Matrices diagonalisables, invariants de similitude des matrices

Université Claude Bernard LYON 1
Préparation à l'agrégation de Mathématiques
Matrices diagonalisables, invariants de similitude des
matrices diagonales, matrices semi-simples
M, M 0 ∈ Mn (K) sont semblables (sur K )
0
−1 . On a alors χ 0 = χ
que M = P M P
M
M
On dit que deux matrices
s'il existe une matrice
(K) telle
(égalité des polynômes
caractéristiques ) et pM 0 = pM (égalité des polynômes minimaux ).
On note SpK (M ) l'ensemble des λ ∈ K tel que Ker(M − λIn ) 6= {0}. On a λ ∈ SpK (M ) (ie. λ
est une valeur propre de M ) si et seulement si λ est une racine de χM .
Etant donnée une suite d1 , · · · , dn de n éléments de K on note :


d1 0 · · · 0
 0 d2 · · · 0 


diag(d1 , · · · , dn ) =  .
. 
 .. · · · . . . .. 
0
0 · · · dn
inversible
la matrice
P ∈
GLn
diagonale
associée.
Proposition 1 Soit M ∈ Mn (K) ; on a les conditions équivalentes suivantes :
1. M est semblable à une matrice diagonale diag(d1 , · · · , dn ) ∈ Mn (K).
L
Ker(M − λIn ).
2. On a K n =
λ∈SpK (M )
3. Le polynôme minimal pM est décomposable sur K et séparable.
4. Le polynôme caractéristique χM est décomposable sur K et chaque racine λ est de multiplicité nλ = dim(Ker(M − λIn )).
Lorsque ces conditions sont vériées on dit que M est diagonalisable sur K ; la suite d1 , · · · , dn
est formée de l'ensemble des racines de χM chacune étant répétée avec son ordre de multiplicité.
O 1. ⇒ 2, 3, 4. Supposons que M = P.∆.P −1 avec ∆ = diag(d1 , · · · , dn ) ; soit {λ1 , . . . , λr } =
{d1 , · · · , dn } et pour 1 ≤ i ≤ r soit ni la multiplicité de λi dans la suite d1 , · · · , dn .
n
n
On a χM = χ∆ = (X − λ1 ) 1 · · · (X − λr ) r de sorte que SpK (M ) = SpK (∆) = {λ1 , . . . , λr }.
On a encore pM = p∆ = (X − λ1 ) · · · (X − λr ).
(i)
(i)
Pour 1 ≤ i ≤ r , soient d
k1 , · · · , dkn les éléments de la suite d1 , · · · , dn qui sont égaux à λi de
i
(i)
(i)
(i)
(i)
(ek1 , · · · , ekn ) est une base de Ker(∆ − λi In ) et (P.ek1 , · · · , P.ekn )
i
i
Ker(M − λi In ).
(i)
(i)
2. ⇒ 1. Soit SpK (M ) = {λ1 , . . . , λr } ; pour 1 ≤ i ≤ r soit (k1 , · · · , kn )
sorte que
est une base de
une base de de
i
(i)
((k1 , · · ·
(i)
, kn ))1≤i≤r
i
n
1 ≤ i ≤ r ; de sorte que
est une base de K .
On considère la suite d1 , · · · , dn = λ1 , · · · , λ1 , · · · , λr , · · · , λr , la matrice diagonale ∆ = diag(d1 , · · · , dn )
| {z }
| {z }
(M − λi In )
Ker
pour
n1
et
P
nr
la matrice dont les colonnes sont les vecteurs
M = P.∆.P −1 .
(i)
(i)
(k1 , · · · , kn )
i
pour
1 ≤ i ≤ r;
on a
r
Q
λi ∈ K , pour 1 ≤ i ≤ r, deux à deux disQ
(X − λk )
k6=i
pour 1 ≤ i ≤ r . On a alors
tincts ; considérons les polynômes de Lagrange Li = Q
(λi − λk )
k6=i
Q
(λi −λk ) pour 1 ≤ i ≤ r. Ainsi pM divise Li Lj pour 1 ≤ i 6= j ≤ r.
pM = ci (X −λi )Li avec ci =
3. ⇒ 2.
pM =
supposons que
(X − λi )
avec les
i=1
k6=i
De plus le polynôme
1 ≤ i ≤ r.
L2i
− Li
s'annule en tous les
λj
et l'on a donc
formule d'interpolation de Lagrange
Enn, d'après la
P =
r
X
P (λi )Li
pour tout
pM
qui divise
L2i − Li
pour
:
P ∈ K[X]≤r
i=1
on a :
1.
Li (M )2 = Li (M )
pour
1≤i≤r
pour
1 ≤ i 6= j ≤ r
3.
Li (M )Lj (M ) = 0
r
P
Li (M ) = I
4.
M Li (M ) = Li (M ) M
5.
(M − λi I)Li (M ) = 0
2.
i=1
Notons que l'on a
pour
1≤i≤r
1≤i≤r
pour
Li (M ) 6= 0 pour 1 ≤ i ≤ r
(sinon
pM
diviserait
Li 6= 0 ce qui n'est pas possible
vu les degrés).
Il en résulte que l'on a la décomposition en somme directe
Kn =
r
L
(Li (M )).
Im
i=1
De plus comme les
stables
Kn =
par
r
L
M.
Li (M ) (1 ≤ i ≤ r) commutent avec M , les sous-espaces Im(Li (M ))
(M − λi In )Li (M ) = 0 de sorte que Im(Li (M )) ⊂ Ker(u − λi In )
Enn on a
sont
d'où
(M − λi In ).
Ker
i=1
L
Ker(M − λIn ) et ce sous-espace S
4. ⇒ 2. On a la somme directe S =
λ∈SpK (M )
P
P
nλ = n. On a donc S = K n . M
dim(Ker(M − λIn )) =
λ∈SpK (M )
a pour dimension
λ∈SpK (M )
Corollaire 1 Deux matrices diagonales ∆ = diag(d1 , · · · , dn ) et ∆0 = diag(d01 , · · · , d0n ) sont
semblables si et seulement s'il existe une permutation σ ∈ Sn telle que d0i = dσ(i) pour 1 ≤ i ≤ n.
d0i = dσ(i) pour 1 ≤ i ≤ n ; en considérant la matrice
−1
0
de permutation Πσ associée à σ on a Πσ .∆.Πσ = ∆ .
−1
Réciproquement supposons que l'on ait P.∆.P
= ∆0 ; on χ∆ = χ∆0 , la suite d1 , · · · , dn (resp.
0
0
d1 , · · · , dn ) est une énumération des racines de χ∆ (resp. de χ∆0 ) comptées avec leur multiplicité.
M
O
Soit
σ ∈ Sn
une permutation telle que
On peut donner une autre approche de ces propriétés en utilisant les
invariants de similitude ;
rappelons les résultats suivants :
1. A toute matrice
M ∈
Mn
(K)
on associe des polynômes unitaires
δk (M ),
pour
facteurs invariants de la matrice caractéristique CM = XIn − M
invariants de similitude de la matrice M ).
(ce sont les
1≤k ≤n−1
2. On a
δk (M )|δk+1 (M )
3. Pour
1 ≤ k ≤ n, δ1 (M ) · · · δk (M )
4. On a
χM = δ1 (M ) · · · δn (M )
pour
et
est le pgcd des mineurs d'ordre
pM = δn
k
de
CM .
1≤k≤n
appelés les
5. Deux matrices
M, M 0 ∈ Mn (K) sont semblables
si et seulement on a
δk (M ) = δk (M 0 ) pour
1 ≤ k ≤ n.
Lemme 1 Soit ∆ = diag(d1 , · · · , dn ) ∈ Mn (K) une matrice diagonale ; on considère la suite
λ1 , . . . , λr des éléments distincts de la suite d1 , · · · , dn et, pour 1 ≤ k ≤ r, nk la multiplicité de
λk dans la suite d1 , · · · , dn . On supposera que n1 ≥ · · · ≥ nr .
Pour 1 ≤ i ≤ n, soit Ki l'ensemble des indices k, 1 ≤ k ≤ r tels que nk > n − i ; on a alors :
Y
δi (∆) =
(X − λk )
k∈Ki
O δ1 (∆) · · · δi (∆)
est le pgcd des mineurs d'ordre
i
de
C∆ .
Puisque la matrice
i centrés sur la diagonale principale sont non nuls.
n
n
P
P
nj = nk +
nj ; alors le facteur X − λk
1 ≤ k ≤ n ; on a n =
C∆
est
diagonale,
seuls les mineurs d'ordre
Soit
k
avec
si et seulement si :
gure dans ce
pgcd
j=1
j6=k
j=1
n
X
nj = n − nk < i
j=1
j6=k
(X − λk )nk +i−n qui gure alors dans ce pgcd.
Ki l'ensemble des indices k , 1 ≤ k ≤ r tels que nk > n − i ; on
Y
δ1 (∆) · · · δi (∆) =
(X − λk )nk −n+i
et c'est le facteur
Soit
a donc :
k∈Ki
Remarquons que l'on a
Ki−1 ⊂ Ki
Q
et que
Ki \ Ki−1 = {/n − nk = i − 1}
de sorte que :
(X − λk )nk −n+i
k∈Ki
δi (∆) =
Q
(X − λk )nk −n+i−1
k∈Ki−1
(X − λk )nk −n+i
Q
Y
=
(X − λk )
i−1
nk −n+i k∈K
Q
(X − λk )nk −n+i−1
k∈Ki \Ki−1
Y
=
k∈Ki−1
(X − λk )
k∈Ki
M
Remarque :
On considère le tableau de Young T∆ à
de
nj
cases. Pour
1 ≤ i ≤ n,
r
désignons par
colonnes dont la
mi
j ème
1 ≤ j ≤ r)
colonne (
le nombre de cases de la
ième
est formée
ligne ; on a alors :
mn−i+1
δi (∆) =
Y
(X − λk )
k=1
O
Il sut de remarque que
Ki = {k/1 ≤ k ≤ mn−i+1 } M
Redémontrons alors la proposition précédente :
O
Considérons une matrice
Si
M
M ∈ Mn (K).
est semblable à une matrice diagonale
p∆ = δn (∆) =
r
Q
(X − λk )
k=1
∆ ∈ Mn (K),
et le polynôme minimal
pM
on a
pM = p∆ .
est séparable.
Puisque
m1 = r,
on a
Réciproquement supposons le polynôme minimal
pM
de
M
séparable. On a donc
pM =
r
Q
(X −
k=1
λk ).
Posons, pour
Q
1 ≤ k ≤ n, δi (M ) =
(X − λk ).
On a
K1 ⊂ · · · ⊂ Ki ⊂ · · · ⊂ Kn =
k∈Ki
{1, · · · , r}. Pour 1 ≤ k ≤ r, soit nk le nombre d'indices i, 1 ≤ i ≤ n, tels que k ∈ Ki ; considérons
∆ dont la diagonale est formée des λi répétés avec la multiplicité ni
pour 1 ≤ i ≤ n. On a δi (M ) = δi (∆) pour 1 ≤ i ≤ n de sorte que M et ∆ dont semblables. M
alors la matrice diagonale
Corollaire 2 Soit M ∈ Mn (K) où K est un corps parfait ; les conditions suivantes sont équivalentes :
1. M est diagonalisable sur K .
2. Il existe une K -extension L telle que M soit diagonalisable sur L.
3. Le polynôme minimal pM est séparable
On dit alors que la matrice M est semi-simple sur K .
O
Les assertions 1,2, et 3 sont équivalentes (on peut prendre pour
position de
L
K -extension
une
de décom-
pM ). M
K -espace vectoriel de dimension nie n et u un endomorphimsme de E ; pour
E , on désigne par MB la matrice de u dans la base B ; le polynôme minimal pMB
et le polynôme caractéristique χM
sont indépendants du choix de la base B de E ; on les notera
B
pu et χu . De plus on a Ker(MB − λIn ) = Ker(u − λI) pour toute base B de E et tout λ ∈ Sp(u).
Soient
toute base
E
B
un
de
On a donc les conditions équivalentes :
1. Il existe une base
2. La matrice
MB
B
de
E
telle que la matrice
est diagonalisable pour toute
3. Il existe une base
B
de
4. Le polynôme minimal
E
pu
nλ
B
de
dans laquelle la matrice
est décomposable dans
5. Le polynôme caractéristique
multiplicité
MB
χu
soit diagonalisable sur
K.
E.
MB
est diagonale.
K[X]
est décomposable dans
et est séparable.
K[X]
et pour racine
λ ∈ Sp(u),
la
(u − λI).
est égale à la dimension du sous-espace propre Ker
De même on a les conditions équivalentes
1.
u
i.e. la matrice MB
est semi-simple (
2. Le polynôme minimal
pu
de
u
dans une -toute- base
B
de
E
est semi-simple).
est séparable
Lemme 2 Soit u un endomorphisme d'un K -espace vectoriel E de dimension nie ; pour tout
sous-espace F ⊂ E qui est stable par u, on désigne par u|F l'endomorphisme de F induit par u ;
alors pu|F divise pu . En particulier, si u est diagonalisable (resp. semi-simple), u|F est diagonalisable (resp.semi-simple).
O
Pour tout polynôme
f ∈ K[X]
on a
f (u|F ) = f (u)|F
de sorte que :
K[X]pu = {f ∈ K[X]/f (u) = 0} ⊂ {f ∈ K[X]/f (u|F ) = 0} = K[X]pu|F
de sorte que
de même de
pu|F divise pu .
pu|F . M
Ainsi si
pu
est séparable (
resp. a toutes ses racines dans K ) il en est
Corollaire 3 Soit u un endomorphisme d'un K -espace vectoriel E où K est un corps algébriquement clos ; les conditions suivantes sont équivalentes :
1. u est diagonalisable.
2. Le polynôme minimal pu est séparable
3. Tout sous-espace vectoriel F de E stable par u possède un supplémentaire stable par u.
O Les assertions 1 et 2 sont équivalentes.
2 ⇒ 3 u|F est diagonalisable ; et tout sous-espace propre Fλ est un sous-espace de Eλ le sousespace propre de E pour la même valeur propre λ.
On a alors Eλ = Fλ ⊕ Gλ . Si λ est une valeur propre de u qui n'est pas une valeur propre de u|λ,
L
on pose Gλ = Eλ . La somme directe G =
Gλ est un supplémentaire de F stable par u.
λ∈Sp(u)
L
3 ⇒ 2 Si u n'était pas diagonalisable, F =
Eλ serait un sous-espace strict de E stable par
λ∈Sp(u)
u;
il admettrait donc un supplémentaire
valeur propre de
u|G
G
stable par
est une valeur propre de
u
u
u|G serait diagonalisable.
pu|G divise pu . M
et
puisque
Mais toute