Vacances scientifiques 2013 P1 : CINEMATIQUE Prof : M.Diagne Mouvements dans un repére R (O, i , j, k) Exercice I: Dans un repère accélération constant une particule est animée d’un mouvement curviligne avec un vecteur =4 . 1) Exprimer le vecteur vitesse en fonction du temps sachant qu’à l’instant initial 2) Exprimer le vecteur position =2 . de la particule en fonction du temps sachant qu’à l’instant initial =3 . 3) Exprimer les équations horaires du mouvement : x(t) et y(t). 4) Donner l’équation cartésienne de trajectoire : y(x). Exercice II: Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d’un repère orthonormé sont : y = -3t2 + 15t et x = t2 + 2 1) Calculer la vitesse moyenne Vmoy du mobile entre les instants t1 = 2 s et t2 = 5 s. 2) Calculer l'accélération moyenne amoy entre ces mêmes instants. Exercice III: Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé est : = 2t + (2t2 -5t) +3 (x et y en mètres et t en secondes) 1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan. 2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile ; quelle est la nature de la trajectoire ? 3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m ? calculer sa vitesse à cet instant. 4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la distance d = 5 m ? Dépassements et rencontres Exercice I: Une automobile démarre lorsque le feu passe au vert avec une accélération a = 2,5 m.S -2 pendant une durée de t= 6,0 S ; ensuite le conducteur maintient sa vitesse constante. Lorsque le feu passe au vert un camion, roulant à vitesse V = 45Km.h -1, est situé à une distance d = 20 m du feu, avant celui-ci. Il maintient sa vitesse constante. Dans un premier temps, le camion va doubler l’automobile, puis dans une deuxième phase , celle-ci va le dépasser. En choisissant comme origine des dates, l’instant où le feu passe au vert, comme origine des espaces, la position du feu tricolore, déterminer : 1)Les dates des dépassements; 2)Les abscisses des dépassements; 3)Les vitesses de l’automobile à ces instants. Exercice II: Deux automobiles A et B, considérées comme ponctuelles, se suivent à la même vitesse constante Vo = 72 km/h à la distance d = 25 m. A t = 0 s, l’automobile A prend une accélération a = 1m/S 2 , dépasse B et se rabat devant elle lorsqu’elle en est à une distance d’ =30m. 1. Donner les 1 Retrouver l’énoncé sur http://diagnephysiquechimie.e-monsite.com/ équations horaires des mouvements de A et B 2. Quel espace a parcouru l’automobile B pendant cette manœuvre ? Exercice III: Deux voitures M1 et M2 se suivent à une distance d à la même vitesse constante Vo = 108 km/h. A un certain moment correspondant à l’origine des temps (t = 0 s), la voiture M1 commence à freiner avec une décélération a1 = 6 m/s2 ; la voiture M2 ne commence à freiner qu’avec un retard d'une seconde et une décélération a2 = 5 m/s2. 1. Quelle condition doit satisfaire d pour que la voiture M2 s'arrête sans heurter M1? 2. Si d = 30 m la voiture M2 heurte M1. A quel instant aura lieu le choc. Déterminer les vitesses respectives de M1 et M2 au moment du choc. 3. Si d = 55 m la collusion n’aura pas lieu. Déterminer la distance D séparant les deux voitures lorsqu’elles s’arrêtent. Exercice IV: Un navire N longe une cote rectiligne à la vitesse v. A l’instant t = 0 choisi comme origine des temps, il passe en N0 en face d’un port P à une distance PN0= D. Une vedette B de vitesse >V part du port P pour rejoindre le navire. Son capitaine désire quitter le port le plus tard possible. On note l’angle entre la trajectoire de la vedette et la normale à la cote, t 1 l’instant de départ de la vedette , t2 l’instant de la rencontre, N2 le point de rencontre. 1. Donner l’expression de t2 en fonction de D, et V 2. Exprimer le temps mis par la vedette entre le port P et le lieu de rencontre N 2en fonction de D, et 3. Donner l’expression de t1 en déduire l’angle qu’il faut choisir pour quitter le port le plus tard possible Mouvements circulaires Exercice I: Dans un repère orthonormé R , les équations paramétriques du mouvement d'un point mobile M, sont : x = A.cos t et y = A.sin t avec: A = 10cm et = 10rad.s-1 1) Caractériser le vecteur vitesse et le vecteur accélération du mobile. Que peut-on dire? 2) Calculer le produit scalaire . , conclure. d) Quelle est la trajectoire du mobile ? Exercice II: Une particule se déplace sur une circonférence de rayon R = 2m suivant la loi: = -2t2 + 10.t est exprimé en radian et t en seconde. 1) Donner l’expression de la vitesse linéaire de la particule en fonction du temps. Calculer sa valeur initiale. 2. Donner l’expression de l’accélération normale et celle de l’accélération tangentielle. 3) Calculer la vitesse angulaire Vang et l'accélération angulaire aang à l'instant t0 = 3s. 4) A quelle date t1, la vitesse angulaire s'annule-t-elle ? Quel est alors le nombre n de tours effectués ? Exercice III: Un cycliste se déplace sur une route horizontale. Sur la jante (cercle en métal qui forme le 2 Retrouver l’énoncé sur http://diagnephysiquechimie.e-monsite.com/ pourtour d’une roue de bicyclette) de la roue arrière à une distance r de son centre I est fixée un objet M décrivant par rapport au cycliste un cercle de centre I, de rayon r et de vitesse angulaire . On désigne par L le point de contact du cercle avec Ox. On suppose qu’à l’instant initial le point M du cercle coïncide avec l’origine O. 1- Quelles sont dans le repère (0, x, y) les coordonnées du point M à l’instant t et la nature de sa trajectoire ? 2- Donner les coordonnées et le module de la vitesse de M. dans le repère (0, x, y) 3- Sachant qu’à l’instant initial s(0) = 0, donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) pour 0 t T= . En déduire la distance parcourue par M quand t = T 4- Calculer les coordonnées et le module de l’accélération de M. 5- Calculer l’accélération tangentielle et l’accélération normale. 6- Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point M. Mouvement sinusoïdal Exercice I: Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal. Il se déplace sur un segment de longueur 6m, la fréquence du mouvement est de 5Hz à l’instant initial, le mobile est à son abscisse maximum. 1) Déterminer son équation horaire. 2) Déterminer la vitesse et l’accélération au temps t=0 3) Déterminer sa nouvelle équation horaire si à t=Os le mobile passe à l’origine avec une vitesse positive. Exercice II: Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal. L’axe xx’ est le support de la trajectoire, l’origine O est le centre du mouvement. La période du mouvement est T=2,0s. A l’instant choisi pour origine des dates, l’abscisse du mobile est xo= 1,2cm, sa vitesse est nulle. 1) 2) 3) 4) Déterminer l’équation horaire du mouvement. Quelle est la vitesse maximale du mobile ? Quelle est l’accélération maximale du mobile ? Calculer l’abscisse, la vitesse et l’accélération du mobile à la date t= 1,5s 3 Retrouver l’énoncé sur http://diagnephysiquechimie.e-monsite.com/