CHAPITRE 1 : STRUCTURE ALGEBRIQUE 1. Essentiel sur les propriétés d’une loi de composition Soit E ≠ Φ et * une loi de composition définie dans E. La loi * peut être : a) Interne et partout définie dans E : Dans ce cas, l’ensemble E est dit « Stable » par la loi * b) Associative dans E : z) c) Commutativité dans E : x d) Distributive par rapport à une autre loi Τ définie dans E : - x * (y Τ z) = (x * y) Τ (x * z) Distributive à gauche -(y * x) Τ (z * x) Distributive à droite Exemple : - L’addition et la multiplication sont des lois de composition internes, commutatives et associatives dans N, Z, Q et R. - La multiplication est distributive par rapport à l’addition dans N, Z, Q et R. 2. Eléments remarquable Soit E ≠ Φ est * une loi de composition interne dans E. * peut admettre les éléments remarquable suivants : a) Elément neutre e : x = x et e * x = x b) Eléments symétriques : Si e est l’élément neutre de * dans E, alors x’ est appelé symétrique de x dans e. lorsque x Ж x’ = e et x * x’ = e c) Elément absorbant a : x * a = a et a * x = a d) Elément involutif : i * i = e (e le neutre de * dans E) e) Elément idempotent d : d * d = d f) Elément simplifiable ou régulier : (x * = y * ) => (x = y) ( * = * y) => (x = y) Exemple : - 0 est l’élément neutre pour l’addition dans N, Z, Q et R - 1 est l’élément neutre pour la multiplication dans N, Z, Q et R - Le symétrique d’un élément dans Z, Q et R pour l’addition est son opposé - Le symétrique d’un réel non nul pour la multiplication est son inverse. 3. Structure de groupe Soit G ≠ Φ est * une loi de composition définie dans G. (G, *) est un groupe ssi : a) * est interne : b) * est associative : z) c) * Admet un élément neutre : : x=x d) * Admet des éléments symétriques : : x * x’ = e et x’ * x = e Si de plus la loi * est commutative alors (G, *) est un groupe commutatif ou un groupe abélien. Exemple : - (Z, +) ; (Q, +) ; (R, +) ; (Q*, .) et (R*, .) soit des groupes commutatifs - L’ensemble des homothéties de même centre muni de la loi (composition des applications) est un groupe abélien. 4. Structure d’anneau et de corps 1) Soit A ≠ Φ, * et Τ deux lois de compositions internes définies dans A. (A, *, Τ) est un anneau ssi a) (A, *) est un groupe abélien b) (A, Τ) est un demi-groupe c) La loi Τ est distributive par rapport à * Attention : L’écriture (A, *, Τ) est différente de (A, Τ, *) Remarque : - Si (A, Τ) est un demi-groupe unitaire (Τ admet un neutre) alors (A, *, Τ) est un anneau unitaire - Si (A, T) est un demi-groupe unitaire commutatif (c'est-à-dire T est commutatif et admet un neutre) alors (A, *, Τ) est un anneau unitaire commutatif. Exemple : - (Z, +, .) : (Q, +, .) et (P(A), , ∩) sont des anneaux unitaires commutatifs - ({0}, +, .) est un anneau commutatif. 2) Soit A ≠ Φ : * est T deux lois de composition internes définies dans A. ((A, *, Τ) est un corps ssi a) (A, *) est un groupe commutatif b) (A, {e}, T est un groupe (e est le neutre de * dans A) c) T est distributif par rapport à *. Si de plus, la loi T est commutatif alors (A, *, Τ) est un corps commutatif ou en champ. Exemple : - (Q, +, .) et (R, +, .) (Zn, +, .) est un corps ssi n est premier (R², +, .) est un corps commutatif 5. Structure d’espace vectoriel Soit (R, +, .) un corps commutatif et V est un ensemble non vide. (V, +, .) est un espace vectoriel sur R ou un R espace vectoriel si : a) (V, +, .) est un groupe abélien b) La loi de composition externe . définie de R X V ------> V telle qu’à tout couple (,→) associe le vecteur . J vérifie les propriétés suivantes : i) →→ . (→ →)= . → + . → (distributivité de la multiplication des réels par rapport à l’addition des vecteurs) ii) → + ) . → = . → + . → (distributivité de la multiplication des vecteurs par rapport à l’addition des réels. iii) , → ) . → = . ( . →) (Associativité mixte) iv) → → = → (1 élément neutre de . dans R) Remarque : - Les éléments de v sont appelés vecteurs et ceux de corps R des scalaires - Tout corps commutatif est un espace vectoriel sur lui-même. Exemples et contre exemples - (R, +, *) est un R – espace vectoriel - (Q, +, *) est un Q – espace vectoriel - (Q, +, *) n’est pas un R – espace vectoriel - (R², +, *) est un R – espace vectoriel - L’ensemble des vecteurs du plan est un R – espace vectoriel. Questions 1. a) Dans Z, on définit la loi * par : a*b=a+b+2 Calculer 2 * 5 ; -11 * 3 ; -1 * -1 b) Dans R0 X R, on définit la loi par : (a, b) c, d) = (ac, bc + d) Calculer (1, 2) (3, 4) ; (- , 1) (- , - ) ; (a, b) (a, b) 2. vérifier que la loi T définie dans R\{ } est interne et partout définie. R\{ }, x T y = x + y – 2xy 3. Dans l’ensemble K = Q\{-1}, x Q\{-1}, on définit l’opération par : (a, b) (c, d) = (ac + a + c, bd + b + d) Dans l’hypothèse que (K, ) est un groupe commutatif, déterminer le symétrique de (-2, ). 4. On munit l’ensemble R\{-2} des nombres réels de la loi de composition interne notée * et définie par : a * b = 2ab + 4(a + b) + 6 Déterminer : a) Le neutre de * b) Les réels qui sont leurs propres symétriques pour *. 5. Déterminer les éléments idempotents de la loi T définie dans r par : x T y = xy – 2x – 2y + 1 6. Soit la loi de composition interne * définie dans Q par : a * b = b + a + ba – 4 Déterminer x sachant que : (-5 * ) * x = x * 2 7. Dans Z, on définit les lois * et O par : a*b=a+b–3 a O b = ab – 3a – 3b + 12 verifier si O est distributive par rapport à *. 8. Dans R\{1} on définit la loi par : x y = Déterminer si possible l’élément neutre, le symétrique de - , les éléments involutifs et idempotents 9. On considère les lois * et T définies dans Q par : a * b = 2ab et a T b = a + 2ab On peut vérifier que * confère à Q* la structure de groupe commutatif et que (Q, T, *) est un anneau commutatif. a) Résoudre le système 1*x* =1 *x* =2 Et déterminer le rapport 1 b) Calculer la valeur numérique de x sachant que X = {[ ( )] [( ) ]} 10. Pourquoi (Q, +, .) n’est pas un espace vectoriel sur R.