Calcul Formel avec MAPLE

Un panorama de l’utilisation de MAPLE
initialement con¸cu pour la classe de MP
du lyc´ee Paul C´ezanne ∗
11 juillet 2013
Vous travaillerez avec un surligneur pour noter les fonctions qui vous seront utiles au fur
et `a mesure que nous avancerons dans le cours et dans les exercices.
Table des mati`eres
1 Les types de base, les structures 3
1.1 Lesexpressions .................................. 3
1.2 S´equences, listes, ensembles et tables : quatre types diff´erents. . . . . . . . 5
1.3 Le type tableau Array (pour les TIPE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Autour de la simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 L’algorithmique 10
2.1 Les boucles et instruction conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Tout le plaisir de la fonction seq, programmation fonctionnelle . . . . . . . 14
2.3 Exercicesbasiques ................................ 15
3 L’alg`ebre g´en´erale, l’arithm´etique 17
3.1 Simplifier ..................................... 17
3.2 Les polynˆomes et fonctions rationnelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 L’alg`ebre lin´eaire, deux packages, faites UN choix 22
4.1 L’alg`ebre lin´eaire avec linalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 L’alg`ebre lin´eaire avec LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 L’alg`ebre lin´eaire : exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 L’analyse 34
5.1 Lesoutils ..................................... 34
5.2 Exercices ..................................... 41
6 La g´eom´etrie, les plots 2d et 3d 48
6.1 Exercices ..................................... 49
∗Document disponible sur univenligne.fr ou sur mpcezanne.fr sous le nom QueFautIlSavoir
1

7 R´esum´e des comp´etences 51
8 TD 52
8.1 Proc´ed´e de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 M´ethode de Jacobi pour le calcul des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . 53
9 Corrections des exercices et des TD 56
9.1 Corrig´e de l’exercice (6) corps quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.2 Corrig´e de l’exercice 9 (alg`ebre lin´eaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 Corrig´e de l’exercice 9 (LinearAlgebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.4 Corrig´e de l’exercice 4.3 (syst`eme lin´eaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.5 Corrig´e de l’exercice (11) (matrices et d´eterminants) . . . . . . . . . . . . . 79
9.6 Corrig´e de l’exercice 12 (d´eveloppement asymptotique) . . . . . . . . . . . . 81
9.7 Corrig´e de l’exercice 14 (s´erie altern´ee ?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.8 Corrig´e de l’exercice 15 (s´erie harmonique altern´ee) . . . . . . . . . . . . . . 88
9.9 Corrig´e de l’exercice 16 (m´ethode de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.10 Corrig´e de l’exercice 19 (division par z´ero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.11 Corrig´e de l’exercice 21 (courbes de B´ezier...) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.12 Correction TD : le proc´ed´e de Gram-Schmidt (8.1) . . . . . . . . . . . . . . 111
9.13 Correction TD : La m´ethode de Jacobi (8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2

1 Les types de base, les structures
1.1 Les expressions
Un logiciel de calcul formel permet d’effectuer des op´erations sur des expressions ; elles
sont de diff´erents types. Pour une premi`ere approche vous distinguerez en pratique :
1. Les objets de type num´erique : entiers (integer), rationnels (fraction), flottants
(float), complexes (complex), alg´ebriques ...
2. Les variables formelles (symbol)
3. Les expressions bool´eennes qui sont des relations, des compos´ees de relations comme
(a=b),(a <= 0) or (k=n),...
4. Les expressions compos´ees : sommes, produit, quotients, incluant donc expressions
polynomiales, fractions rationnelles...
5. Les expressions structur´ees : s´equences, listes, ensembles, intervalles (range), tables,
tableaux (Array), matrices et vecteurs de l’alg`ebre lin´eaire-g´eom´etrie (variables se-
lon la bilblioth`eque choisie=...
6. Les fonctions et les proc´edures...
Toutes ces expressions, `a l’exception des s´equences (qui sont des suites d’expressions) ont
une structure syntaxique que l’on repr´esente par un arbre comme dans les deux exemples
qui suivent :
3

3∗x2+ 6 ∗x∗y+ 1 sin(ωx +φ)
+
×× 1
3
∧x
6y
x2
sin
+
×φ
ω x
les fonctions whattype, op, nops les fonctions whattype, op, nops
E:= 3*x**2+6*x*y+1;
whattype(E);
nops(E);
op(E);
E:= 3x2+ 6xy + 1
+
3
3x, 6xy, 1
op(1,E);
nops(%);
whattype(op(1,E));
op(op(1,E));
3x2
2
∗
3, x2
4

1.2 S´equences, listes, ensembles et tables : quatre types diff´erents.
Les s´equences (suites) commentaires
s:= a,b,c,d ;
s:= a, b, c, d
s[2];
b
s, e;
a, b, c, d, e
nops(s);
Error, invalid input: nops
expects 1 argument, but
received 3
•`a gauche, dans l’ordre :
– cr´eation d’une s´equence ;
–s[i]; on appelle le ii`eme ´el´ement de la
s´equence s avec s[i] ;
–s, e; ajoute un ´el´ement `a la s´equence
ou `a la liste ; la virgule est un
op´erateur de concat´enation de deux
s´equences...
– l’instruction nops(s); avec une
s´equence provoque une erreur `a la-
quelle il faut toujours s’attendre :
une fonction attend une suite d’ar-
guments de types donn´es et dans un
ordre donn´e. Ici nops(...) attend une
expression et en re¸coit plusieurs (ce qui
est : Error, invalid input : nops expects
1 argument, but received 3
•provoquent aussi des erreurs :
s[0] ; s[5] ;(ces termes n’existent pas)
Le constructeur de s´equences seq
seq([i,i^2],i=1..6);
[1,1],[2,4],[3,9],[4,16],[5,25],[6,36]
Cela se passe de commentaire, on verra
tout ce que l’on peut en faire dans la sec-
tion (2.2)
5