fonctions exponentielles et logarithme neperien 2

Mr :Khammour.Khalil Révision :Fonctions exponentielles et logarithme népérien 4èmeMath
Exercice n°1 :
A) Résolution de l’équation différentielle
'x y y e
(1)
1) Résoudre l’équation différentielle
'0yy
(2).
2) Soit a un réel et u la fonction définie par
() x u x axe
. Déterminer a pour que u soit solution de (1).
3) a) Montrer qu’une fonction v définie sur est solution de (2) si et seulement si la fonction u − v est solution de (1).
b) En déduire l’ensemble des solutions de (1).
4) Déterminer la solution de (1) qui s’annule en 0.
B) On considère la fonction f définie sur par
() x f x xe
et on désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère
orthonormé
( ; , )O i j
(unité graphique 2 cm).
1) Dresser le tableau de variation de la fonction f ; on précisera les limites aux bornes de l’ensemble de définition.
2) Tracer la courbe (C) ; on précisera la tangente en O et l’asymptote.
3) Soit un nombre réel strictement positif. Calculer en cm2, l’aire
()S
limité par la courbe (C) et les droites
d’équations y=0 , x=0 et
x=α
.
4) Déterminer la limite de
()S
lorsque tend vers .
Exercice n°2 :
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par :
1
( ) ( 1) x f x x e
. On note (C) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé
;,O i j
.
A) Calculer la dérivée f ‘ de f sur ]0 ; +[ et donner le tableau de variation de f en précisant les limites de f en 0 et en +.
B) On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par
2
( ) 1 2
XX
g X e X
.
1) a) Déterminer g '(X)et g ''(X) pour tout
0X
.
b) Quel est le signe de g '(X) sur [0 ; + [ ? Justifier la réponse.
c) Quel est le signe de g(X) sur [0 ; +[ ? Justifier la réponse.
2) À l'aide des signes de g(X) et de g'(X), déterminer deux polynômes P1 et P2 tels que l'on ait pour tout
0X
, P1(X)
X
e
P2(X).
C) 1) En utilisant les résultats de B), déterminer les réels a, b, c, d et e qui vérifient pour tout x > 0
2
()
a c d
b f x x e
xx
x
.
2) En déduire la limite de f(x) – x quand x tend vers +. Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f ?
D) Soit un réel ]0 ; +[. On appelle (T ) la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse et t l'abscisse du point
d'intersection de (T ) avec l'axe des abscisses.
1) a) Déterminer une équation de (T1).
b) Calculer la valeur de t1.
2) Donner l'expression de t en fonction de .
Exercice n°3 :
Soit a [0 ; + [. On note
00
() 1
adt
Ia t
et pour k *, on pose
1
0
()
() (1 )
k
a
kk
ta
I a dt
t
.
1) Calculer
0()Ia
en fonction de a.
2) En utilisant une intégration par parties, exprimer
1()Ia
en fonction de a et de
0()Ia
.
3) En utilisant une intégration par parties, exprimer
1() k
Ia
en fonction de
1k
a
et de Ik(a).
4) P désignant un polynôme de degré 5, déterminer P(a) tel que
5
6
0
() ln(1 ) ( )
(1 )
atadt a P a
t
.

5) Calculer
5
0
( ) ( )
a
J a t a dt
.
6) On pose
5
56
0
()
( ) ( ) (1 )
ata
K a t a dt
t
. Quel est le signe de K(a) ? Justifier votre résultat.
7) Justifier que
5
( ) ( ) 0J a I a
.
8) En utilisant les résultats précédents, justifier que l’on a pour tout réel a [0 ; +[,
2 3 4 5 6
ln(1 ) 2 3 4 5 6
a a a a a
aa      
.
Exercice n°4 :
A) On considère l'application g de [0 ; + [ dans définie par
22
2
2
( ) ln( 1)
1
x
g x x
x
Déterminer la limite de g(x) quand x tend vers +.
1) Calculer la dérivée de g et donner le tableau de variation de g.
2) a) Montrer que, sur l'intervalle [1 ; + [, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique .
b) Donner une valeur approchée de à 10 −1 près et justifier la réponse.
3) Préciser le signe de g sur +.
B) Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par
2
ln( 1)
( ) si 0, (0) 0
x
f x x f
x
et soit (C) la courbe représentative de f dans
un repère orthonormé
;,O i j
.
1) a) Calculer
0
( ) (0)
lim
x
f x f
x
. Déterminer une équation de la tangente T0 à (C) au point d'abscisse 0.
b) Montrer que
0
lim ( ) 0
xfx
et que
lim ( ) 0
xfx
.
2) a) Calculer f '(x) et donner une relation liant f ’(x) et g(x) pour x > 0 .
b) Soit le réel défini à la question A. 2.a. Établir que
2
2
() 1 f
.
c) Donner le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).
C) On considère la fonction F définie sur [ 1 ; + [ par
1
( ) ( )
x
F x f t dt
.
1) Montrer que, pour tout x de l’intervalle [ 1 ; + [,
22
ln( ) ln( 1)xx
. En déduire le réel A tel que, pour x > 1,
2
ln ln( 1)
.xx Axx
.
2) Calculer, pour
1x
, l'intégrale
1
ln
() xt I x dt
t
. On explicitera le calcul et on trouvera I(x) de la forme I(x) = B(lnx)k .
3) a) A l'aide des questions C)1). et C)2)., déterminer une fonction telle que, pour tout
1x
,
( ) ( )x F x
.
b) En déduire la limite de F(x) quand x tend vers + . Justifier la réponse.
4) Déterminer la dérivée F '(x) de F(x) et donner le tableau de variation de la fonction F.
Exercice n°5 :
Dans tout le problème
;,O i j
est un repère orthonormé du plan P.
On note f la fonction définie sur par
() 1x
x
e
fx e
. On appelle C la courbe représentative de f dans le repère
;,O i j
.
A) 1) Etude de f :
a) Calculer les limites de f en et .
b) Préciser les équations des asymptotes.
2) Donner l’expression de f ’(x) où f ’ est la dérivée de f. Dresser le tableau de variation de f. Préciser f(0).

3) Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse x=0 ; on note T0 cette tangente.
4) a) Soit x un réel quelconque. Calculer f(x)+f(– x).
b) Quelle propriété de symétrie peut on déduire de la question précédente ?
c) Tracer C, ses asymptotes et la tangente T0 .
B) 1) a) Soit
( ) 1 x u x e
. Calculer u’(x).
b) En déduire la primitive F de f qui prend la valeur – ln2 en x = 0.
2) a) On pose
1
0()A f x dx
. Calculer A.
b) Déterminer le réel c tel que A=lnc.
3) Pour tout entier naturel n non nul on pose
1
1
1()
n
n
n
v f x dx
. Exprimer vn en fonction de n. Calculer
lim n
nv
.
4) et désignent des réels quelconques vérifiant .
a) Justifier que pour tout x appartenant à
[ , ]
on a
( ) ( ) ( )f f x f
.
b) Justifier que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f x dx f
.
c) Quelles valeurs
1
et
1
doit on donner aux réels et pour obtenir l’égalité
11
()
kn
k
n
k
f x dx f
nn
où k est un
entier et n un entier non nul ?
d) Quelles valeurs
2
et
2
doit on donner aux réels et pour obtenir l’inégalité
1
1()
k
n
kn
k
f f x dx
nn 
où k est un
entier et n un entier non nul ?
5) a) Déterminer en fonction de n les réels et tels que
1
1( ) ( )
kn
k
n
kn
kf x dx f x dx
.
b) Déterminer les réels et tels que
1
1( ) ( )
k
n
kn
kn
kf x dx f x dx
.
6) Pour tout entier n non nul on pose
1
1
n
kn
k
k
Sf
nn
. On rappelle que
1
1
1()
n
n
n
v f x dx
et que
1
0()A f x dx
.
a) Justifier que
nn
v S A
.
b) Justifier que la suite (Sn) est convergente et donner sa limite.

Exercice n°6 :
Soit la fonction g définie sur par
xx
xx
ee
gx ee
. On note Cg sa courbe représentative dans le plan rapporté à un
repère orthonormé
( ; , )O i j
.
1) Montrer que g est impaire.
2) a) Montrer que, pour tout réel x, on a
2
2
1
1
x
x
e
gx e
.
c) Calculer
lim
xgx
. Justifier la réponse.
3) a) Déduire de ce qui précède que Cg admet une droite asymptote
1
au voisinage de .
b) En utilisant la question 1., déduire que Cg admet une droite asymptote
2
au voisinage de dont on donnera
une équation.
4) a) Montrer que pour tout réel x, ona
1gx
.
b) Indiquer alors la position de la courbe Cg par rapport aux deux asymptotes
1
et
2
.
5) a) Déterminer g’(x), où g’ désigne la dérivée de g.
b) Donner le tableau de variation de g sur .
6) Déterminer une équation de la tangente T0 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.
7) Tracer Cg, les asymptotes
1
et
2
et la tangente T0.
Exercice n°7 :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct
( ; , )O i j
. Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn,
définie sur par :
() 1
nx
nx
e
fx e
.
On note Cn la courbe représentative de fn dans P.
A) Dans cette partie, on étudie la fonction fn dans deux cas particuliers : n = 0 et n = 1.
1) Ecrire les expressions f0(x) et f1(x).
2) a) Calculer
0
lim ( )
xfx
et
0
lim ( )
xfx
.
b) Préciser les équations des asymptotes en et en à la courbe représentative C0 de f0.
3) a) Calculer f’0(x) où f’0 est la dérivée de f0. Dresser le tableau de variation de f0.
b) Déterminer une équation de la tangente TI à C0, au point
1
0;2 I
.
c) Tracer la courbe C0, ses asymptotes et la tangente TI.
4) a) Déterminer le réel a tel que, pour tout réel x,on ait :
10
( ) ( )f x f x a  
. On donnera le détail du calcul.
b) En déduire la transformation géométrique simple par laquelle la courbe C1 représentative de f1 se déduit de C0.
c) Tracer alors en couleur C1 sur la figure de la question 4.
B) On considère la suite (un),
n
, dont le terme général est donné par :
1
0()
nn
u f x dx
.
1) a) Justifier que u0 + u1 = 1 en donnant le détail du calcul.
b) Calculer u1. On donnera le détail du calcul.

2) a) Soit n un entier non nul. Calculer l’intégrale
1
0
nx
I e dx
. On donnera le détail du calcul.
b) Justifier que pour tout entier naturel non nul n, on a :
11n nn e
uu n
.
3) a) Soit n un entier naturel quelconque et x un réel de [0 ; 1]. Quel est le signe de fn+1(x) − fn(x) ? Justifier la réponse.
b) En déduire alors le sens de variation de la suite (un),
n
.
4) Justifier que pour tout entier naturel n, on a un > 0.
5) Expliquer pourquoi la suite (un),
n
, admet une limite lorsque n tend vers .
6) On note l la limite de la suite (un).
a) Calculer
1
lim n
n
e
n
. Justifier le résultat.
b) En déduire l. Justifier le résultat.
Exercice n°8 :
Soit la fonction f définie sur par :
1x f x x e
.
On note Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé
( ; , )O i j
.
1) a) Donner les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
b) En déduire que f admet une asymptote au voisinage de dont on donnera une équation.
2) a) Déterminer f ’(x)
b) Compléter le tableau des variations de f.
3) a) Déterminer une équation de la tangente T1 au point A d'abscisse 1 de la courbe Cf et une équation
de la tangente T−1 au point B d'abscisse −1.
b) Expliquer pourquoi l'on peut affirmer que les tangentes T1 et T−1 sont perpendiculaires.
4) On se propose d'étudier la position de Cf par rapport à T−1. Pour cela, on considère la fonction g définie sur par :
3
1xx g x x e e
.
a) Déterminer
'gx
et
''gx
où
'g
et
''g
sont les dérivées première et seconde de g.
b) Etudier le signe de
''g
et le sens de variation de
'g
. Préciser la valeur de
'1g
.Etudier le signe de
'g
et le sens
de variation de g. Préciser la valeur de
1g
. Enfin donner le signe de g.
c) Indiquer alors la position de la courbe Cf par rapport à la tangente T−1.
5) Tracer l'asymptote , les tangentes T1 et T−1 et la courbe Cf. Pour tracer ces courbes, on considèrera les valeurs
approchées suivantes :
2,7e
;
10,4
e
.
Exercice n°9 :
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on considère la fonction fn définie sur [0 ; [ par :
nx
n
f x x e
.