groupe (G,*) anneau (A,+,*) corps (K,+,⦁) E espace vectoriel sur le corps K K-algèbre (A,+, 𝗑 ,•) Structure G est un ensemble, * une lci * associative * admet un élément neutre tout élément de G admet un symétrique dans G si * commutative alors groupe commutatif (A,⊤) groupe commutatif * associative * a un élément neutre dans A (élément unité) * est distributive par rapport à + si * commutative alors anneau commutatif Sous-Structure H partie de G ①H stable pour * et (H,*) est un groupe ②H non vide, H stable pour *, H contient le symétrique de chacun de ses éléments ③H non vide, ∀(x,y) ∈ H² x*y’ ∈ H avec y’ symétrique de y dans (G,*) H partie de A ① H stable pour les deux lois H contient 1A élément unité de A les restrictions de + et * à H donne à H une structure d’anneau ② ∀(x,y) ∈ H² x-y ∈ H 1A ∈ H ∀(x,y) ∈ H² x*y ∈ H H partie de K (H,+,⦁) est un sous anneau de (K,+,⦁) ∀ x ∈ H-{0} x-1 ∈ H-{0} Morphisme f morphisme de (G,*) dans (H, ⦁) (∀(x1,x2) ∈ G²) f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2) K corps (E,+) groupe commutatif ⦁ multiplication externe de K 𝗑 E dans E ∀u ∈ E, 1𝕂•u = u ∀ λ ∈ K, ∀ u,v ∈ E, λ•(u+v) = λ•u + λ•v ∀ λ, ∈ K, ∀ u ∈ E, (λ+𝜇) •u = λ•u + 𝜇•u ∀ λ, ∈ K, ∀ u ∈ E, λ• (𝜇•u) = (λ 𝗑 𝜇) •u F partie de E ① la restriction de + à F 𝗑 F et la restriction de ⦁ à K 𝗑 F munissent H d’une structure d’espace vectoriel ② F stable par combinaison linéaire ③F≠∅ ∀(u,v) ∈ F², ∀α ∈ K, α•u+v ∈ F ④F≠∅ ∀(u,v) ∈ F², ∀α ∈ K, u+v ∈ F et α•u ∈ F E et F espace vectoriel sur le même corps K f application linéaire (= morphisme) de E vers F si : ∀ u, v ∈ E, f(u+v) = f(u) + f(v) ∀ u ∈ E, ∀α ∈ K, f(α•u) = α•f(u) K un corps et • multiplication externe 𝗑 loi de composition interne dans A (A,+,•) est un K-espace vectoriel 𝗑 est distributive par rapport à + ∀ α ∈ K, ∀ a, b ∈ A, (α•a) 𝗑 b = α•(a 𝗑 b) = a 𝗑 (α•b) H partie de A ① H est stable pour + , 𝗑 et • H contient 1A, élément unité de A Les restrictions de H à + , 𝗑 et • lui donnent une structure de K-algèbre ② H sous-espace vectoriel de (A,+, •) 1A ∈ H H stable pour 𝗑 ③∀α, β ∈ K² ∀x,y H² α•x+ β•y ∈ H, x 𝗑 y ∈ H, 1A ∈ H f morphisme de (A,+, 𝗑 ,•) K-algèbre dans (A’,+, 𝗑 ,•) K-algèbre ① morphisme d’anneaux (A,+, 𝗑) dans (A’,+, 𝗑) et morphisme de K-espace vectoriel (A,+,•) dans (A’,+,•) ② ∀(a, b) ∈ A², ∀λ ∈ K f(a + b) = f(a) + f(b) f(a 𝗑 b)=f(a)𝗑f(b) f(λ•a)= λ•f(a) ③ ∀(a, b) ∈ A², ∀λ,𝜇 ∈ K² f(λ•a + 𝜇•b) = λ •f(a) + 𝜇 •f(b) f(a 𝗑 b)=f(a) 𝗑f(b) ① (K,+,⦁) anneau commutatif K ≠{0} (0 et élément unité distinct) tout élément de K*= K-{0} a un inverse par la loi ⦁ ② (K,+) groupe commutatif (K*,⦁) groupe commutatif ⦁ distributive par rapport à + K-algèbre associative unitaire ① (A,+, 𝗑 ,•) est une K-algèbre 𝗑 associative et avec un élément neutre ② K un corps, (A,+,•) un K-espace vectoriel (A,+, 𝗑) anneau ∀ α ∈ K, ∀ a, b ∈ A, (α•a) 𝗑 b = α•(a 𝗑 b) = a 𝗑 (α•b) f morphisme de (A,+,*) dans (B,⊤,⦁) ∀(x1, x2) ∈ A² f(x1+x2) = f(x1)⊤f(x2) f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2) f(1A) = 1B f morphisme de (K,+, ⦁) dans (L,+,⦁) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1+x2) = f(x1)+f(x2) f(x1⦁x2) = f(x1)⦁f(x2) f(1k) = 1L