loi binomiale

loi binomiale
Table des matières
1 loi binomiale 2
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 anabac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 algorithme et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1

1 loi binomiale
1.1 activités
activité 1 :
un jeu consiste à jeter un dé bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 8
ceci, trois fois de suite.
On considères que les lancers sont indépendants.
Pour chaque lancer, on s’intéresse au fait d’obtenir le score maximal de 8.
soit Xle nombre de fois que l’on a obtenu les score 8 parmi les trois lancers
On cherche la loi de probabilité de la variable aléatoire X
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau. (on s’aidera de arbre ci dessous)
8
1
8
8
1
8
8 : X=... ...
1
8
8 : X=... ...
7
8
8
7
8
8 : X=... ...
1
8
8 : X=... ...
7
8
8
7
88
1
8
8 : X=... ...
1
8
8 : X=... ...
7
8
8
7
8
8 : X=... ...
1
8
8 : X=... ...
7
8
valeurs de X:xi... ... ... ... Total
probabilité p(X=xi)... ... ... ...
(c) quelle est la valeur de Xla plus probable ?
(d) que vaut la valeur moyenne de X
(e) s’il y a nlancers indépendants de ce dé, quelle est la probabilité de n’obtenir aucun 8 ?
en déduire la probabilité d’obtenir au moins un 8
(f) combien de lancers faut-il faire au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins
un 8 dépasse 99%

activité 2 :
Chaque jour, chaque personne d’une entreprise a une probabilité d’être absente égale à 10 %
On choisit au hasard le nom d’une personne et ceci quatre fois de suite
On considères que les tirages sont indépendants.
Pour chaque tirage, on s’intéresse au fait que la personne soit absente ou non.
soit Xle nombre de fois que l’on a obtenu une personne absente parmi les quatre tirages
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau de loi de probabilité. (s’aide de arbre ci dessous)
avec Apour "absent".
A
0,1
A
0,1
A
0,1
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9A
0,1
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9
A
0,1
A
0,1
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9
A
0,1
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
A
0,9
A:X=... ...
0,1
A:X=... ...
0,9
xi... ... ... ... ... Total
p(X=xi)... ... ... ... ...
(c) quelle est la valeur de Xla plus probable et que vaut la valeur moyenne de X
(d) s’il y a ntirages indépendants, quelle est la probabilité de n’obtenir aucun absent ?
en déduire la probabilité d’obtenir au moins un absent
(e) combien de tirages faut-il faire au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins
un absent dépasse 95%

1.2 a retenir
définition 1
Soit une situation où :
#
" !
•on répète nfois une même expérience aléatoire
•l’expérience aléatoire n’a que deux issues possibles 
succès : de probabilité p
échec : de probabilité 1−p
•les nexpériences aléatoires sont indépendantes
Soit Xle nombre de succès parmi les nexpériences
on dit alors que la variable aléatoire  Xsuit une loi binomiale de paramètres net p
et on note :  X∼B(n;p)avec n≥1et p∈[0; 1]
propriété 1 (loi binomiale)
Si Xune variable aléatoire où Xsuit une loi binomiale de paramètres net p
Alors : 
(1) 
l’ensemble des valeurs possibles de Xest : {0,1,2, ..., n}
(2) 
p(X=k) = Ck
npk(1 −p)n−koù 
Ck
n=n(n−1)(n−2)...(n−k+ 1)
k(k−1)(k−2)...10≤k≤n
Remarques :
(a) les différentes valeurs de Ck
nsont appelés les coefficients binomiaux
(b) on note aussi Ck
n=n
kavec par exemple : C2
3=3
2=3×2×1
2×1=6 2= 3
(c) en particulier on a : 
C0
n=n
0= 1 et 
C1
n=n
1=n(pour tout entier naturel n)
(d) pour des valeurs de n≤4on trouve la loi de probabilité de Xen utilisant un arbre
sans avoir à connaître la formule p(X=k) = Ck
npk(1 −p)n−kci dessus
S
p
S
p
S:X= 3 p3
p
S:X= 2  p2(1 −p)
1−p
S
1−p
S:X= 2 
p2(1 −p)
p
S:X= 1 p(1 −p)2
1−p
S
1−p
S
p
S:X= 2 
p2(1 −p)
p
S:X= 1 p(1 −p)2
1−p
S
1−p
S:X= 1 p(1 −p)2
p
S:X= 0 (1 −p)3
1−p
valeurs de X:xi0 1 2 3 Total
probabilité p(X=xi):(1 −p)33p(1 −p)2 3p2(1 −p)p31

propriété 2 (espérance et écart type)
Si Xsuit une loi binomiale de paramètres n∈N∗et p∈[0; 1] avec q= 1 −p
alors la valeur moyenne (espérance) de Xest  E(X) = np et l’écart type est  σ=√npq
exemple :
soit Xle nombre de fois que l’on a obtenu une Reine pour 4tirages indépendants avec
remise dans un jeu de 32 cartes.
Les 3 conditions ci dessus sont vérifiées :
•on répète 4fois une même expérience aléatoire
•les répétitions sont indépendantes
•deux issues contraires pour chaque expérience : 
succès : de probabilité 4
32
échec : de proba : q= 1 −4
32 =28 32
donc,
la variable aléatoire Xqui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale
de paramètres (n= 4, p =4
32)avec :
les valeurs possibles de Xsont {0,1,2,3,4}
pour kallant de 0à4
p(X=k) = Ck
4(4
32)k(28 32)4−k
et par exemple :
p(X= 3) = C3
4×(4
32)3(1 −4 32)4−3
p(X= 3) = 4 ×(4
32)3×28 32 ≃
0,0068
la valeur moyenne de Xest E(X) = np = 4 ×4
32 =
0,5
pour une série de 4lancers on obtient en moyenne "0,5fois la Reine"
l’écart type est : σ=√npq =r4×4
32 ×28 32 =
0,4375