4s revision 6 2014

Pour chaque question repérer la bonne réponse :
A- Dans l’espace e rapporté à un repère orthonormé direct , on donne trois points non alignés A , B et C .
1) L’ensemble des points M de E tels que ∧ AB AM =0 est :
a- le plan perpendiculaire à la droite ( AB ) et passant par A .
b- La droite ( AB ) .
c-
{ }
A , B .
2) L’ensemble des points M de e tels que ∧ i(AB AC) AM=0 est :
a- le plan ( ABC ) .
b- la droite passant par A et de vecteur directeur .
c- la droite ( AB ) .
B- ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a . iAB AC =
a- a² b-
2
1a
2 c- −
2
1a
2
C- Soit ABCDEFGH un cube d’arête 1 .
On munit l’espace e du repère ( A , AB , AD , AE ) .
Le plan ( BCE ) a pour équation :
a- x + y – 1 = 0 b- x + z – 1 = 0 c- y + z – 1 = 0
La courbe ci-contre représente la courbe ( C ) d’une fonction f définie sur ℝ .
1) Déterminer graphiquement :
( ) ( ) ( ) ( )
→+∞ →−∞ →+∞ →−∞x x x x
f x f x
lim f x , lim f x , lim et lim
x x .
2) Donner le tableau de variation de f.
3) Justifier que f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle
J que l’on précisera.
4) Tracer la courbe ( C’ ) de la fonction réciproque de f.
5) On suppose que f es la fonction définie par :
( )
−
= +
x
f x ax xe
où a est un réel. Déterminer a.
6) Calculer A l’aire de la partie du plan limitée par ( C ),( C’)
et la droite ( ∆ ).
PROFESSEUR
:
ANIS BEN ALI
SERIE
DE REVISION
PRINTEMPS (6)
4
ème
ANNEE
2014
EXERCICE 1
EXERCICE 1 EXERCICE 1
EXERCICE 1
EXERCICE 2
EXERCICE 2EXERCICE 2
EXERCICE 2

Soit f la fonction définie sur
[ [
+∞ 1,
par :
( )
= f x x lnx . On désigne par (C) sa courbe représentative dans
un repère orthonormé
( )
O,i, j du plan.
1) Montrer que f est continue sur
[
[
+∞
1,
.
2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Soit ∆ la droite d’équation y = x. Déterminer
( )
∆ ∩ C
.
b) Tracer (C) et ∆.
4) a) Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur
[ [
+∞0,
.
b) Tracer la courbe (C’) de g dans le repère
( )
O,i, j .
5) On considère la suite (u) définie par :
( )
+
=
= ∈
ℕ
0
n 1 n
u 0
u g u pourtout n
a) Montrer par récurrence que pour tout ∈ℕn , on a : ≤ ≤
n
0 u e .
b) Montrer que la suite (u) est décroissante.
c) En déduire (u) est convergente et trouver sa limite.
I −
−−
− La courbe (c
cc
cg) ci-contre est la courbe représentative
dans un repère orthonormé de la fonction g définie sur
] 0, +∞[ par g(x) =
11 lnx
x− −
1°) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
2°) Vérifier que la fonction G définie par
G(x) =
( )
1 x lnx−
est une primitive de g sur ] 0, +∞[.
II −
−−
− 1°) On considère la fonction f définie sur ] 0, +∞[ par
f(x) =
x
1 lnx
e
+
On désigne par (c
cc
cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
( )
O, i, j
a) Calculer
x 0
lim f(x)
+
→
.Interpréter graphiquement le résultat.
b)
x
Vérifier que lim f(x) 0.
→+∞
=
Interpréter graphiquement le résultat.
2°) a) Montrer que f est dérivable sur ] 0, + ∞ [ et que pour tout x ∈ ] 0, + ∞ [ , f ′ (x)=
x
g(x).
e
b) Dresser le tableau de variation de f.
3°) a) Résoudre l’équation f(x) =0.
b) Ecrire une équation de la tangente T à la courbe (c
cc
cf) au point d’abscisse
1.
e
c) Tracer (c
cc
cf).
d) Discuter, graphiquement suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation :
lnx = m e
x
–1.
EXERCICE 3
EXERCICE 3EXERCICE 3
EXERCICE 3
EXERCICE 4
EXERCICE 4EXERCICE 4
EXERCICE 4

Correction EX2
1)
( ) ( )
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
x x
a) lim f x b) lim f x
, c) La droite D : y = x , de coefficient 1, est une asymptote à (C)
en +∞ donc :
( )
→+∞
=
x
f x
lim 1
x,d) (C) admet une branche parabolique de direction
( )
O, j au voisinage de - ∞
alors
(
)
→−∞
= +∞
x
f x
lim x.
2)
3) f est strictement croissante donc elle réalise une bijection de ℝ sur
(
)
=
ℝ ℝ
f continue
f.
4)
( ) ( )
=
=
D:y x
C' S C
5) On a
( )
→+∞ = x
f x
lim 1
x, d’autre part on a :
( )
−
→+∞ →+∞
+
= =
x
x x
f x ax xe
lim lim
x x
( )
−−
→+∞ →+∞
+
/= + =
/
xx
x x
x a e
lim lim a e a
x donc a = 1.
6)
( )
( )
( )
= − + ∆
∫
1
ABC
0
A 2 f x x dx Aire
−
= +
∫
1x2
0
1
2 xe dx 2e .
On pose :
( ) ( )
( ) ( )
− −
=⇒=
=⇒= −
x x
u x x u' x 1
v' x e v x e
alors :
( )
()
( )
− − − − − − −
= × − − − + = − − + = − − + + = − + ×
∫
111
x x 1 x 1 1 1
2 2 2 2
0
0
0
1 1 1 1
A 2 x e e dx 2 e e 2 e e 1 2 4e ua
2e 2e 2e 2e
Correction EX3
1) ֏x xest continue sur IR, en particulier sur
[ [
1,+∞ de plus lnx x֏ est continue sur
] [
0,+∞ et
[ [
∀ ∈ +∞x 1,
:ln 0 ln≥֏on a x alors x x est continue sur
[ [
1,+∞ ainsi f est continue sur
[ [
1,+∞ .
f’(x)
f(x)
x
+∞
-
∞
-
∞
+∞

2) a)
( ) ( )
( )
x 1 x 1 x 1 x 1
f x f 1 x ln x xln x ln x x
lim lim lim lim
x 1 x 1 x 1
x 1 ln x ln x
+ + + +
→ → → →
−= = = × = +∞
− − −
−
ainsi f n’est pas dérivable à droite en
1 d’où (C) admet au point d’abscisse 1 une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
b) f est dérivable sur
] [
+∞1,
et on a :
( )
11
ln . ln 0
2 ln 2 ln
x
f x x x x
x x
′= + = + >
( )
→+∞ →+∞
• = = +∞
x x
lim f x lim x lnx
1) a)Soit
[ [
x 1,∈ +∞ .
( ) ( ) ( )
y f x
siM x,y C équivautà y x
 =
∈ ∆ 
=
∩
2)
( )
f x x équivaut à x ln x x or x 0équivautà ln x 1⇒ = = ≠ =
donc x = e.
( ) ( )
{ }
ainsi C A e,e∩∆ = .
b) On a :
( ) ( )
ln
lim lim lim
x x x
f x x x
f x et x x
→+∞ →+∞ →+∞
= +∞ = lim ln
x
x
→+∞
= = +∞
alors (C) admet branche parabolique au voisinage de +∞ de direction
( )
O, j .
4) a) f est continue et strictement croissante sur
[ [
1,+∞ donc elle réalise une bijection de
[ [
1,+∞ sur
[ [
( )
[ [
1, 0,f+∞ = +∞ . f admet alors une fonction réciproque g définie sur
[ [
0,+∞ .
b)
( ) ( )
'C S C
∆
=
5) a) Pour n = 0, u
o
= 0. 0≤ u
o
≤ e (vérifie).Soit
*
n∈ℕ . Supposons que ≤ ≤
n
0 u e et montrons que
1
0
n
u e
+
≤ ≤ . On a 0
n
u e ≤ ≤ et comme f est croissante sur
[ [
+∞1,
donc g est strictement croissante sur
[ [
0,+∞
d’où
( ) ( ) ( )
0n g g u g e≤ ≤ équivaut à :
1
1
n
u e
+
≤ ≤
donc
+
≤ ≤
n 1
0 u e .
b)
( )
1n n n n
u u g u u
+
− = − or (C’) est au dessus de ∆ sur [0,e] donc
( ) [ ]
0,g x x x e ≥ ∀ ∈ et comme
[ ]
0,
n
u e∈ alors
( )
1
'
n n n n
g u u c est à dire u u
+
≥ ≥ alors (u) est une suite croissante.
c) la suite (u) est une suite croissante et majorée par e donc elle est convergente. Soit lim
n
n
l u
→+∞
= or
0
n
u e ≤ ≤
donc 0l e≤ ≤ . On a f est continue sur
[ [
+∞1,
donc g est continue sur
[ [
0,+∞
et en particulier en l
d’où
( )
g l l = . Or e est la seule solution de l’équation f(x) = x donc
( )
=g l l
équivaut à l e= d’où lim
n
n
u e
→+∞ =
x
f’(x)
f(x)
+∞
0
1
+∞