fonctions exponentielles et logarithme neperien

Mr :Khammour.Khalil
4èmeMath
Révision :Fonctions exponentielles et logarithme népérien
Exercice n°1 :
A) Résolution de l’équation différentielle y ' y  e x (1)
1) Résoudre l’équation différentielle y ' y  0 (2).
2) Soit a un réel et u la fonction définie par u( x )  axe x . Déterminer a pour que u soit solution de (1).
3) a) Montrer qu’une fonction v définie sur est solution de (2) si et seulement si la fonction u − v est solution de (1)
b) En déduire l’ensemble des solutions de (1).
4) Déterminer la solution de (1) qui s’annule en 0.
B) On considère la fonction f définie sur par f ( x)  xe x et on désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O ; i , j ) (unité graphique 2 cm).
1) Dresser le tableau de variation de la fonction f ; on précisera les limites aux bornes de l’ensemble de définition.
2) Tracer la courbe (C) ; on précisera la tangente en O et l’asymptote.
3) Soit  un nombre réel strictement positif. Calculer en cm2, l’aire S( ) limité par la courbe (C) et les droites
d’équations y=0 , x=0 et x=α .
4) Déterminer la limite de S( ) lorsque  tend vers  .
Exercice n°2 :
1
x
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par : f ( x )  ( x  1)e
dans un repère orthonormé  O ; i , j  .
. On note (C) sa courbe représentative
A) Calculer la dérivée f ‘ de f sur ]0 ; +[ et donner le tableau de variation de f en précisant les limites de f en 0 et en +.
B) On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par g( X )  e X  1  X 
X2
.
2
1) a) Déterminer g '(X)et g ''(X) pour tout X  0 .
b) Quel est le signe de g '(X) sur [0 ; + [ ? Justifier la réponse.
c) Quel est le signe de g(X) sur [0 ; +[ ? Justifier la réponse.
2) À l'aide des signes de g(X) et de g'(X), déterminer deux polynômes P1 et P2 tels que l'on ait pour tout X  0 , P1(X)
 e X  P2(X).
a
x
C) 1) En utilisant les résultats de B), déterminer les réels a, b, c, d et e qui vérifient pour tout x > 0  b  f ( x )  x 
c d
 e
x2 x
.
2) En déduire la limite de f(x) – x quand x tend vers +. Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f ?
D) Soit un réel   ]0 ; +[. On appelle (T) la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse  et t l'abscisse du point
d'intersection de (T) avec l'axe des abscisses.
1) a) Déterminer une équation de (T1).
b) Calculer la valeur de t1.
2) Donner l'expression de t en fonction de .
Exercice n°3 :
Soit a  [0 ; + [. On note I0 ( a) 

a
0
dt
et pour k 
1 t
*, on pose Ik ( a) 

a
0
( t  a)k
(1  t)k 1
dt .
1) Calculer I0 ( a) en fonction de a.
2) En utilisant une intégration par parties, exprimer I1( a) en fonction de a et de I0 ( a) .
3) En utilisant une intégration par parties, exprimer Ik 1( a) en fonction de ak 1 et de Ik(a).
4) P désignant un polynôme de degré 5, déterminer P(a) tel que

a ( t  a)5
0
(1  t)6
dt  ln(1  a)  P( a) .
5) Calculer J( a) 
(t  a)5 dt .
0
a
5
5 ( t  a)
 ( t  a) 
6
0 
(1  t)
J( a)  I5 ( a)  0 .
6) On pose K( a) 
7) Justifier que

a


 dt .

Quel est le signe de K(a) ? Justifier votre résultat.
8) En utilisant les résultats précédents, justifier que l’on a pour tout réel a  [0 ; +[, ln(1  a)  a 
a2 a3 a4 a5
a6




2
3
4
5
6
Exercice n°4 :
A) On considère l'application g de [0 ; + [ dans
définie par g( x) 
2 x2
x2  1
 ln( x 2  1)
Déterminer la limite de g(x) quand x tend vers +.
1) Calculer la dérivée de g et donner le tableau de variation de g.
2) a) Montrer que, sur l'intervalle [1 ; + [, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique  .
b) Donner une valeur approchée de  à 10 −1 près et justifier la réponse.
3) Préciser le signe de g sur +.
B) Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f ( x) 
un repère orthonormé  O ; i , j  .
f ( x )  f (0)
. Déterminer une équation
x
que lim f ( x)  0 et que lim f ( x)  0 .
1) a) Calculer lim
x 0
b) Montrer
ln( x2  1)
si x  0, f (0)  0 et soit (C) la courbe représentative de f dans
x
x 0
de la tangente T0 à (C) au point d'abscisse 0.
x 
2) a) Calculer f '(x) et donner une relation liant f ’(x) et g(x) pour x > 0 .
b) Soit  le réel défini à la question A. 2.a. Établir que f ( ) 
2
.
2 1
c) Donner le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).
C) On considère la fonction F définie sur [ 1 ; + [ par F( x) 

x
f ( t)dt .
1
1) Montrer que, pour tout x de l’intervalle [ 1 ; + [, ln( x 2 )  ln( x 2  1) . En déduire le réel A tel que, pour x > 1,
A.
ln x ln( x2  1)
.

x
x
2) Calculer, pour x  1 , l'intégrale I( x) 

x
1
ln t
k
dt . On explicitera le calcul et on trouvera I(x) de la forme I(x) = B(lnx) .
t
3) a) A l'aide des questions C)1). et C)2)., déterminer une fonction  telle que, pour tout x  1 , ( x)  F( x) .
b) En déduire la limite de F(x) quand x tend vers + . Justifier la réponse.
4) Déterminer la dérivée F '(x) de F(x) et donner le tableau de variation de la fonction F.
Exercice n°5 :
Dans tout le problème  O ; i , j  est un repère orthonormé du plan P.
On note f la fonction définie sur
par f ( x) 
e x
1  e x
. On appelle C la courbe représentative de f dans le repère  O ; i , j  .
A) 1) Etude de f :
a) Calculer les limites de f en  et  .
b) Préciser les équations des asymptotes.
2) Donner l’expression de f ’(x) où f ’ est la dérivée de f. Dresser le tableau de variation de f. Préciser f(0).
.
3) Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse x=0 ; on note T0 cette tangente.
4) a) Soit x un réel quelconque. Calculer f(x)+f(– x).
b) Quelle propriété de symétrie peut on déduire de la question précédente ?
c) Tracer C, ses asymptotes et la tangente T0 .
B) 1) a) Soit u( x)  1  e x . Calculer u’(x).
b) En déduire la primitive F de f qui prend la valeur – ln2 en x = 0.
2) a) On pose A 

1
f ( x )dx . Calculer A.
0
b) Déterminer le réel c tel que A=lnc.
3) Pour tout entier naturel n non nul on pose vn 

1
1
n
1
n
f ( x)dx . Exprimer vn en fonction de n. Calculer lim vn .
n
4)  et  désignent des réels quelconques vérifiant    .
a) Justifier que pour tout x appartenant à [ ,  ] on a f (  )  f ( x)  f ( ) .
b) Justifier que (    )f (  ) 



f ( x)dx (    )f ( ) .

k 1
n
f ( x)dx
k
n
d) Quelles valeurs  2 et  2 doit on donner aux réels  et  pour obtenir l’inégalité
1 k
f 
n n
c) Quelles valeurs 1 et 1 doit on donner aux réels  et  pour obtenir l’égalité
1 k
 f   où k est un
n n
entier et n un entier non nul ?

k
n
f ( x )dx
k 1
n
entier et n un entier non nul ?
5) a) Déterminer en fonction de n les réels  et  tels que
b) Déterminer les réels  et  tels que
k n 



k 1 
k
n
f ( x )dx
k 1
n
k n 



k 1 





k 1
n
f ( x )dx
k
n







f ( x )dx .


f ( x )dx .
k n

1 k
f   . On rappelle que vn 
6) Pour tout entier n non nul on pose Sn 
n n
k 1
a) Justifier que vn  Sn  A .
b) Justifier que la suite (Sn) est convergente et donner sa limite.

1
1
n
1
n
f ( x)dx et que A 

1
f ( x )dx .
0
où k est un
Exercice n°6 :
Soit la fonction g définie sur
par g  x  
ex  e x
ex  e x
. On note Cg sa courbe représentative dans le plan rapporté à un
repère orthonormé (O ; i , j ) .
1) Montrer que g est impaire.
2) a) Montrer que, pour tout réel x, on a g  x  
c) Calculer lim g  x  . Justifier la réponse.
1  e2 x
1  e2 x
.
x 
3) a) Déduire de ce qui précède que Cg admet une droite asymptote 1 au voisinage de  .
b) En utilisant la question 1., déduire que Cg admet une droite asymptote  2 au voisinage de  dont on donnera
une équation.
4) a) Montrer que pour tout réel x, ona g  x   1 .
b) Indiquer alors la position de la courbe Cg par rapport aux deux asymptotes 1 et  2 .
5) a) Déterminer g’(x), où g’ désigne la dérivée de g.
b) Donner le tableau de variation de g sur .
6) Déterminer une équation de la tangente T0 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.
7) Tracer Cg, les asymptotes 1 et  2 et la tangente T0.
Exercice n°7 :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; i , j ) . Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn,
définie sur
par : fn ( x) 
e nx
1  e x
.
On note Cn la courbe représentative de fn dans P.
A) Dans cette partie, on étudie la fonction fn dans deux cas particuliers : n = 0 et n = 1.
1) Ecrire les expressions f0(x) et f1(x).
2) a) Calculer lim f0 ( x) et lim f0 ( x) .
x 
x 
b) Préciser les équations des asymptotes en  et en  à la courbe représentative C0 de f0.
3) a) Calculer f’0(x) où f’0 est la dérivée de f0. Dresser le tableau de variation de f0.
1
b) Déterminer une équation de la tangente TI à C0, au point I  0 ;  .

2
c) Tracer la courbe C0, ses asymptotes et la tangente TI.
4) a) Déterminer le réel a tel que, pour tout réel x,on ait : f1 ( x)  f0 (x)  a . On donnera le détail du calcul.
b) En déduire la transformation géométrique simple par laquelle la courbe C1 représentative de f1 se déduit de C0.
c) Tracer alors en couleur C1 sur la figure de la question 4.
B) On considère la suite (un), n , dont le terme général est donné par : un 
1) a) Justifier que u0 + u1 = 1 en donnant le détail du calcul.
b) Calculer u1. On donnera le détail du calcul.

1
0
fn ( x )dx .
2) a) Soit n un entier non nul. Calculer l’intégrale I 

1
e nx dx . On donnera le détail du calcul.
0
b) Justifier que pour tout entier naturel non nul n, on a : un1  un 
1  en
.
n
3) a) Soit n un entier naturel quelconque et x un réel de [0 ; 1]. Quel est le signe de fn+1(x) − fn(x) ? Justifier la réponse.
b) En déduire alors le sens de variation de la suite (un), n .
4) Justifier que pour tout entier naturel n, on a un > 0.
5) Expliquer pourquoi la suite (un), n , admet une limite lorsque n tend vers
 .
6) On note l la limite de la suite (un).
1  e n
. Justifier le résultat.
n
n
a) Calculer lim
b) En déduire l. Justifier le résultat.
Exercice n°8 :
Soit la fonction f définie sur
par : f  x    1  x  ex .
On note Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) .
1) a) Donner les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
b) En déduire que f admet une asymptote  au voisinage de  dont on donnera une équation.
2) a) Déterminer f ’(x)
b) Compléter le tableau des variations de f.
3) a) Déterminer une équation de la tangente T1 au point A d'abscisse 1 de la courbe Cf et une équation
de la tangente T−1 au point B d'abscisse −1.
b) Expliquer pourquoi l'on peut affirmer que les tangentes T1 et T−1 sont perpendiculaires.
4) On se propose d'étudier la position de Cf par rapport à T−1. Pour cela, on considère la fonction g définie sur
par :
 x3 
g  x    1  x  ex  
.
 e 
a) Déterminer g '  x  et g ''  x  où g ' et g '' sont les dérivées première et seconde de g.
b) Etudier le signe de g '' et le sens de variation de g ' . Préciser la valeur de g '  1  .Etudier le signe de g ' et le sens
de variation de g. Préciser la valeur de g  1  . Enfin donner le signe de g.
c) Indiquer alors la position de la courbe Cf par rapport à la tangente T−1.
5) Tracer l'asymptote  , les tangentes T1 et T−1 et la courbe Cf. Pour tracer ces courbes, on considèrera les valeurs
approchées suivantes : e  2,7 ;
1
 0, 4 .
e
Exercice n°9 :
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on considère la fonction fn définie sur [0 ;
 [
par : fn  x   x n e x .
Soit Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal (O ; i , j ) , l'unité sur l'axe des abscisses étant de 1 cm et
sur l'axe des ordonnées de 2 cm.
1) a) Déterminer lim f n  x 
x 
b)En déduire que Cn admet une asymptote  n , au voisinage de
 ,
dont on donnera une équation.
2) a) Déterminer f 'n  x  , pour x   0 ;    , où f 'n désigne la dérivée de fn.
b) Dresser le tableau des variations de fn. Préciser les valeurs de fn  0  , f 'n  0  et fn  n  .
3) La fonction f2 est définie sur [0 ;
 [
par : f2  x   x 2 e x .
a) Tracer la courbe C2 représentative de f2 dans le repère (O ; i , j ) .
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection B1 et B2 des courbes C2 et C3.
c) Montrer que pour tout entier n > 2, la courbe Cn passe par les deux points B1 et B2.
4) a) Donner la valeur exacte de l'intégrale : J 

2
e x dx . On indiquera les calculs intermédiaires.
0
b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale : K 

2
xe x dx . On indiquera les calculs intermédiaires et
0
on donnera la valeur exacte de l'intégrale.
c) À l'aide d'une intégration par parties, exprimer, en fonction de K l'intégrale : I 

2
x 2 e x dx . On indiquera les
0
calculs intermédiaires.
d) On note Q la partie de plan délimitée par les axes du repère, la courbe C2 et la droite d'équation x = 2.
Donner une valeur approchée à 10–2 près de l'aire A(Q) de la partie Q, en unités d'aire, puis en cm2.
e) Hachurer la partie Q sur le graphique de la question 3. a.
Exercice n°10 :
On considère la suite définie, pour tout entier n de IN, par un  en .
1) a) Justifier que la suite  un n est décroissante.
b) Montrer que, pour tout entier n de IN, on a : 0 < un  1.
2) Étudier le signe de la fonction h définie, pour tout réel t de  0 ;    , par : h  t   1  ln t .
3) Soit la fonction g définie, pour tout réel t de  0 ;    , par : g  t   t  2  ln t  .
a) Déterminer g '  t  où g' est la dérivée de g. On détaillera le calcul.
b) En déduire la primitive H de la fonction h qui s'annule en e2. On justifiera la réponse.
4) On considère maintenant la suite  vn n définie, pour tout entier n de IN, par : vn 
a) Justifier que, pour tout entier n de IN, on a : vn  0 .
b) À l'aide de la question 3. b., calculer vn en fonction de n. On détaillera le calcul.
c) Déterminer alors lim vn .
n
5) Pour tout entier n de IN, on pose : Sn  v0  v1  ...  vn .
Exprimer Sn en fonction de n. Déterminer alors lim Sn .
n

e n
 n1 
e 
 1  ln t  dt .
Exercice n°11 :
On considère la fonction f définie, pour tout réel de  0 ;    , par : f  x   2ln x   ln x 2 .
Soit C la courbe représentant f dans un repère (O ; i , j ) orthonormé.
1) a) Déterminer lim f  x  .

x 0
b) Déterminer lim f  x  . Justifier la réponse.
x
2) a) Déterminer f '  x  .
b) Pour tout x   0 ;    , f   x  s’écrit sous la forme : f '  x   g  x  1  ln x  . Donner l’expression de g  x  .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. f présente un extremum en un point M. Donner les coordonnées
(xM, yM) de M.
3) La courbe C coupe l’axe des abscisses (Ox) en deux points A et B d’abscisses respectives xA et xB telles que xA < xB.
Déterminer les valeurs exactes de xA et de xB.
5) Placer les points A, B et M. Tracer la courbe C ainsi que sa tangente au point M.
6) On considère la fonction F définie, pour tout x   0 ;    , par : F  x   x 4  4 ln x   ln x 2 .


a) Montrer que F est une primitive de f. Détailler les calculs.
b) Soit J l’intégrale définie par : J 

e
1
f  x  dx .Calculer
la valeur exacte de J en justifiant le calcul.
c) Sur la figure du 4, hachurer la partie du plan dont l’aire, exprimée en unités d’aire, vaut J.
Exercice n°12 :
Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) .
A) Soit  un nombre réel non nul.
On considère la fonction f : x
e x définie sur IR. Sa courbe représentative dans le repère (O ; i , j ) est notée  C   .
1) Étudier les variations de la fonction f selon le signe de  .
2) Déterminer l’équation réduite de la tangente T , a à la courbe  C   au point A d’abscisse a où a est un réel.
3) a) À l’aide de la calculatrice, conjecturer, selon le signe de  , la position de la courbe  C   par rapport à la tangente T
au point A.
4) b) Donner l’allure de la courbe  C   selon le signe de  .
B) 1) Pour tout réel   0 , on note     l’aire sous la courbe  C   sur l’intervalle  0 ;   , exprimée en unités d’aire.
a) Déterminer la valeur de     .
b) Déterminer, si elle existe, la limite de     lorsque  tend vers  .
2)a) Justifier l’existence des écritures I    


0
tf  t  dt
et J   


0
t2 f  t  dt .
b) Calculer la valeur de chacune de ces deux intégrales.
c) En déduire leurs limites respectives lorsque  tend vers  , si elles existent.
C) On dit qu’une fonction f définie sur  0 ;    est une densité de probabilité sur  0 ;    si :
 pour tout réel x de  0 ;    , f  x   0 ;
 la fonction f est continue sur  0 ;    ;
 la limite lim
x

x
0
f  t  dt
existe et est égale à 1.
On définit alors une loi de probabilité IP sur  0 ;    de densité f : pour tout intervalle  a ; b  inclus dans
b
 0 ;    , la probabilité de l’intervalle  a ; b  est   a ; b     f  t  dt .
a
Une variable aléatoire X à valeurs dans  0 ;    suit la loi IP si, pour tout intervalle  a ; b  , inclus dans
b
 0 ;    ,  a  X  b    f  t  dt .
a
Dans la suite de cette partie C.,  est un réel strictement positif et on considère la fonction  : x
définie sur  0 ;    .
 e x
1) a) Déduire de ce qui précède que  est une densité de probabilité sur  0 ;    .
2) b) Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité  . Reconnaître la loi suivie par X .
3) a) On appelle espérance de X le réel noté
 X  défini par  X   xlim
 
x
0
Justifier l’existence de la limite précédente et donner une expression simple de
t  t  dt .
 X  en fonction de 
b)Le temps d’attente en minutes à un standard téléphonique est une variable aléatoire Y qui suit une
loi exponentielle de paramètre  . L’espérance  Y  représente alors le temps moyen d’attente à ce
standard. Sachant que ce temps moyen est de 5 minutes, déterminer la probabilité d’attendre encore 5
minutes, sachant qu’on a déjà attendu 2 minutes.
c) On appelle variance de X le réel noté
 X   défini par
 X   xlim
 
x
0
t2  t  dt  
Justifier l’existence de la limite précédente et déterminer une expression simple de
2
 X   .
 X   en fonction de  .