Matrices

Matrices
I Matrices et opérations
I.1 definitions
Définition 1
Soit nun entier naturel non nul.
Une matrice carrée d’ordre nest un tableau de nombres réels comportant nlignes et ncolonnes.
Le nombre placé à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne est noté ai,j et s’appelle
le coefficient d’indice (i;j).
a1,1a1,2··· a1,j ··· a1,n
a2,1a2,2··· a2,j ··· a2,n
A=.
.
..
.
..
.
.
ai,1ai,2··· ai,j ··· ai,n ←i-ème ligne
.
.
..
.
..
.
.
an,1an,2··· an,j ··· an,n
↑
j-ième colonne
La diagonale de la matrice Aest formée de tous les coeficients de Adont les numéros de ligne et
de colonne sont égaux : a1,1;a2,2;···;an,n
Cas particuliers
•La matrice carrée d’ordre ndont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle
et est notée 0n.
•Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de
la diagonale, est appelée matrice diagonale.
1

I. MATRICES ET OPÉRATIONS
•la matrice diagonale d’ordre ndont les coefficients sur le diagonale sont égaux à 1 est appelée
matrice identité d’ordre net est notée In.
I2=1 0
0 1 I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I4=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Propriété 1
Deux matrices carrées sont égales si, et seulement si, elles sont de mêmes ordres net si, pour
tous entiers iet jvariant de 1àn, les coefficients d’indice (i, j)sont égaux.
Définition 2
Soit un entier naturel non nul n. Une matrice colonne B(ou vecteur colonne) de dimension nest
un tableau de nombres réels comportant nlignes et 1 colonne. Le nombre placé à la ième ligne
est noté biet est appelé coefficient d’indice i.
B=
b1
b2
.
.
.
bi
.
.
.
bn
I.2 Somme et produit par un réel
Définition 3
Soit un entier naturel non nul n.
On considère deux matrices carrées Aet Bde même ordre net un réel k.
•La somme des matrices Aet B, notée A+B, est la matrice carrée d’ordre ndont le coefficient
d’indice (i, j)pour tous les iet jentre 1 et n, est égal à ai,j +bi,j .
•Le produit de la matrice Apar le réel k, notée kA, est la matrice carrée d’ordre ndont le
coefficient d’indice (i, j)pour tous les iet jentre 1 et n, est égal à k×ai,j .
-->A=[1 2 3; 5 0 1; 2 -9 3]
A =
1. 2. 3.
5. 0. 1.
2. - 9. 3.
-->2*A
ans =
2. 4. 6.
10. 0. 2.
4. - 18. 6.
-->B=eye(3,3)
B =
1. 0. 0.
0. 1. 0.
0. 0. 1.
-->A+B
ans =
2. 2. 3.
5. 1. 1.
2. - 9. 4.
2

I. MATRICES ET OPÉRATIONS
I.3 Produit d’une matrice carrée par une matrice colonne
Définition 4
Soit un entier naturel nnon nul.
On considère une matrice carrée Ad’ordre net une colonne Bde même dimension n.
Le produit de la matrice carrée Apar la matrice colonne B, noté A×B, est la matrice colonne
Pde dimension ndont, pour tout entier ientre 1 et n, le coefficient d’indice iest égal à :
pi=ai,1×b1+ai,2×b2+···+ai,n ×bn=
n
X
j=1
ai,j ×bj
En pratique, il est commode de disposer les matrices de la façon suivante pour calculer leur
produit :
B=
b1
b2
.
.
.
bi
.
.
.
bn
A=
a1,1a1,2··· a1,j ··· a1,n
a2,1a2,2··· a2,j ··· a2,n
.
.
..
.
..
.
.
ai,1ai,2··· ai,j ··· ai,n
.
.
..
.
..
.
.
an,1an,2··· an,j ··· an,n
p1
p2
.
.
.
pi=ai,1×b1+ai,2×b2+···+ai,n ×bn
.
.
.
pn
Exemple
-->A=[1 2 3; 5 0 1; 2 -9 3]
A =
1. 2. 3.
5. 0. 1.
2. - 9. 3.
-->B=[-5; 6; 0]
B =
- 5.
6.
0.
-->A*B
ans =
7.
- 25.
- 64.
Exemple
(Suite de Fibonacci)
Soit (un)la suite définie par u0= 1,u1= 1 et un+2 =un+1 +un.
On pose Un=un
un+1 
1. Déterminer la matrice Atelle que Un+1 =AUn.
2. Déterminer U1, puis U2.
3

I. MATRICES ET OPÉRATIONS
I.4 produit de deux matrices carrées
Définition 5
Soit un entier naturel nnon nul.
On considère deux matrices carrées Aet Bde même orde n.
Le produit de la matrice Apar la matrice B, notée A×B, est la matrice carrée Pd’ordre ndont
le coefficient d’indice (i, j)pour tous entiers iet jvariant de 1 à n, est égal à :
pi,j =ai,1×b1,j +ai,2×b2,j +···+ai,n ×bn,j =
n
X
k=1
ai,k ×bk,j
Exemple
Produit de deux matrices sous scilab :
-->A=[3 -1; -2 4]
A =
3. - 1.
- 2. 4.
-->B=[1 4; 3 -2]
B =
1. 4.
3. - 2.
-->A*B
ans =
0. 14.
10. - 16.
-->B*A
ans =
- 5. 15.
13. - 11.
On remarque que le produit n’est pa commutatif.
Exemple
Nombre de trajets :
V1 V2
V3
l1
l2
l3
l4
l5
Une companie de bus propose différentes lignes reliant 3 villes.
On note Ala matrice dont le coefficient ai,j est égal au nombre de lignes reliant la ville V i
à la ville V j.
1. Déterminer A.
2. Déterminer A2.
3. Combien de trajets utilisant deux lignes permettent d’aller de la ville V1à la ville V3?
4

II. INVERSE D’UNE MATRICE CARRÉE
Propriété 2
Soit un entier naturel nnon nul.
On considère des matrices carrées A, B, C de même ordre n. Alors :
1. proprieté de distributivité : (A+B)×C=A×C+B×C.
A×(B+C) = A×B+A×C.
2. proprieté d’associativité : (A×B)×C=A×(B×C).
3. Pour tout réel k:k×(A×B) = (k×A)×C.
4. A×In=In×A=A, où Inest la matrice identité d’ordre n.
Exemple
Soient les matrices A=
2 1 1
1 2 1
1 1 2
et J=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1. Ecrire Aen fontion de I3et J.
2. Déterminer J2en fonction de J.
3. En déduire A2.
II Inverse d’une matrice carrée
II.1 Définition
Définition 6
Soit nun entier naturel non nul.
Une matrice carrée Ad’ordre nest dite inversible s’il existe une matrice carrée Bd’ordre n
telle que A×B=B×A=In.
La matrice Best alors unique et s’appelle inverse de A. On la note A−1.
Preuve :
On suppose que la matrice Ad’ordre nest inversible.
Soient deux matrice Bet Cd’ordre ntelle que :
A×B=B×A=A×C=C×A=In
Alors, B=B×(A×C) = (B×A)×C=C.
Les matrices sont donc égales. 
Propriété 3
Soit un entier naturel nnon nul.
Pour toutes les matrices Aet Bcarrées d’ordre n,
1. Si Aest inversible, alors la matrice A−1est inversible et (A−1)−1=A.
2. Si Aet Bsont inversibles, alors la matrice A×Best inversible et (A×B)−1=B−1×A−1.
Exemple
Soit la matrice A=5 1
3 4 .
1. Déterminer la matrice inverse Aà l’aide de la calculatrice. Vérifier le résultat.
2. Déterminer l’inverse de Aà la main.
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