Fiche d`exercices n°10 - IMJ-PRG

2014-2015
LM371
Feuille d’exercices n◦11
Exercice 1
Soit KoϕHun produit semi-direct. Calculer l’´el´ement neutre et l’inverse
d’un ´el´ement (k, h). Montrer que Ket Hsont respectivement isomorphes aux
sous-groupes de G
K={(k, eH) : k∈K}
H={(eK, h) : h∈H}.
Montrer que Kest distingu´e dans KoϕHet que KH =KoϕH.
Exercice 2.
Montrer qu’un produit semi-direct KoϕHest direct si, et seulement si
ϕ:H→Aut(K) est le morphisme trivial ( ∀h∈H, ϕh=id).
Exercice 3.
On note Rnla rotation du plan de centre O, d’angle 2π/n, et Sla sym´etrie
par rapport `a l’axe (Ox).
a) Montrer que S2=id, (Rn)n=id et RnS=SR−1
n.
b) Montrer que le sous-groupe des isom´etries du plan engendr´e par Rnet S
est de cardinal 2n. On le note D2n: c’est le groupe di´edral d’ordre 2n.
c) Montrer que D2nconserve un polygone r´egulier `a ncˆot´es, centr´e en Oet
avec un sommet sur l’axe (Ox).
d) Soit n≥2. Montrer que D2nwZ/nZoZ/2Z.
Exercice 4
Montrer que Snest un produit semi-direct de Anet d’un groupe d’ordre 2.
Exercice 5
Soit nun entier positif et Kun corps. Soit SLn(K) le sous-groupe de
GLn(K) form´e des endomorphismes de d´eterminant 1.
Montrer que GLn(K) = SLn(K)oK∗.
Exercice 6
a) Montrer que le groupe des quaternions n’est pas un produit semi-direct.
b) Montrer que Z/8Zn’est pas un produit semi-direct.
c) Montrer que les groupes (tous de cardinal 8) H,Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z,
Z/2Z×Z/4Z,Z/8Zet D8sont 2 `a 2 non isomorphes.
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Exercice 7.
Soit Gun groupe non ab´elien d’ordre 12, et Hun 3-Sylow de G.
a) Rappeler comment Gagit par translation sur G/H. En d´eduire un ho-
momorphisme de Gdans l’ensemble des bijections de G/H.
Montrer que cet homomorphisme n’est pas injectif si et seulement si Hest
distingu´e dans G. En d´eduire que si Hn’est pas distingu´e dans G, alors Gest
isomorphe `a A4.
b) On suppose que H={1, a, a2}est distingu´e dans G. Montrer que si G
admet un ´el´ement bd’ordre 4, alors bab−1=a2. Caract´eriser Gdans ce cas.
c) On suppose toujours que Hest distingu´e dans G, mais cette fois ci
qu’il n’existe pas d’´el´ement d’ordre 4. Compter le nombre maximal d’´el´ements
d’ordre 2. En d´eduire qu’il existe un ´element d’ordre 6 dans G, puis que Gest
isomorphe au groupe di´edral D12.
d) Faire la liste de tous les groupes (ab´eliens ou non) d’ordre 12, `a isomor-
phisme pr`es.
Exercice 8
Soit pet qdeux nombres premiers. On suppose que p<q.
Soit Gun groupe d’ordre pq.
a) Montrer que, si pne divise pas q−1, Gest cyclique.
On suppose d´esormais que pdivise q−1.
b) Montrer que Aut(Z/qZ) est isomorphe `a Z/(q−1)Z. En d´eduire qu’il
existe phomomorphismes de Z/pZdans Aut(Z/qZ).
c) Montrer que Gest cyclique ou est un produit semi-direct Z/qZo Z/pZ.
d) Soit φet ψdeux homomorphismes non triviaux de Z/pZdans Aut(Z/qZ).
Montrer qu’il existe α∈Aut(Z/pZ) tel que ψ=φ◦α. En d´eduire que tous les
produits semi-directs de c) sont isomorphes.
Exercice 9
Montrer qu’un groupe d’ordre 255 est cyclique.
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