Préliminaires Mathématiques

Notions mathématiques préliminaires
Ensembles
Définition : Le produit cartésien de n ensembles A1 . . . An est l’ensemble de n-uplets A1 × . . . × An = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ Ai }. Si Ai = A
pour tout i, on note simplement par An le produit A1 × . . . × An .
Définition : Soient deux ensembles t.q. A, B ⊆ E.
– L’intersection de A et B est A ∩ B = {e ∈ E | e ∈ A et e ∈ B}
– L’union de A et B est A ∪ B = {e ∈ E | e ∈ A ou e ∈ B}
– La différence A et B est A \ B = {e ∈ E | e ∈ A et e ∈
/ B}
– Le complémentaire de A est A = E \ A = {e ∈ E | e ∈
/ A}
– P(A) est l’ensemble qui contient toutes les parties de l’ensemble A.
Relations
Définition : Une relation n-aire sur A1 . . . An est un sous-ensemble de
A1 × . . . × An .
Définition : Soit R ⊆ A × A une relation binaire.
– R est réflexive ssi pour tout x ∈ A, (x, x) ∈ R. R est iréflexive ssi pour
tout x ∈ A, (x, x) ∈
/ R.
– R est symétrique si pour tout x, y ∈ A, (x, y) ∈ R implique (y, x) ∈ R.
R est anti-symétrique si pour tout x, y ∈ A, (x, y) ∈ R et (y, x) ∈ R
implique x = y.
– R est transitive si pour tout x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ A et (y, z) ∈ R
implique (x, z) ∈ R.
Relations d’équivalence
Une relation d’équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive.
La classe d’équivalence d’un élément a ∈ A par rapport à une relation
déquivalence R est l’ensemble [a] = {b ∈ A | aRb}.
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Congruences
Une relation d’équivalence R est une congruence par rapport à une
fonction n-aire f ssi pour tout n ≥ 0, pour tout a1 , . . . , an et pour tout
b1 , . . . , bn
a1 Rb1 et . . . et an Rbn implique f (a1 , . . . , an )Rf (b1 , . . . , bn )
Composition de relations
Définition : Si R ⊆ A × B et S ⊆ B × C, alors la composition de S avec
R est une relation dans A × C t.q. S ◦ R = {(x, y) ∈ A × C | ∃z ∈ B (x, z) ∈
R et (z, y) ∈ S}.
Fonctions
Définition : Une fonction f entre deux ensembles A et B, notée f : A → B,
est une relation sur A × B t.q. pour tout x, y, z si (x, y) ∈ f et (x, z) ∈ f ,
alors y = z.
Notation : On écrit f (x) pour dénoter l’unique élément y t.q. (x, y) ∈ f
et f (C) = {y ∈ B | ∃x ∈ C, f (x) = y}.
On note idA la fonction identité sur A donnée par idA (x) = x.
Définition : Soit f : A → B une fonction.
– Le domaine de f est Dom(f ) = {x ∈ A | ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f }
– L’image de f est Im(f ) = {y ∈ B | ∃x ∈ A, (x, y) ∈ f }
– L’inverse de f est f −1 = {(y, x) ∈ B × A | (x, y) ∈ f }
Composition de fonctions
Définition :
– La composition de f : B → C avec g : A → B est la fonction
f ◦ g : A → C, où f ◦ g(x) = f (g(x)).
– La n-composition de f avec elle-même , notée f n , est défini par récurrence sur n :
– Si n = 0, alors f 0 = id
– Si n > 0, alors f n = f ◦ f n−1
Exercice : Soit n > 0. Montrer que f n = f n−1 ◦ f .
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Propriétés des fonctions
Définition : Une fonction f : A → B est injective ssi pour tout x, y ∈ A,
f (x) = f (y) implique x = y.
Définition : Une fonction f : A → B est surjective ssi pour tout y ∈ B il
existe x ∈ A tel que f (x) = y.
Définition : Une fonction est bijective ssi elle est injective et surjective.
Préordres, ordres
Définition :
– Un préordre est une relation réflexive et transitive.
– Un ordre ou ordre partiel est une relation réflexive, anti-symétrique et
transitive.
Notation : ≥
Il existe une construction standard qui permet de construire un ordre à
partir d’un préordre :
Théorème : Si <⊆ A × A est un préordre, alors :
– la relation ∼= {(x, y)|x < y et y 4 x} est une relation d’équivalence
– la relation ≥= {([x], [y])|x < y} induite sur les classes d’équivalence
de ∼ est un ordre
Définition : Un ordre strict est une relation iréflexive et transitive.
Notation : >
Définition : Un ordre strict sur A est bien fondé ssi il n’existe aucune
chaîne de la forme a0 > a1 > a2 > . . ., où tout ai ∈ A.
L’ordre produit
On considère le produit cartésien de n ensembles A1 . . . An .
Si chaque Ai est muni d’un ordre strict Âi , alors l’ordre produit est défini
par
(a1 , . . . , an ) Â× (b1 , . . . , bn ) ssi
– (ai Âi bi ) ou ai = bi pour tout i = 1 . . . n,
– et aj Âj bj pour au moins un indice j
Lemme : La rélation Â× est bien fondée ssi chaque relation Âi est bien
fondée.
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L’ordre lexicographique
Soit >Ai un ordre strict sur l’ensemble Ai .
Ordre lexicographique sur le produit de 2 ensembles :
(x, y) >lex (x0 , y 0 ) ssi (x >A1 x0 ) ou (x = x0 et y >A2 y 0 )
Exemple :
(4, ”s”) >lex (3, ”s”) >lex (2, ”q”) >lex (2, ”h”) >lex
(2, ”e”) >lex (1, ”b”) >lex (0, ”a”)
Ordre lexicographique (cas général)
Si chaque Ai est muni d’un ordre strict Âi , alors l’ordre lexicographique
est défini par
a1 Âlex
A1 b1 ssi a1 Â1 b1
(a1 , . . . , an ) Âlex
A1 ×...×An (b1 , . . . , bn ) ssi
(a1 Â1 b1 ) ou
a1 = b1 et (a2 , . . . , an ) Âlex
A2 ×...×An (b2 , . . . , bn )
Théorème : L’ordre lexicographique Âlex
A1 ×...×An est bien fondé ssi chaque
ordre strict ÂAi est bien fondé.
Avertissement : Âlex
A1 ×...×An n’est pas exactement l’ordre du dictionnaire :
lex
il faut etendre  aux séquences finies sur l’alphabet pour l’obtenir.
Une application :
Ackerman(0,n)
Exemple : Ackerman(m+1,0)
Ackerman(m+1,n+1)
=
=
=
n+1
Ackerman(m,1)
Ackerman(m,Ackerman(m+1,n))
Ordres multi-ensembles
Soit A un ensemble. Un multi-ensemble de base A est une fonction
M : A → IN.
Le multi-ensemble M est fini si M(x) > 0 seulement pour un nombre
fini d’éléments de A.
Notation : {{a, a, b}}.
Soient M et N deux multi-ensembles. Le multi-ensemble union est définie par M ] N (a) = M(a) + N (a).
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Ordres multi-ensembles
Soit  un ordre strict. La relation Âmul associée est donnée par la fermeture transitive de la relation Â1mul :
M ] {{x}} Â1mul M ] {{y1 , . . . , yn }}, où n ≥ 0 et ∀i, x  yi .
Exemple : {{5, 3, 1, 1}} Âmul {{4, 3, 3, 1}}.
Exercice : Si  est un ordre strict, alors Âmul est un ordre strict.
Théorème : Soit  un ordre strict sur A, alors  est bien fondé ssi Âmul
est bien fondé.
Exercice : Un homme possède une somme d’argent en euros. Chaque
jour il procède de la façon suivante :
– soit il jette une pièce de monnaie dans une fontaine,
– ou bien il change l’un de ses billets à la banque.
Montrer que ce processus termine, c’est à dire, que dans un temps fini
l’homme reste sans argent.
Majorants/minorants et bornes supérieures/inférieures
Soit E un ensemble muni d’un ordre ≤. Soit A ⊆ E.
Définition :
Un majorant de A est un x ∈ E t.q. pour tout y ∈ A, y ≤ x.
Un minorant de A est un x ∈ E t.q. pour tout y ∈ A, x ≤ y.
La borne supérieure de A, notée sup(A), est le plus petit des majorants de
A (si z est un majorant de A alors sup(A) ≤ z).
La borne inférieure de A, notée inf (A), est le plus grand des minorants de
A (si z est un minorant de A alors z ≤ inf (A)).
Fonctions monotones et points fixes
Définition : Soit f : A → B une fonction et soient ≤A , ≤B deux ordres
sur A et B respectivement.
La fonction f est monotone ssi x ≤A y implique f (x) ≤B f (y).
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Définition : Soit f : A → A une fonction.
Un point fixe de f est un élément x ∈ A t.q. f (x) = x.
Le plus petit point fixe de f est inf ({x ∈ A | f (x) = x}).
Le plus grand point fixe de f est sup({x ∈ A | f (x) = x}).
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