCP Maths 1 MP 2013 — Énoncé 2/4
Exercice1:une sériede Fourier
OnconsidèrelafonctionfdeRdansR,2π-périodique, impaire,vérifiant:
pour tout réelx∈]0,π[,f(x)=1etf(0) =f(π)=0.
1.ReprésentergraphiquementlafonctionfsurR,puisdéterminerlasériedeFourierdela
fonctionf.
2.Justifierl’existence des sommes suivantesetutiliserlaquestion précédente,enénonçant
lesthéorèmesutilisés,pourdonnerleurvaleur:
(a)
+∞
k=0
(−1)k
2k+1 (b)
+∞
k=0
1
(2k+1)2.
Exercice2:un systèmedifférentiel
Onconsidèrelesystèmedifférentieldefonctionsinconnuesx,yetdevariablet∈R:
x′=x−y
y′=x+3y
1.Onconsidèrelamatrice A=1−1
13
.Calculerlepolynôme caractéristiquedela
matrice Aeten déduirequelamatrice B=A−2I2estnilpotente.
En utilisantsansdémonstrationl’égalitéetA
=e2tet(A−2I2),valablepour tout réelt,donner
l’expression delamatrice etA
.
2.En utilisantce quiprécède,ouàl’aidedetouteautreméthode,trouverlasolution du
systèmedifférentielvérifiantx(0) =1
y(0) =2.
Problème:sériesde Tayloretdéveloppementensérieentière
Dansce problème,touteslesfonctionsconsidérées sontdéfinies surun intervalleIdeRetà
valeursréelles.
Partiepréliminaire
Danscettepartie, lesquestions sontindépendanteslesunesdesautresetleursrésultatspeuvent
êtreadmisdanslasuitedu problème.
1.Justifier,pour tout réelx∈]−1,1[, l’existence de
+∞
n=1
nx
n−1etdonnersavaleur.
2.OnrappellequelafonctionΓestdéfiniepour tout réelx∈]0,+∞[par:
Γ(x)=+∞
0
tx−1e−tdt.
Démontrerquepour tout réelx∈]0,+∞[,Γ(x+1)=xΓ(x)eten déduire,pour tout
entiernaturelnnon nul, lavaleurdeΓ(n).
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CCP Maths 1 MP 2013 — Énoncé 3/4
3.DémontrerlaformuledeTayloravec restedeLaplace (ouresteintégral):
siIestun intervalle contenantleréela,sifestunefonction deIdansRde classeC∞
surI,alorspour tout réelx∈Ietpour toutentiernatureln,ona:
f(x)=
n
k=0
(x−a)k
k!f(k)(a)+x
a
(x−t)n
n!f(n+1)(t)dt.
Onrappelle le theoremesuivant :
Siunefonctionfadmetun développementensérie entièresurl’intervalle]−a, a[,alors:
–lafonctionfestde classeC∞sur]−a, a[,
–son développementensérie entière estunique etestdonnéparlasériedeTaylordela
fonctionfàl’origine:
pour tout réelx∈]−a, a[,f(x)=
+∞
n=0
f(n)(0)
n!xn.
I.Quelquesexemplesd’utilisation decethéorème
4.OnconsidèrelafonctionfdéfiniesurRpar:
f(0) =1etpour tout réelx=0,f(x)=sin x
x.
Démontrerquelafonctionfestde classeC∞surR.
5.Expliciterunefonctionfde classeC∞surun voisinagede0etvérifiant,pour toutentier
natureln, l’égalitéf(n)(0) =n. n!
6.Unthéorèmedesmoments
Soitfunefonction développable ensérie entièresur]−R, R[avec R>1:
∀x∈]−R, R[,f(x)=
+∞
n=0
f(n)(0)
n!xn.
Onsuppose,quepour toutentiernatureln,1
0
xnf(x)dx=0.
L’objectifde cettequestionestdemontrerquefestidentiquementnullesur]−R, R[.
(a)Démontrerquelasérie
n≥0
f(x)f(n)(0)
n!xnconvergenormalementsurl’intervalle[0,1].
(b)Al’aidedu calculde1
0
(f(x)) 2dx,démontrerquelafonctionfestnullesur
l’intervalle[0,1].
(c)Démontrerquefestlafonction nullesurl’intervalle]−R, R[.
II.Contre-exemples
7.Donnerun exempledefonctionfàlafoisde classeC∞surun intervalleIetdéveloppable
ensérie entièreauvoisinagedel’origine,maisquine coïncidepasavec sasériedeTaylor
en0surItoutentier.
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CCP Maths 1 MP 2013 — Énoncé 4/4
8.Unexempledefonction ne coïncidantavec sasériedeTayloren0suraucun voisinage
de0
OnconsidèrelafonctionfdéfiniesurRpar:
pour tout réelx=0,f(x)=exp−1
x2etf(0) =0.
(a)Donner,àl’aidedelacalculatrice (sansétude), l’alluredelacourbedelafonctionf.
(b)Parlesthéorèmesgénéraux, lafonctionfestde classeC∞sur]0,+∞[.
Démontrerquepour toutentiernatureln, il existeun polynômePntelque,pour
toutx∈]0,+∞[,f(n)(x)=Pn(x)
x3nexp −1 x2.
(c)Démontrerquelafonctionfestde classeC∞sur[0,+∞[avec pour toutentier
natureln,f(n)(0) =0.
Parparité, lafonctionfainsidéfinie estde classeC∞surR.
(d)Lafonctionfest-elledéveloppable ensérie entièresurun intervalle]−r, r[?
9.UnexempleoùlasériedeTaylordelafonctionfen0 a un rayon nul
Pour toutxréel, on pose:f(x)=+∞
0
e−t
1+tx
2dt.
(a)Justifierque,pour tout réelx, lafonctiont−→ e−t
1+tx
2estbienintégrablesur
[0,+∞[,puisdémontrerquelafonctionfestde classeC1surR.
Onadmettraquelafonctionfestde classeC∞surRetquel’onobtientlesdérivées
successivesen dérivantsouslesigneintégrale.
(b)Pourt∈]0,+∞[,calculer,aumoyen d’unesérie entière, lesdérivées successivesen
zérodelafonctionx−→ e−t
1+tx
2pouren déduirel’expression def(n)(0) pour tout
entiernatureln.
(c)Quelestlerayon delasérie entière
n≥0
f(n)(0)
n!xn?
Lafonctionfest-elledéveloppable ensérie entièreàl’origine?
III.Conditionsuffisante
Onsepropose,danscettepartie,d’étudierune conditionsuffisantepourqu’unefonction de
classeC∞surun intervalle centré en0soitdéveloppable ensérie entièreauvoisinagede0.
10.Soientaun réelstrictementpositifetfunefonction de classeC∞surl’intervalle]−a, a[.
Onsupposequ’il existeun réelM>0telque,pour tout réelx∈]−a, a[etpour tout
entiernatureln,
f(n)(x)
≤M.
(a)Démontrerquelafonctionfestdéveloppable ensérie entièreauvoisinagedel’ori-
gine.
(b)Donnerun exemplesimpledefonction pourlaquelle ce résultats’applique.
Fin del’énoncé
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