Trigonométrie dans le triangle rectangle

Trigonométrie dans le triangle rectangle
I Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
A Avant propos
Dans le triangle rectangle ABC, est l'angle droit, le côté opposé à (en face de ) est [BC], c'est
l'hypoténuse.
Si on s'intéresse à l'angle :
• [AC] est le côté opposé à l'angle
• [AB] est le côté adjacent à l'angle
Si on s'intéresse à l'angle :
• [AC] est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• [AB] est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
B. Formules
Dans ABC un triangle rectangle en A, le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle aigu sont donnés
par les formules suivantes:

On a de même:
C Mnémotechnie
SOH CAH TOA n'est pas une formule magique mais une moyen mnémotechnique
pour retenir les formules ci-dessus:
• SOH: Sinus Opposé Hypoténuse
• CAH: Cosinus Adjacent Hypoténuse
• TOA: Tangente Opposé Adjacent
D Exemple
ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et .
Construire la figure en vraie grandeur.
Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.
Dans le triangle ABC, rectangle en A
Remarque:
On peut contrôler la vraisemblance du résultat: (3,5 < 5 et 35 < 45)

II Rappel : Théorème de Pythagore :
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : BC² = AB²+AC².
Réciproquement, si ABC est un triangle tel que les longueurs des
côtés vérifient : BC² = AB²+AC², alors il est rectangle en A.
Exemples :
- ABC est rectangle en A, et on sait que AB = 3 et AC = 5. Alors :
BC² = 3²+5² = 9+25 = 34, et BC =
34
.
- ABC est rectangle en A, et on sait que BC = 5 et AC = 3. Alors
BC²=AB²+AC², donc 5²=3²+AB², AB² = 5²-3² = 25-9 =16, donc AB =
16
=4.
- ABC est un rectangle, AB = 10, BC=8, AC =6. On a :
10²=100=64+36=8²+6², donc AB² = BC²+AC². ABC est donc rectangle,
et son hypoténuse est AB. Il est donc rectangle en C.

III Relations entre sinus, cosinus et tangente
A Relation fondamentale de la trigonométrie
Si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:
cos
2
a + sin
2
a = 1
démonstration:
Dans ABC rectangle en A:
or d'après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A:
AB²+AC²=BC²
donc
B Autre relation
si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:

démonstration:
IV Valeurs particulières
En choisissant un triangle rectangle adapté aux différentes situations, vérifier (retrouver) dans le
tableau les valeurs exactes suivantes.