Lundi 15 novembre 2003

MODULE: APPROXIMATION DE COURBE INTEGRALE
PAR LA METHODE D’EULER
Objectif : Construire une approximation de la courbe C représentative d’une fonction f dans le
voisinage du point d’abscisse a, connaissant f (a) et le nombre f’ (x) pour tout réel x.
I . Etude théorique
Le but de cette étude est de tracer point par point une approximation de la courbe représentative
d'une fonction f définie uniquement par:
- sa dérivée f'
- un point de cette courbe de coordonnées (a ; f(a))
Cette courbe sera appelée courbe intégrale de la fonction f.
Le principe :
En tout point A de coordonnées (a ; f(a) ) la courbe admet une tangente (T) d'équation :
y = f' (a) ( x – a )+ f (a)
Rappel du cours sur les approximations affines d’une fonction :
Soit A un point d’une courbe C d’abscisse x0. Soit x proche de a. On pose x – a = h donc x = a + h
Soit f une fonction dérivable en a. on a : f ( x ) =f (a + h ) = f (a) + h f ’ (a) + h  (h)
avec lim;
h 0
 (h) =
0
h0
Lorsque x est très proche de a (donc h tend vers 0 ), h  (h) devient alors très petit donc négligeable.
On a donc : f (a + h)  f (a) + h f ’ (a)
ou
f (x)  f (a) + f’ (a) (x – a )
La courbe d’équation y = f (x) est donc très proche de (T) au voisinage de A. On peut donc
confondre C avec (T) à condition que x soit proche de a c'est-à-dire h très petit.
EXEMPLE :
On considère la fonction f telle que f (- 2 ) = - 1, et pour tout réel x, on a f’ (x) =  Error!  1.
On souhaite approcher sa représentation graphique : pour cela on va utiliser le fait qu’au voisinage
d’un point la courbe reste proche de sa tangente en ce point.
 
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal (O; i; , j; ) , on fera un graphique, que l’on
complètera tout au long des parties A et B.
PARTIE A
 Soit M le point de C d’abscisse – 2. On décide d’approcher la courbe C par sa tangente d1 en M
a) Déterminer les coordonnées de M :………………………………………………
b) Déterminer une équation de d1 :…………………………………………………………………….
c) Quelles
sont
les
coordonnées
de
M1
de
d1
ayant
–
1
pour
abscisse ?
……………………………………………………….
d) Construire le segment [MM1] : on a ainsi approché la courbe sur l’intervalle [- 2 ; - 1]
 Soit N le point de C d’abscisse – 1.
On ne sait pas calculer ses coordonnées (puisqu’on ne connaît pas f (x) ), on peut cependant penser
qu’il est voisin de M1 d’après le principe de l’approximation affine. On décide alors d’approcher la
courbe sur l’intervalle [-1 ; 0 ] par la droite d2 de coefficient f ’ (- 1) et passant par M1
a) Déterminer une équation de d2 :…………………………………………………………………….
b) Quelles
sont
les
coordonnées
de
M2
de
d2
ayant
pour
abscisse
0?
……………………………………………………….
c) Construire le segment [M1M2]. La courbe inconnue est ainsi approchée sur [ -2 ; 0 ] par la
ligne brisée MM1M2.
 Soit P le point de la courbe qui a pour abscisse 0 . Comme précédemment, on ne peut calculer ses
coordonnées, mais on peut penser qu’il est voisin de M2
On décide d’approcher le courbe C sur [0 ; 1] par la droite d3 de coefficient directeur f ‘ (0) et
passant par M2
a) Déterminer une équation de d3 :……………………………………………………. ;
b) Quelles sont les coordonnées de M3 de d3 et qui a pour abscisse 1 ?
c) Tracer le segment [M2M3] .
PARTIE B
On donne la fonction f : x  >  Error! x2  x  2
 Vérifier que f vérifie les conditions initiales
 Représenter f sur le graphique précédemment obtenu.
PARTIE C - Utilisation de EXEL
Une des méthodes pour améliorer l’approximation de la courbe est de diminuer la largeur des
intervalles en augmentant leur nombre.
On peut utiliser un tableur (par exemple exel) et en suivant le même procédé que précédemment
mais avec des intervalles de largeur plus petite, largeur 0,5 puis largeur 0,1.
Traiter les exemples suivants à laide dun tableur.
II . Etude numérique - Utilisation de EXEL
EXEMPLE 1 : On considère la fonction f telle que f (- 2 ) = - 1, et pour tout x, on a f’ (x) =  Error!
 1.
1°) Entrée des données dans la feuille EXEL
 On fixe d'abord la valeur h de l'amplitude de l'intervalle c'est-à-dire le pas :
On place h = 0,5 dans la cellule A1
 Dans la cellule A2 on place la valeur xo = - 2 , puis dans la cellule B2 la valeur y0 = f (xo) = - 1
on remplit ainsi le tableau suivant :
1
2
3
A
h =xi – x0
x0 = -2
x1 = x0 + h
4
x2 = x1 + h
B
y0 = - 1
y1 = f’ (x0) (x1 – x0 ) + y0
= (- Error!+ 1) h + y0
y2 = (- Error!+ 1) h + y1
 Pour remplir le tableau :
Toutes les valeurs de xi seront placées dans la colonne A ; dans la cellule A1 on met 1, dans la
cellule A2 on met  2. Dans la cellule A3 on met = A2+$A$1
(le symbole $ fixe la lettre ou le numéro devant lequel il est et quand on copie cette lettre ou ce
numéro ne seront pas incrémentés).
On fait « glisser » cette formule pendant 25 lignes (cest à dire on la copie 25 fois).
 Toutes les valeurs de yi seront placées dans la colonne B ; dans la cellule B2 on met  1 .
Dans la cellule B3 , on mettra =((-A2/2)+1)*$A$1+B2
On fait « glisser » cette formule pendant 25 lignes
2°) Représentation graphique
Pour cela cliquer sur l’assistant graphique (insertion / graphique), nuage de points
Par exemple pour un pas de 0,5
Aller dans série 1. Données de X : de A2 à A20 par exemple
Données de Y : de B2 à B20
La courbe a en fait pour équation y =  Error! x2 + x + 2.
Dans la colonne C, taper les valeurs de y théoriques =-0.25*A2*A2+A2+2
On va la tracer sur le même graphique pour voir la différence
Ajouter série 2 : Données de X : de A2 à A20
Données de Y : de C2 à C70
4
3
2
1
Série1
Série2
0
-4
-2
0
2
4
6
8
-1
-2
-3
Même exemple avec un pas de 0,1 (changer la cellule A1 et faire glisser 70 ou 80 fois)
Aller dans série 1. Données de X : de A2 à A70 par exemple
Données de Y : de B2 à B70
Ajouter série 2 : Données de X : de A2 à A70 par exemple
Données de Y : de C2 à C70
3,5
3
2,5
2
1,5
Série1
1
Série2
0,5
0
-4
-2
-0,5 0
2
4
6
-1
-1,5
Traiter de même les exemples 2 et 3.
EXEMPLE 2 : On donne f’ (x) = ;x et f (Error!) = Error!sur [Error!; 4 ]
Error!xError!
EXEMPLE 3 : On donne f’ (x) = 2x et f (0) = 1
Avec quelle courbe doit-on comparer ??? essayer .
On comparera avec y =