loi binomiale

loi binomiale
Table des matières
1
loi binomiale
1.1 activités . . . . . . . . .
1.2 a retenir . . . . . . . .
1.3 exercices . . . . . . . . .
1.4 corrigés exercices . . . .
1.5 anabac . . . . . . . . . .
1.6 travaux pratiques . . .
1.6.1 algorithme et loi
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binomiale
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2
2
4
6
8
16
24
24
1
1.1
loi binomiale
activités
activité 1 :
un jeu consiste à jeter un dé bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 8
ceci, trois fois de suite.
On considères que les lancers sont indépendants.
Pour chaque lancer, on s’intéresse au fait d’obtenir le score maximal de 8.
soit X le nombre de fois que l’on a obtenu les score 8 parmi les trois lancers
On cherche la loi de probabilité de la variable aléatoire X
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau. (on s’aidera de arbre ci dessous)
1
8
8
b
1
8
8
1
8
b
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
8 : X = ...
...
b
7
8
8
7
8
1
8
b
b
b
b
7
8
1
8
8
b
b
b
8
b
7
8
7
8
1
8
8
7
8
1
8
b
b
b
7
8
valeurs de X : xi
probabilité p(X = xi )
b
...
...
...
...
...
...
...
Total
...
(c) quelle est la valeur de X la plus probable ?
(d) que vaut la valeur moyenne de X
(e) s’il y a n lancers indépendants de ce dé, quelle est la probabilité de n’obtenir aucun 8 ?
en déduire la probabilité d’obtenir au moins un 8
(f ) combien de lancers faut-il faire au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins
un 8 dépasse 99%
activité 2 :
Chaque jour, chaque personne d’une entreprise a une probabilité d’être absente égale à 10 %
On choisit au hasard le nom d’une personne et ceci quatre fois de suite
On considères que les tirages sont indépendants.
Pour chaque tirage, on s’intéresse au fait que la personne soit absente ou non.
soit X le nombre de fois que l’on a obtenu une personne absente parmi les quatre tirages
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau de loi de probabilité. (s’aide de arbre ci dessous)
avec A pour "absent".
0, 1
A : X = ...
...
A
b
0, 1
b
A
0, 9
b
0, 1
A
b
0, 9
0, 1
b
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
A : X = ...
...
b
A
b
0, 9
A
0, 1
0, 1
b
b
A
0, 9
b
b
0, 9
0, 1
A
b
0, 9
0, 1
b
b
b
A
0, 1
0, 9
0, 9
0, 1
b
b
A
b
b
0, 9
0, 1
A
b
0, 9
0, 1
b
b
A
b
A
0, 1
0, 9
b
b
A
b
b
0, 9
0, 1
0, 9
A
0, 9
0, 1
b
b
b
0, 9
xi
p(X = xi )
...
...
...
b
...
...
...
...
...
...
Total
...
(c) quelle est la valeur de X la plus probable et que vaut la valeur moyenne de X
(d) s’il y a n tirages indépendants, quelle est la probabilité de n’obtenir aucun absent ?
en déduire la probabilité d’obtenir au moins un absent
(e) combien de tirages faut-il faire au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins
un absent dépasse 95%
1.2
a retenir
définition 1
Soit
une situation où :
#

• on répète n fois une même expérience aléatoire





 succès : de probabilité p

• l’expérience aléatoire n’a que deux issues possibles



échec : de probabilité 1 − p



• les n expériences aléatoires sont indépendantes
"
Soit X le nombre de succès parmi les n expériences
on dit alors que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on note : X ∼ B(n; p)
avec n ≥ 1
et
p ∈ [0; 1]
propriété 1 (loi binomiale)
Si X une variable aléatoire où X suit une loi binomiale de paramètres n et p
Alors :

(1)
l’ensemble
des
valeurs
possibles
de
X
est
:
{0,
1,
2,
...,
n}







 (2) p(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k où
Remarques :
(a) les différentes valeurs de Cnk sont appelés les coefficients binomiaux
3×2×1
6
= =3
(b) on note aussi Cnk = nk avec par exemple : C32 = 32 =
2
×
1
2
(c) en particulier on a : Cn0 = n0 = 1 et Cn1 = n1 = n (pour tout entier naturel n)
n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
0≤k≤n
Cnk =
k(k − 1)(k − 2)...1
(d) pour des valeurs de n ≤ 4 on trouve la loi de probabilité de X en utilisant un arbre
sans avoir à connaître la formule p(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ci dessus
S
S
b
1−p
1−p
p
b
S:X =3
p3
S:X =2
b
p
b
p
S
p
S:X =2
b
b
S:X =1
b
1−p
b
1−p
S
p
S:X =2
b
b
p
S
S:X =1
b
1−p
b
S
1−p
p
b
b
valeurs de X : xi
probabilité p(X = xi ) :
0
(1 −
p2 (1 − p)
p2 (1 − p)
p(1 − p)2
p2 (1 − p)
p(1 − p)2
S:X =1
p(1 − p)2
S:X =0
(1 − p)3
b
1−p
1
p)3
3p(1 −
p)2
2
3p2 (1
− p)
3
p3
Total
1
!
propriété 2 (espérance et écart type)
Si X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0;1] avec q = 1 − p √
alors la valeur moyenne (espérance) de X est E(X) = np et l’écart type est σ = npq
exemple :
soit X le nombre de fois que l’on a obtenu une Reine pour 4 tirages indépendants avec
remise dans un jeu de 32 cartes.
Les 3 conditions ci dessus sont vérifiées :

• on répète 4 fois une même expérience aléatoire




•

 les répétitions sont indépendantes


 succès : de probabilité 4


32
• deux issues contraires pour chaque expérience :


4
28



 échec : de proba : q = 1 −
=
32
32
donc,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale
4
) avec :
de paramètres (n = 4, p =
32

les valeurs possibles de X sont {0, 1, 2, 3, 4}



28
4


 pour k allant de 0 à 4 p(X = k) = C4k ( )k ( )4−k
32 32
et par exemple :
4 3
4
) (1 − )4−3
32
32
4 3 28
p(X = 3) = 4 × ( ) ×
≃ 0, 0068
32
32
p(X = 3) = C43 × (
4
la valeur moyenne de X est E(X) = np = 4 ×
= 0, 5
32
pour une série de 4 lancers on obtient en moyenne "0, 5 fois la Reine"
r
4
28
√
l’écart type est : σ = npq = 4 ×
×
= 0, 4375
32 32
1.3
exercices
exercice 1 :
On joue à pile ou face avec une pièce de monnaie non équilibrée 50 fois de suite et de manières
indépendantes.
On considère que la probabilité de faire "pile" avec cette pièce est p(pile) = 80%
Soit X le nombre de lancers parmi les 50 lancers où l’on a obtenu le résultat "pile"
1. justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres
2. calculer les probabilités
(a) d’obtenir exactement 39 piles
(b) d’obtenir exactement 41 piles
(c) d’obtenir entre 39 et 41 piles
(d) d’obtenir au plus, 2 piles
(e) d’obtenir au moins, 2 piles
3. calculer E(X) et interpréter la valeur obtenue
4. calculer σ(X)
5. déterminer le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au
moins un pile dépasse 99, 99%
exercice 2 :
Un élève répond au hasard et avec indépendance à chacune des dix questions d’un Q.C.M.
Pour chaque question, il y a trois propositions dont une seule est "bonne"
Soit X le nombre de bonnes réponses obtenues par l’élève (chaque question est sur un point)
1. justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres
2. calculer la probabilité que l’élève obtienne exactement une bonne réponse
3. compléter le tableau suivant à 10−3 près
k
0
1
2
3
4
p(X = k) 0,017
0,195
0,228
5
6
0,057
7
0,016
8
0,003
9
0
10
0
total
1
4. quelle est la probabilité que l’élève ait la moyenne ?
5. quelle est la probabilité que l’élève n’ait pas la moyenne ?
6. calculer E(X) et interpréter cette valeur
7. combien faudrait-il de questions pour que la probabilité que l’élève obtienne au moins
une bonne réponse dépasse 99% ?
exercice 3 :
On s’intéresse, dans cet exercice, à la masse des pots de confitures produits dans une usine.
On considère l’événement : « un pot a une masse inférieure à 490 grammes ». Une étude a
permis d’admettre que la probabilité de cet événement est 0, 2.
1. On prélève au hasard 20 pots dans la production totale.
On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l’on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de 20 pots avec indépendance.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 20 pots, associe le nombre
de pots dont la masse est inférieure à 490 grammes.
(a) expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
(b) calculer la probabilité de l’événement A « parmi les 20 pots, il y a exactement 2 pots
de masse inférieure à 490 grammes ».
(c) calculer la probabilité qu’il y ait entre 1 et 3 pots de masses inférieures à 490 grammes.
(d) calculer la probabilité qu’il y ait au moins un pot de masse inférieure à 490 grammes.
2. Combien de pots faudrait-il prélever pour que la probabilité qu’il y ait au moins un pot
dont la masse est inférieure à 490 grammes soit d’au moins 99% ?
exercice 4 :
Un garagiste choisit douze pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus
est suffisamment important pour assimiler ce choix de douze pneus à un tirage avec remise
de douze pneus. On sait que la probabilité pour qu’un pneu pris au hasard ait un défaut est
0,065.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de douze pneus, associe le nombre
de pneus de ce prélèvement qui présentent un défaut.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’aucun pneu de ce prélèvement n’ait un défaut. Arrondir à 10−4 .
3. Calculer la probabilité qu’au plus deux des pneus choisis présentent un défaut. Arrondir
à 10−4 .
4. est-il vrai que s’il change les 4 pneus d’une voiture, alors, il y a plus d’une chance sur
deux pour qu’au moins un des pneus ait un défaut ? (justifier)
exercice 5 :
un jeu consiste à lancer une fléchette n fois dans la cible ci dessous
il faut payer 5e pour jouer
si une personne tire au hasard dans cette cible,
on suppose que chacun des petits carrés a la même probabilité
d’être atteint et que la fléchette atteint toujours un carré de la
cible, on suppose de plus que les tirs sont indépendants
chaque tir dans un carré hachuré rapporte 1e (0 sinon)
Soit X le nombre de fois que l’on gagne un euro pour une série de n lancers au hasard
1. quelles sont les valeurs possibles pour X ?
2. quelle est la loi de probabilité de X ? ( justifier)
3. (a) quelle est la probabilité de recevoir 5e pour 5 lancers ?
(b) combien reçoit t-on en moyenne pour 5 lancers ?
(c) quel est le gain moyen (recette - coût) pour 5 lancers ?
4. (a) combien faut-il de lancers au hasard au minimum pour que le gain moyen soit positif ?
(b) pour une série de 17 lancers au hasard, quelle est la probabilité que le gain soit positif
strict ? ( à 1% près )
5. (a) combien faut-il faire de lancers au hasard pour être sur à 99% de recevoir au moins
1e ?
(b) quel est alors le gain moyen ?
exercice 6 :
une personne ayant trop bu fait indépendamment ou bien un pas (de 50cm ) en avant ou
bien un pas (de 50cm ) en arrière avec une même probabilité
1. quelle est la probabilité qu’après 10 pas, il soit à sont point de départ ?
2. quelle est la probabilité qu’après 10 pas, il ait avancé de 5 m ?
3. ou se trouvent-il en moyenne après 10 pas ?
exercice 7 :
combien de fois faut-il lancer une pièce équilibrée de manières indépendantes pour être pratiquement certain ( à 99,9%) de faire au moins une fois pile ?
1. quelle loi suit la variable aléatoire X égal au nombre de piles parmi les n lancers ?
2. déterminer n pour que p(X ≥ 1) ≥ 99, 9%
3. conclure
1.4
corrigés exercices
corrigé




1.



exercice 1 :
• on répète 50 fois une même expérience aléatoire
• les répétitions sont indépendantes
succès : de probabilité 0, 8
• deux issues contraires pour chaque expérience :
échec : q = 1 − 0, 8 = 0, 2
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 50, p = 0, 8)
(
les valeurs possibles de X sont
{0, 1, 2, ..., 50}
avec :
k
50−k
k
de probabilités respectives : p(X = k) = C50 × 0, 8 × 0, 2
2. probabilités
(a) d’obtenir exactement 39 piles :
39 × 0, 839 × 0, 211 ≃ 0, 127
p(X = 39) = C50
(b) d’obtenir exactement 41 :
41 × 0, 841 × 0, 29 ≃ 0, 136
p(X = 41) = C50
(c) d’obtenir entre 39 et 41 piles :
p(39 ≤ X ≤ 41) = p(X = 39) + p(X = 40) + p(X = 41)
p(39 ≤ X ≤ 41) = p(X = 39) + p(X = 40) + p(X = 41) ≃ 0, 127 + 0, 140 + 0, 136 ≃ 0, 403
(d) d’obtenir au plus, 2 piles
p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) ≃ 0 + 0 + 0 ≃ 0 (e) d’obtenir au moins, 2 piles
p(X ≥ 2) = p(X = 2) + p(X = 3) + ... + p(X = 50)
p(X ≥ 2) = 1 − p(X ≤ 1)
p(X ≥ 2) = 1 − (p(X = 0) + p(X = 1))
p(X ≥ 2) ≃ 1 − (0 + 0)
p(X ≥ 2) ≃ 1 3. E(X) = n × p = 50 × 0, 8 40 Sur les 50 lancers, en moyenne, on obtient 40 piles
√
√
√
4. σ(X) = npq = 50 × 0, 8 × 0, 2 = 4 = 2 (on passe au contraire)
5. soit n le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins
un pile dépasse 99, 99%
on cherche n pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 9999
or
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0)
p(X ≥ 1) = 1 − Cn0 × 0, 80 × 0, 2n
p(X ≥ 1) = 1 − 1 × 1 × 0, 2n
p(X ≥ 1) = 1 − 0, 2n
il suffit de résoudre l’inéquation suivante :
1 − 0, 2n ≥ 0, 9999
1 − 0, 9999 ≥ 0, 2n
0, 0001 ≥ 0, 2n
ln(0, 0001) ≥ ln(0, 2n )
ln(0, 0001) ≥ n ln(0, 2)
ln(0, 0001)
≤n
ln(0, 2)
n ≥ 5, 72
soit au moins 6 lancers corrigé exercice 2 :

• on répète 10 fois une même expérience aléatoire





 • les répétitions sont indépendantes


1.
 succès : de probabilité 1


3
• deux issues contraires pour chaque expérience :


1
2



 échec : q = 1 − =
3
3
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de para1
mètres (n = 10, p = )
3
2. probabilité que l’élève obtienne exactement une bonne réponse
1 × ( 1 )1 × ( 2 )9 ≃ 0, 09
p(X = 1) = C10
3
3
3. compléter le tableau suivant à 10−3 près
k
0
1
2
3
4
p(X = k) 0,017 0, 087 0,195 0, 260 0,228
5
0, 137
6
0,057
7
0,016
8
0,003
9
0
10
0
total
1
4. probabilité que l’élève ait la moyenne ? p(X ≥ 5) ≃ 0, 1337 + 0, 057 + 0, 016 + 0, 003 ≃ 0, 21
5. probabilité que l’élève
pas la moyenne
n’ait
p(X < 5) ≃ 1 − 0, 21 ≃ 0, 79
1
≃ 3, 33
3
soit 3 points en moyenne
6. E(X) = n × p = 10 ×
7. combien faudrait-il de questions pour que la probabilité que l’élève obtienne au moins
une bonne réponse dépasse 99% ?
on cherche n pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99
or
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0)
2
p(X ≥ 1) = 1 − ( )n
3
il suffit de résoudre l’inéquation suivante :
2
1 − ( )n ≥ 0, 99
3
2
1 − 0, 99 ≥ ( )n
3
2
0, 01 ≥ ( )n
3
ln(0, 01)
≤n
2
ln( )
3
n ≥ 11, 35 soit au moins 12 n
2
avec le tableau de valeurs de la calculatrice :
1 − ( )n
3
comparaison à 0, 99
11
12
≃ 0, 988
≃ 0, 992
< 0, 99
> 0, 99
corrigé exercice 3 :

• on répète 20 fois une même expérience aléatoire



• les répétitions sont indépendantes
1. (a)
succès : de probabilité 0, 2


 • deux issues contraires pour chaque expérience :
échec : q = 1 − 0, 2 = 0, 8
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de
paramètres (n = 20, p = 0, 2)


 les valeurs possibles de X sont
{0, 1, 2, ..., 20}
k × 0, 2k × 0, 820−k
avec :
de probabilités respectives : p(X = k) = C20


2 × 0, 22 × 0, 820−2 ≃ 0, 137
(b) p(X = 2) = C20
(c) p(1 ≤ X ≤ 3) = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) ≃ 0, 0576 + 0, 1369 + 0, 2054 ≃ 0, 3999
(d) p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0)
0 × 0, 20 × 0, 820−0 = 1 − 0, 820 ≃ 0, 988
p(X ≥ 1) = 1 − C20
2. on cherche n pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99
or
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0)
p(X ≥ 1) = 1 − 0, 8n
il suffit de résoudre l’inéquation suivante :
1 − 0, 8n ≥ 0, 99
1 − 0, 99 ≥ 0, 8n
0, 01 ≥ 0, 8n
ln(0, 01)
≤n
ln(0, 8)
n ≥ 20, 63 soit au moins 21 n
avec le tableau de valeurs de la calculatrice :
1 − 0, 8n
comparaison à 0, 99
20
≃ 0, 988
< 0, 99
21
≃ 0, 991
> 0, 99
corrigé exercice 4 :

• on répète 12 fois une même expérience aléatoire



• les répétitions sont indépendantes
1.
succès : de probabilité 0, 065


 • deux issues contraires pour chaque expérience :
échec : q = 1 − 0, 065 = 0, 935
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 12, p = 0, 065)

les valeurs possibles de X sont


{0, 1, 2, ..., 12}


k × 0, 065k × 0, 93512−k
de probabilités respectives : p(X = k) = C12
avec :




0 × 0, 0650 × 0, 93512−0 ≃ 0, 4464
2. p(X = 0) = C12
3. p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) ≃ 0, 4464 + 0, 3724 + 0, 1424 ≃ 0, 9612

• on répète 4 fois une même expérience aléatoire



• les répétitions sont indépendantes
4.
succès : de probabilité 0, 065


 • deux issues contraires pour chaque expérience :
échec : q = 1 − 0, 065 = 0, 935
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 4, p = 0, 065)

les valeurs possibles de X sont


{0, 1, 2, 3, 4}


de probabilités respectives : p(X = k) = C4k × 0, 065k × 0, 9354−k
avec :




p(X ≥ 1) = 1 − C40 × 0, 0650 × 0, 9354−0 = 1 − 0, 9354 ≃ 0, 2357 ce qui est inférieur à 0, 5 la réponse est donc f aux
corrigé exercice 5 :
un jeu consiste à lancer une fléchette n fois dans la cible ci dessous
il faut payer 5e pour jouer
si une personne tire au hasard dans cette cible,
on suppose que chacun des petits carrés a la même probabilité
d’être atteint et que la fléchette atteint toujours un carré de la
cible, on suppose de plus que les tirs sont indépendants
chaque tir dans un carré hachuré rapporte 1e (0 sinon)
Soit X le nombre de fois que l’on gagne un euro pour une série de n lancers au hasard
1. valeurs possibles pour X : X ∈ {0, 1, 2, ..., n}

• on répète n fois une même expérience aléatoire



 • les répétitions sont indépendantes
(
2.
30

= 0, 3
succès : de probabilité


•
deux
issues
contraires
pour
chaque
expérience
:
100

échec : q = 1 − 0, 3 = 0, 7
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n, p = 0, 3)
3. (a) probabilité de recevoir 5e pour 5 lancers :
X suit une loi B(n = 5, p = 0, 3)
donc
p(X = 5) = C55 × 0, 35 × 0, 70 ≃ 0, 00243
(b) combien reçoit t-on en moyenne
pour 5 lancers ? :
E(X) = np = 5 × 0, 3 = 1, 5 e
(c) quel est le gain
(recette - coût) pour 5 lancers ?
moyen
G = 1, 5 − 5 = −3, 5 e
4. (a) combien faut-il de lancers au hasard au minimum pour que le gain moyen soit positif ?
on cherche n pour que G > 0
n × 0, 3 − 5 > 0
5
(≃ 16, 66)
⇐⇒ n >
0, 3 soit au moins 17 lancers (b) pour une série de 17 lancers au hasard, quelle est la probabilité que le gain soit positif
strict ? ( à 1% près )
G > 0 ⇐⇒ X > 5
p(X > 5) = 1 − p(X ≤ 5)
p(X > 5) = 1 − [p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5)]
p(X > 5) ≃ 1 − [0, 00233 + 0, 0169 + 0, 0581 + 0, 1245 + 0, 1868 + 0, 2081]
p(X > 5) ≃ 1 − 0, 5967 ≃ 0, 4033 5. (a) combien faut-il faire de lancers au hasard pour être sur à 99% de recevoir au moins
1e ?
on cherche n pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99
or
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0)
p(X ≥ 1) = 1 − Cn0 × 0, 30 × 0, 7n
il suffit de résoudre l’inéquation suivante :
1 − 0, 7n ≥ 0, 99
1 − 0, 99 ≥ 0, 7n
0, 01 ≥ 0, 7n
ln(0, 01)
≤n
ln(0, 7)
n ≥ 12, 9 soit au moins 13 lancers (b) quel est alors le gain moyen ?
np − 5 ≥ 13 × 0, 3 − 5
np − 5 ≥ −1, 1
le gain est d’au moins −1, 1 e corrigé exercice 6 :
une personne ayant trop bu fait indépendamment ou bien un pas (de 50cm ) en avant ou
bien un pas (de 50cm ) en arrière avec une même probabilité
1. quelle est la probabilité qu’après 10 pas, il soit à sont point de départ ?
soit X le nombre de pas en avant effectués après 10 pas

• on répète 10 fois une même expérience aléatoire



• les répétitions sont indépendantes
succès : de probabilité 0, 5


 • deux issues contraires pour chaque expérience :
échec : q = 1 − 0, 5 = 0, 5
alors,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 10, p = 0, 5)
5 × 0, 55 × 0, 55 ≃ 0, 246
p(X = 5) = C10
2. quelle est la probabilité qu’après 10 pas, il ait avancé de 5 m ?
10 × 0, 510 × 0, 50 ≃ 0, 001
p(X = 10) = C10
3. ou se trouvent-il en moyenne après 10 pas ?
E(X) = np = 10 × 0, 5 = 5
il fait donc en moyenne 5 pas en avant,
donc 5 pas en arrière,
il est donc au point de départ 1.5
anabac
exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur
la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève
0, 5 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des
points est négatif la note est ramenée à 0.
1. A et B sont deux événements indépendants et on sait que p(A) = 0, 5 et p(B) = 0, 2
La probabilité de l’événenement A ∪ B est égale à :
Réponse A : 0,1
Réponse C : 0,6
Réponse B : 0,7
Réponse D : on ne peut pas savoir
2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ont
une reliure spirale et que 75 % des cahiers sont grands carreaux. Parmi les cahiers grands
carreaux, 40 % ont une reliure spirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu’il soit grands carreaux
est égale à :
Réponse A : 0,3
Réponse C : 0,6
Réponse B : 0,5
Réponse D : 0,75
Dans les questions 3. et 4. , on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une
grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutres
sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.
3. La probabilité, arrondie à 10−3 , qu’il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :
Réponse A : 0,250
Réponse C : 0,578
Réponse B : 0,422
Réponse D : 0,984
4. La probabilité, arrondie 10−3 , qu’il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :
Réponse A : 0,047
Réponse C : 0,141
Réponse B : 0,063
Réponse D : 0,500
5. Quel nombre minimal de stylos doit-il prendre au hasard pour que la probabilité qu’il ait
au moins 1 stylo-feutre vert soit au moins égale à 95% ?
Réponse A : 10
Réponse C : 12
Réponse B : 11
Réponse D : 13
6. Un jeu consiste lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de
1 à 6. Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu.
Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :
• si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros,
• si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro,
• sinon, il ne reçoit rien.
à ce jeu, l’espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est :
Réponse A : 0
Réponse C : -1
Réponse B : 1
Réponse D : -2
corrigé exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010
1. A et B sont deux événements indépendants donc p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0, 1
et comme p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 2 − 0, 1 = 0, 6
Réponse C
2. en appelant S l’événement « Le cahier est spirale » et C l’événement « Le cahier est
gros carreaux » on a :
0,40
S
0,75 C
S
0,60
S
0,25
C
S
pS (C) =
P (C) × PC (S)
0, 75 × 0, 4
p(S ∩ C)
=
=
= 0, 6
P (S)
P (S)
0, 5
Réponse C
3. La loi numérique correspondant au nombre X de stylos-feutres verts est une loi binomiale. Il faut faire un arbre :
0,25
0,25
0,25
V
V
X=3
: 0, 253
0,75V
X=2
: 0, 252 × 0, 75
V
0,75
0,25
V
X=2
V
X=1
0,75V
0,25
0,25
X=2
0,75 V
X=1
0,25
X=1
V
0,75
V
V
: 0, 25 × 0, 752
0,75
V
V
0,75 V
X=0
: 0, 753
On cherche la probabilité de l’événement contraire de « On a obtenu aucun stylo
vert » donc
Réponse C
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578
4. Sur l’arbre, il y a trois chemins de même probabilité qui donnent 2 stylos verts donc
Réponse C
p(X = 2) = 3 × 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 141
5. on cherche le nombre de tirages n tel que p(X ≥ 1) ≥ 0, 95
ln(1 − 0, 95)
1 − 0, 75n ≥ 0, 95 ⇐⇒ n ≥
⇐⇒ n ≥ 11
ln(0, 75)
Réponse B
6. la loi de probabilité de X est :
xi
-3
-2
7
total
pi
3
= 0, 5
6
1
2
=
6
3
1
6
1
E(X) = −3 × 0, 5 + (−2) ×
Réponse C
1
1
+ 7 × = −1
3
6
exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010
Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans son
stock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires.
Chacune de ces perles a :
– soit une forme dite sphérique ;
– soit une forme dite équilibrée ;
– soit une forme dite baroque.
On sait que dans son stock, 44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques. De plus, 60 % des perles sont argentées dont 15 %
sont sphériques et la moitié sont baroques.
i. Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l’aide des données
de l’énoncé (on ne demande pas de justification).
Sphérique
équilibrée
Baroque
Total
Argentée
Noire
Total
100 %
ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la
mème probabilité d’être choisie.
On note :
– A l’événement : « la perle est argentée » ;
– N l’événement : « la perle est noire » ;
– S l’événement : « la perle est de forme sphérique » ;
– E l’événement : « la perle est de forme équilibrée » ;
– B l’événement : « la perle est de forme baroque ».
Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
A. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque ?
B. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée ?
C. Déterminer la probabilité de l’événement A ∪ B puis interpréter ce résultat.
D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu’elle
ne soit pas argentée ?
iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles
au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est
suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
A. Calculer la probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
B. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre
perles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à 10−3 près).
corrigé exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010
i. tableau des pourcentages
Argentée
Noire
Total
Sphérique
9%
7%
16%
équilibrée
21%
23%
44%
Baroque
30%
10%
40%
Total
60%
40%
100 %
ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la
mème probabilité d’être choisie.
Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
A. probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque : p(B) = 0, 4
B. probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire et équilibrée : p(N ∩ E) = 0, 23
C. p(A ∪ B) = 0, 6 + 0, 4 − 0, 3 = 0, 7
interprétation
probabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée ou de forme équilibrée
D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque.
probabilité qu’elle ne soit pas argentée : pB (A) =
0, 1
p(A ∩ B)
=
= 0, 25
p(B)
0, 4
iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles
au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
A. probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
p(X = 0) = 0, 44 ≃ 0, 0256
B. probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies
( à 10−3 près).
p(Y ≥ 1) = 1 − 0, 844 ≃ 0, 502
exercice 3 : (72 page 134)
un jeu est tel qu’on lance une balle sur une plaque comportant un trou en son centre.
si la plaque n’est pas atteinte, la balle est ramenée.
si la plaque est atteinte, soit la balle est "avalée" soit elle reste sur la plaque
la probabilité d’atteindre la plaque est de 30%
lorsque la plaque est atteinte, la probabilité que la balle soit avalée est de 20%
1. construire un arbre de probabilité associé à cette situation
2. a. calculer la probabilité que la balle soit avalée
b. calculer la probabilité que la balle reste sur la plaque
3. on paie 0,5 euros pour jouer
si la balle est avalée on gagne g euros
si la balle reste sur la cible on est remboursé
si la balle rate la cible, on perd la mise
déterminer la loi de probabilité du gain G
4. a. montrer que l’espérance du gain G est : E = 0, 06g − 0, 38
b. pour quelle valeur de g peut-on espérer un bénéfice ?
corrigé exercice 3 : (72 page 134)
1. arbre de probabilité associé à cette situation
0,2
B
0,80
B
0
B
1
B
C
0,3
0,7
C
2. a. probabilité que la balle soit avalée :
p(B) = p(C ∩ B) + p(C ∩ B) = 0, 3 × 0, 2 + 0 = 0,06
b. probabilité que la balle reste sur la plaque :
p(B) = p(C ∩ B) = 0, 3 × 0, 8 = 0,24
3.
loi de probabilité du gain G :
4. a. espérance du gain G :
xi
−0, 5
0
g − 0, 5
total
pi
0, 7
0, 24
0, 06
1
E = −0, 5 × 0, 7 + 0 × 0, 24 + 0, 06 × (g − 0, 5) = 0,06g -0,38
b. valeur de g pour espérer faire un bénéfice :
0, 06g − 0, 38 > 0 ⇐⇒ g >
0, 38
0, 06
soit au moins 6,34 euros
1.6
1.6.1
travaux pratiques
algorithme et loi binomiale
Algorithme et loi binomiale
Pour une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0; 1]
On veut obtenir la valeur de la probabilité suivante : p(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k
quand on entre les valeurs de n, p et k
1. algorithme et programmes :
(a) compléter l’algorithme suivant
algorithme
Début
//Variables
n, p, k, r
//Entrées
demander à l’utilisateur la valeur de ...
demander à l’utilisateur la valeur de ...
demander à l’utilisateur la valeur de ...
//Initialisations
//Traitements
affecter à ... la valeur ...
//Sortie
afficher ...
Fin
(b) recopier un des programmes suivants dans votre calculatrice
programme pour TI
disp "N"
programme pour CASIO
input N
"N" : ? → N
disp "P"
"P" : ? → P
input P
"K" : ? → K
disp "K"
N CK × P ∧ K × (1 − P ) ∧ (N − K) −→ R
input K
"P(K)"
N nCrK ∗ P ∧ K ∗ (1 − P ) ∧ (N − K) −→ R
RN
disp "p(K)"
disp R
2. utiliser le programme de la calculatrice pour déterminer les réponses aux questions suivantes
(a) X suit une loi binomiale B(2; 0, 5)
i. calculer p(X = 0) = ...
ii. calculer p(X = 1) = ...
iii. calculer p(X = 2) = ...
iv. calculer p(X = 3) = ...
(b) on lance 10 fois de suite un dé équilibré à 6 faces (on suppose l’indépendance des lancers)
X est le nombre de fois que l’on a obtenu le score 6
i. préciser la loi de probabilité suivie par X ? : ...
ii. calculer la probabilité d’obtenir 10 fois le score 6 : ...
iii. calculer la probabilité d’obtenir 0 fois le score 6 : ...
iv. quel est le "nombre de fois 6" le plus probable ? : ...
quelle est sa probabilité ? : ...
v. combien de fois faut-il lancer le dé pour que la probabilité d’obtenir 0 fois le score
6 passe en dessous de 1% ? : ...
(c) combien de fois lancer une pièce de monnaie équilibrée pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois "pile" dépasse 99, 9% ? : ...