Matrices diagonalisables, invariants de similitude des matrices

M, M0∈n(K)K
P∈n(K)M0=P M P −1χM0=χM
pM0=pM
K(M)λ∈K(M−λIn)6={0}λ∈K(M)λ
M λ χM
d1,· · · , dnn K
(d1,· · · , dn) =
d10· · · 0
0d2· · · 0
· · ·
0 0 · · · dn
M∈n(K)
M(d1,· · · , dn)∈n(K)
Kn=L
λ∈K(M)
(M−λIn)
pMK
χMK λ
nλ= ( (M−λIn))
M K d1,· · · , dn
χM
O1.⇒2,3,4. M =P.∆.P −1∆ = (d1,· · · , dn){λ1, . . . , λr}=
{d1,· · · , dn}1≤i≤r niλid1,· · · , dn
χM=χ∆= (X−λ1)n1· · · (X−λr)nrK(M) = K(∆) = {λ1, . . . , λr}
pM=p∆= (X−λ1)· · · (X−λr)
1≤i≤r d(i)
k1,· · · , d(i) knid1,· · · , dnλi
(e(i)
k1,· · · , e(i) kni) (∆ −λiIn) (P.e(i) k1,· · · , P.e(i) kni)
(M−λiIn)
2.⇒1.K(M) = {λ1, . . . , λr}1≤i≤r((i)
k1,· · · , (i) kni)
(M−λiIn) 1 ≤i≤r(((i)
k1,· · · , (i) kni))1≤i≤rKn
d1,· · · , dn=λ1,· · · , λ1
| {z }
n1
,· · · , λr,· · · , λr
| {z }
nr
∆ = (d1,· · · , dn)
P((i)
k1,· · · , (i) kni) 1 ≤i≤r
M=P.∆.P −1

3.⇒2. pM=
r
Q
i=1
(X−λi)λi∈K1≤i≤r
Li=Q
k6=i
(X−λk)
Q
k6=i
(λi−λk)1≤i≤r
pM=ci(X−λi)Lici=Q
k6=i
(λi−λk) 1 ≤i≤r pMLiLj1≤i6=j≤r
L2
i−LiλjpML2 i−Li
1≤i≤r
P=
r
X
i=1
P(λi)LiP∈K[X]≤r
Li(M)2=Li(M) 1 ≤i≤r
Li(M)Lj(M) = 0 1 ≤i6=j≤r
r
P
i=1
Li(M) =
M Li(M) = Li(M)M1≤i≤r
(M−λi)Li(M) = 0 1 ≤i≤r
Li(M)6= 0 1 ≤i≤r pMLi6= 0
Kn=
r
L
i=1
(Li(M))
Li(M) 1 ≤i≤r M (Li(M))
M(M−λiIn)Li(M) = 0 (Li(M)) ⊂(u−λiIn)
Kn=
r
L
i=1
(M−λiIn)
4.⇒2. S =L
λ∈K(M)
(M−λIn)S
P
λ∈K(M)
( (M−λIn)) = P
λ∈K(M)
nλ=n S =KnM
∆ = (d1,· · · , dn) ∆0= (d0
1,· · · , d0
n)
σ∈Snd0
i=dσ(i)1≤i≤n
Oσ∈Snd0
i=dσ(i)1≤i≤n
ΠσσΠ−1
σ.∆.Πσ= ∆0
P.∆.P −1= ∆0χ∆=χ∆0d1,· · · , dn
d0
1,· · · , d0
nχ∆χ∆0
M
M∈n(K)δk(M) 1 ≤k≤n
CM=XIn−M
M
δk(M)|δk+1(M) 1 ≤k≤n−1
1≤k≤n δ1(M)· · · δk(M)k CM
χM=δ1(M)· · · δn(M)pM=δn

M, M0∈n(K)δk(M) = δk(M0)
1≤k≤n
∆ = (d1,· · · , dn)∈n(K)
λ1, . . . , λrd1,· · · , dn1≤k≤r nk
λkd1,· · · , dnn1≥ · · · ≥ nr
1≤i≤n Kik1≤k≤r nk> n −i
δi(∆) = Y
k∈Ki
(X−λk)
Oδ1(∆) · · · δi(∆) i C∆C∆
i
k1≤k≤n n =
n
P
j=1
nj=nk+
n
P
j=1
j6=k
njX−λk
n
X
j=1
j6=k
nj=n−nk< i
(X−λk)nk+i−n
Kik1≤k≤r nk> n −i
δ1(∆) · · · δi(∆) = Y
k∈Ki
(X−λk)nk−n+i
Ki−1⊂KiKi\Ki−1={n−nk=i−1}
δi(∆) = Q
k∈Ki
(X−λk)nk−n+i
Q
k∈Ki−1
(X−λk)nk−n+i−1
=Y
k∈Ki\Ki−1
(X−λk)nk−n+iQ
k∈Ki−1
(X−λk)nk−n+i
Q
k∈Ki−1
(X−λk)nk−n+i−1
=Y
k∈Ki
(X−λk)
M
∆r j 1≤j≤r
nj1≤i≤n mii
δi(∆) =
mn−i+1
Y
k=1
(X−λk)
OKi={k/1≤k≤mn−i+1}M
OM∈n(K)
M∆∈n(K)pM=p∆m1=r
p∆=δn(∆) =
r
Q
k=1
(X−λk)pM

pMM pM=
r
Q
k=1
(X−
λk) 1 ≤k≤n δi(M) = Q
k∈Ki
(X−λk)K1⊂ · · · ⊂ Ki⊂ · · · ⊂ Kn=
{1,· · · , r}1≤k≤r nki1≤i≤n k ∈Ki
∆λini
1≤i≤n δi(M) = δi(∆) 1 ≤i≤n M ∆M
M∈n(K)K
M K
K L M L
pM
M K
OL K
pMM
E K n u E
BE MBuBpMB
χMBBE
puχu(MB−λIn) = (u−λI)BE λ ∈
BE MBK
MBBE
BE MB
puK[X]
χuK[X]λ∈(u)
nλ(u−λI)
u MBuBE
pu
u K E
F⊂E u u|F F u
pu|Fpuu u|F
Of∈K[X]f(u|F) = f(u)|F
K[X]pu={f∈K[X]/f(u)=0}⊂{f∈K[X]/f(u|F)=0}=K[X]pu|F
pu|FpupuK
pu|FM
u K E K
u

pu
F E u u
O
2⇒3u|F FλEλ
E λ
Eλ=Fλ⊕Gλλ u u|λ
Gλ=EλG=L
λ∈(u)
GλF u
3⇒2u F =L
λ∈(u)
EλE
u G u u|G
u|G u pu|GpuM