Structures algébriques

Structure
Sous-Structure
Morphisme
groupe
(G,*)
G est un ensemble, * une lci
* associative
* admet un élément neutre
tout élément de G admet un symétrique dans G
si * commutative alors groupe commutatif
H partie de G
①H stable pour * et (H,*) est un groupe
②H non vide, H stable pour *, H contient le symétrique de chacun de ses
éléments
③H non vide, ∀(x,y) ∈ H² x*y’ ∈ H avec y’ symétrique de y dans (G,*)
f morphisme de (G,*) dans (H, ⦁)
(∀(x1,x2) ∈ G²) f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2)
anneau
(A,+,*)
(A,⊤) groupe commutatif
* associative
* a un élément neutre dans A (élément unité)
* est distributive par rapport à +
si * commutative alors anneau commutatif
H partie de A
① H stable pour les deux lois
H contient 1A élément unité de A
les restrictions de + et * à H donne à H une structure d’anneau
② ∀(x,y) ∈ H² x-y ∈ H
1A ∈ H
∀(x,y) ∈ H² x*y ∈ H
f morphisme de (A,+,*) dans (B,⊤,⦁)
∀(x1, x2) ∈ A²
f(x1+x2) = f(x1)⊤f(x2)
f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2)
f(1A) = 1B
corps
(K,+,⦁)
① (K,+,⦁) anneau commutatif
K ≠{0} (0 et élément unité distinct)
tout élément de K*= K-{0} a un inverse par la loi ⦁
② (K,+) groupe commutatif
(K*,⦁) groupe commutatif
⦁ distributive par rapport à +
H partie de K
(H,+,⦁) est un sous anneau de (K,+,⦁)
∀ x ∈ H-{0} x-1 ∈ H-{0}
f morphisme de (K,+, ⦁) dans (L,+,⦁)
∀(x1,x2) ∈ A²
f(x1+x2) = f(x1)+f(x2)
f(x1⦁x2) = f(x1)⦁f(x2)
f(1k) = 1L
E espace vectoriel
sur le corps K
K corps
(E,+) groupe commutatif
⦁ multiplication externe de K 𝗑 E dans E
∀u ∈ E, 1𝕂•u = u
∀ λ ∈ K, ∀ u,v ∈ E, λ•(u+v) = λ•u + λ•v
∀ λ, ∈ K, ∀ u ∈ E, (λ+𝜇) •u = λ•u + 𝜇•u
∀ λ, ∈ K, ∀ u ∈ E, λ• (𝜇•u) = (λ 𝗑 𝜇) •u
F partie de E
① la restriction de + à F 𝗑 F et la restriction de ⦁ à K 𝗑 F munissent H
d’une structure d’espace vectoriel
② F stable par combinaison linéaire
③ F ≠ ∅
∀(u,v) ∈ F², ∀α ∈ K, α•u+v ∈ F
④ F ≠ ∅
∀(u,v) ∈ F², ∀α ∈ K, u+v ∈ F et α•u ∈ F
E et F espace vectoriel sur le même corps K
f application linéaire (= morphisme) de E vers F si :
∀ u, v ∈ E, f(u+v) = f(u) + f(v)
∀ u ∈ E, ∀α ∈ K, f(α•u) = α•f(u)
K-algèbre
(A,+, 𝗑 ,•)
K un corps et • multiplication externe
𝗑 loi de composition interne dans A
(A,+,•) est un K-espace vectoriel
𝗑 est distributive par rapport à +
∀ α ∈ K, ∀ a, b ∈ A,
(α•a) 𝗑 b = α•(a 𝗑 b) = a 𝗑 (α•b)
H partie de A
① H est stable pour + , 𝗑 et •
H contient 1A, élément unité de A
Les restrictions de H à + , 𝗑 et • lui donnent une structure de K-algèbre
② H sous-espace vectoriel de (A,+, •)
1A ∈ H
H stable pour 𝗑
③∀α, β ∈ K² ∀x,y H²
α•x+ β•y ∈ H, x 𝗑 y ∈ H, 1A ∈ H
f morphisme de (A,+, 𝗑 ,•) K-algèbre dans (A’,+, 𝗑 ,•)
K-algèbre
① morphisme d’anneaux (A,+, 𝗑) dans (A’,+, 𝗑)
et morphisme de K-espace vectoriel (A,+,•) dans (A’,+,•)
② ∀(a, b) ∈ A², ∀λ ∈ K
f(a + b) = f(a) + f(b) f(a 𝗑 b)=f(a)𝗑f(b) f(λ•a)= λ•f(a)
③ ∀(a, b) ∈ A², ∀λ,𝜇 ∈ K²
f(λ•a + 𝜇•b) = λ •f(a) + 𝜇 •f(b) f(a 𝗑 b)=f(a) 𝗑f(b)
K-algèbre associative unitaire
① (A,+, 𝗑 ,•) est une K-algèbre
𝗑 associative et avec un élément neutre
② K un corps,
(A,+,•) un K-espace vectoriel
(A,+, 𝗑) anneau
∀ α ∈ K, ∀ a, b ∈ A,
(α•a) 𝗑 b = α•(a 𝗑 b) = a 𝗑 (α•b)