fonctions de bessel

CPGE Laayoune
Lissane Eddine
Essaidi Ali
Fonctions de Bessel
Définitions et notations
On appelle :
Z
1 π
cos(x sin t − nt)dt.
– Fonction de Bessel d’ordre n ∈ Z la fonction ∀x ∈ R, Jn (x) =
π 0
2 00
– Equation de Bessel d’ordre n ∈ Z l’équation différentielle En : x y + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0.
Première partie
Propriétés des fonctions de Bessel
1: Montrer que ∀n ∈ Z, Jn est définie sur R.
2: Montrer que ∀n ∈ Z, J−n = (−1)n Jn (Ce qui permet de se restreindre dans la suite au cas n ∈ N).
3: Montrer que ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Jn (−x) = (−1)n Jn (x). En déduire la parité de Jn .
4: Soit n ∈ N, x ∈ R et on considère les fonctions fx et gy définie sur R par fx (t) = eix sin t et gy (t) = fx (t)eint .
4 - 1: Montrer que fx est développable en série de Fourier sur R.
4 - 2: Calculer les coefficients de Fourier de fx en fonction des fonctions de Bessel.
4 - 3: Donner le développement de fx en série de Fourier sur R.
+∞
+∞
X
X
5: Montrer que ∀x ∈ R,
Jp (x) = J0 (x) + 2
J2p (x) = 1.
6: Montrer que ∀x ∈ R,
p=−∞
+∞
X
p=−∞
p=1
+∞
X
Jp2 (x) = J02 (x) + 2
Jp2 (x) = 1.
p=1
7: Soit x ∈ R. Calculer les coefficients de Fourier de gx en fonction de ceux de fx .
8: En déduire que ∀x, y ∈ R :
+∞
X
Jn (x + y) =
Jn−p (x)Jp (y)
p=−∞
Deuxième partie
Développement en série entière des fonctions de Bessel
1:
2:
3:
4:
5:
6:
(p)
Montrer que ∀n ∈ Z, Jn est de classe C ∞ sur R et donner l’expression de Jn sur R pour tout p ∈ N.
Montrer que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, Jn0 (x) = 21 (Jn−1 (x) − Jn+1 (x)).
Montrer que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, xJn+1 (x) + xJn−1 (x) = 2nJn (x).
En déduire que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, xJn0 (x) + nJn (x) = xJn−1 (x).
Montrer que ∀n ∈ N, Jn est développable en série entière sur R.
Montrer que ∀n ∈ N, Jn est une solution globale de l’équation En .
Z
7: Soit n ∈ N∗ . Montrer que pour tout polynôme trigonométrique P de degré ≤ n−1 on a
Z
sin(nt)P (t)dt =
2π
cos(nt)P (t)dt =
2π
0.
(k)
8: Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ {0,
. . . , n − 1}, Jn (0) = 0.
n
 (−1) 2 + P (t)
si n est pair
2n−1
n−1
9: Montrer que ∀n ∈ N∗ , sinn t =
avec P un polynôme trigonométrique de degré ≤ n − 1
 (−1) 2 + P (t) si n est impair
n−1
2
de même parité que n.
(n)
10: Montrer que ∀n ∈ N, Jn (0) = 21n .
+∞
X
11: Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe une suite (ap )p∈N de réels telle que ∀x ∈ R, Jn (x) = xn
ap xp .
p=0
12: Déterminer le développement en série entière sur R de Jn (n ∈ N).
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Troisième partie
Zéros des fonctions de Bessel
1: Soit n ∈ N.
1 - 1: Montrer que Jn se prolonge de façon unique en une fonction holomorphe sur C.
1 - 2: En déduire que les zéros de Jn sont isolés.
√
Dans la suite, soit n ∈ N et on considère la fonction y : x ∈]0, +∞[7→ Jn (x) x.
2: Montrer que ∀n ∈ N les zéros de Jn sur ]0, +∞[ sont simples.
3: Montrer que la fonction y est solution sur ]0, +∞[ d’une équation de la forme y 00 (x) + 1 −
4n2 −1
4x2
y(x) = 0.
0
4: On suppose que n = 0 et soit l’application W : x ∈]0, +∞[7→ y(x) cos x − y (x) sin x.
4 - 1: Calculer W 0 sur ]0, +∞[.
4 - 2: Montrer que si on suppose que ∃k ∈ N∗ tel que y ne s’annule pas [kπ, (k+1)π] alors l’application f (x) = (−1)k y(kπ)W (x)
est croissante sur [kπ, (k + 1)π].
4 - 3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k ∈ N∗ , y s’annule au moins une fois sur [kπ, (k + 1)π].
x
x
1
y(x) cos 2n
− y 0 (x) sin 2n
.
5: On suppose que n 6= 0 et soit l’application W : x ∈ [n, +∞[7→ 2n
0
5 - 1: Calculer W sur [n, +∞[.
5 - 2: Montrer que si on suppose que ∃k ∈ N∗ tel que y ne s’annule pas [2nkπ, 2n(k + 1)π] alors l’application f (x) =
(−1)k y(2nkπ)W (x) est croissante sur [2nkπ, 2n(k + 1)π].
5 - 3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k ∈ N∗ , y s’annule au moins une fois sur [2nkπ, 2n(k + 1)π].
6: En déduire que Jn admet une infinité de zéros sur ]0, +∞[.
7: Montrer que l’ensemble des zéros de Jn sur ]0, +∞[ est dénombrable (On peux alors numéroter les zéros de Jn ).
8: On pose (xk )k∈N la suite strictement croissante des zéros strictement positifs de Jn . Montrer que lim xk = +∞
9: Montrer que ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, (xn Jn (x))0 = xn Jn−1 (x).
10: En déduire que, pour tout n ∈ N∗ , entre deux raçines strictement positifs de Jn il y a une raçine de Jn−1 (On dit que les
raçines de Jn et Jn−1 sont entrelacées).
Quatrième partie
Fonctions de Bessel de seconde espèce
Soit n ∈ N.
1: Montrer que ∃a > 0 tel que Jn ne s’annule pas sur ]0, a].
est solution sur ]0, a]
2: Montrer que y est solution de En sur ]0, a] si et seulement si la dérivée de l’application ϕ(x) = Jy(x)
n (x)
d’une équation différentielle du premier ordre à déterminer.
0
3: Soit y une solution de En sur ]0, a] et ϕ(x) = Jy(x)
. Montrer que ∀x ∈]0, a], xJn2 (x)ϕ0 (x) = 0.
(x)
n
Z a
dt
4: Trouver un équivalent simple de
.
2
x tJn (t)
5: En déduire l’existence d’une solution y de En sur ]0, a] telle que lim+ y(x) = +∞.
x→0
6: Montrer que l’équation différentielle En admet une solution Nn sur ]0, +∞[ telle que lim Nn (x) = +∞.
x→0+
Nn s’appelle fonction de Bessel de seconde espèce d’ordre n.
7: Donner la forme générale des solutions globales de En sur ]0, +∞[.
8: Montrer que l’ensemble des solutions globales de l’équation En est un espace vectoriel de dimension un. En déduire la forme
générale des solutions de l’équation En .
8 - 1: Y a-t-il une contradiction avec le théorème du cours qui assure que l’espace des solutions globales des équations différentielles scalaires d’ordre deux est de dimension deux ?
9: Soient a, b ∈]0, +∞[ deux zéros consécutifs de Jn .
9 - 1: Montrer que Jn0 (a)Jn0 (b) < 0.
9 - 2: Montrer que W (a)W (b) = Nn (a)Nn (b)Jn0 (a)Jn0 (b) avec W le Wronskien de Jn et Nn .
9 - 3: Montrer que ∃!c ∈]a, b[, Nn (c) = 0 et en déduire que Nn admet une infinité de zéros.
10: Montrer que Jn et Nn n’ont pas de zéros communs sur ]0, +∞[.
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