Fonctions de Bessel : Exercices et Problèmes CPGE

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
Fonctions de Bessel
Définitions et notations
On appelle :
– Fonction de Bessel d’ordre n∈Zla fonction ∀x∈R, Jn(x) = 1
πZπ
0
cos(xsin t−nt)dt.
– Equation de Bessel d’ordre n∈Zl’équation différentielle En:x2y00 +xy0+ (x2−n2)y= 0.
Première partie
Propriétés des fonctions de Bessel
1: Montrer que ∀n∈Z, Jnest définie sur R.
2: Montrer que ∀n∈Z, J−n= (−1)nJn(Ce qui permet de se restreindre dans la suite au cas n∈N).
3: Montrer que ∀n∈N,∀x∈R, Jn(−x) = (−1)nJn(x). En déduire la parité de Jn.
4: Soit n∈N,x∈Ret on considère les fonctions fxet gydéfinie sur Rpar fx(t) = eix sin tet gy(t) = fx(t)eint.
4-1: Montrer que fxest développable en série de Fourier sur R.
4-2: Calculer les coefficients de Fourier de fxen fonction des fonctions de Bessel.
4-3: Donner le développement de fxen série de Fourier sur R.
5: Montrer que ∀x∈R,
+∞
X
p=−∞
Jp(x) = J0(x)+2
+∞
X
p=1
J2p(x) = 1.
6: Montrer que ∀x∈R,
+∞
X
p=−∞
J2
p(x) = J2 0(x)+2
+∞
X
p=1
J2
p(x) = 1.
7: Soit x∈R. Calculer les coefficients de Fourier de gxen fonction de ceux de fx.
8: En déduire que ∀x, y ∈R:
Jn(x+y) =
+∞
X
p=−∞
Jn−p(x)Jp(y)
Deuxième partie
Développement en série entière des fonctions de Bessel
1: Montrer que ∀n∈Z, Jnest de classe C∞sur Ret donner l’expression de J(p)
nsur Rpour tout p∈N.
2: Montrer que ∀n∈Z,∀x∈R, J0
n(x) = 1
2(Jn−1(x)−Jn+1(x)).
3: Montrer que ∀n∈Z,∀x∈R, xJn+1(x) + xJn−1(x)=2nJn(x).
4: En déduire que ∀n∈Z,∀x∈R, xJ0
n(x) + nJn(x) = xJn−1(x).
5: Montrer que ∀n∈N, Jnest développable en série entière sur R.
6: Montrer que ∀n∈N, Jnest une solution globale de l’équation En.
7: Soit n∈N∗. Montrer que pour tout polynôme trigonométrique Pde degré ≤n−1on a Z2π sin(nt)P(t)dt=Z2π cos(nt)P(t)dt=
0.
8: Montrer que ∀n∈N∗,∀k∈ {0, . . . , n −1}, J(k)
n(0) = 0.
9: Montrer que ∀n∈N∗,sinnt=
(−1) n
2
2n−1+P(t)si nest pair
(−1) n−1
2
2n−1+P(t)si nest impair
avec Pun polynôme trigonométrique de degré ≤n−1
de même parité que n.
10: Montrer que ∀n∈N, J (n)
n(0) = 1
2n.
11: Soit n∈N. Montrer qu’il existe une suite (ap)p∈Nde réels telle que ∀x∈R, Jn(x) = xn
+∞
X
p=0
apxp.
12: Déterminer le développement en série entière sur Rde Jn(n∈N).
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Troisième partie
Zéros des fonctions de Bessel
1: Soit n∈N.
1-1: Montrer que Jnse prolonge de façon unique en une fonction holomorphe sur C.
1-2: En déduire que les zéros de Jnsont isolés.
Dans la suite, soit n∈Net on considère la fonction y:x∈]0,+∞[7→ Jn(x)√x.
2: Montrer que ∀n∈Nles zéros de Jnsur ]0,+∞[sont simples.
3: Montrer que la fonction yest solution sur ]0,+∞[d’une équation de la forme y00 (x) + 1−4n2−1
4x2y(x)=0.
4: On suppose que n= 0 et soit l’application W:x∈]0,+∞[7→ y(x) cos x−y0(x) sin x.
4-1: Calculer W0sur ]0,+∞[.
4-2: Montrer que si on suppose que ∃k∈N∗tel que yne s’annule pas [kπ, (k+1)π]alors l’application f(x)=(−1)ky(kπ)W(x)
est croissante sur [kπ, (k+ 1)π].
4-3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k∈N∗, y s’annule au moins une fois sur [kπ, (k+ 1)π].
5: On suppose que n6= 0 et soit l’application W:x∈[n, +∞[7→ 1
2ny(x) cos x 2n−y0(x) sin x 2n.
5-1: Calculer W0sur [n, +∞[.
5-2: Montrer que si on suppose que ∃k∈N∗tel que yne s’annule pas [2nkπ, 2n(k+ 1)π]alors l’application f(x) =
(−1)ky(2nkπ)W(x)est croissante sur [2nkπ, 2n(k+ 1)π].
5-3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k∈N∗, y s’annule au moins une fois sur [2nkπ, 2n(k+ 1)π].
6: En déduire que Jnadmet une infinité de zéros sur ]0,+∞[.
7: Montrer que l’ensemble des zéros de Jnsur ]0,+∞[est dénombrable (On peux alors numéroter les zéros de Jn).
8: On pose (xk)k∈Nla suite strictement croissante des zéros strictement positifs de Jn. Montrer que lim xk= +∞
9: Montrer que ∀n∈Z,∀x∈R,(xnJn(x))0=xnJn−1(x).
10: En déduire que, pour tout n∈N∗, entre deux raçines strictement positifs de Jnil y a une raçine de Jn−1(On dit que les
raçines de Jnet Jn−1sont entrelacées).
Quatrième partie
Fonctions de Bessel de seconde espèce
Soit n∈N.
1: Montrer que ∃a > 0tel que Jnne s’annule pas sur ]0, a].
2: Montrer que yest solution de Ensur ]0, a]si et seulement si la dérivée de l’application ϕ(x) = y(x)
Jn(x)est solution sur ]0, a]
d’une équation différentielle du premier ordre à déterminer.
3: Soit yune solution de Ensur ]0, a]et ϕ(x) = y(x)
Jn(x). Montrer que ∀x∈]0, a],xJ2
n(x)ϕ0(x)0= 0.
4: Trouver un équivalent simple de Za
x
dt
tJ2
n(t).
5: En déduire l’existence d’une solution yde Ensur ]0, a]telle que lim
x→0+y(x) = +∞.
6: Montrer que l’équation différentielle Enadmet une solution Nnsur ]0,+∞[telle que lim
x→0+Nn(x)=+∞.
Nns’appelle fonction de Bessel de seconde espèce d’ordre n.
7: Donner la forme générale des solutions globales de Ensur ]0,+∞[.
8: Montrer que l’ensemble des solutions globales de l’équation Enest un espace vectoriel de dimension un. En déduire la forme
générale des solutions de l’équation En.
8 - 1: Y a-t-il une contradiction avec le théorème du cours qui assure que l’espace des solutions globales des équations diffé-
rentielles scalaires d’ordre deux est de dimension deux ?
9: Soient a, b ∈]0,+∞[deux zéros consécutifs de Jn.
9-1: Montrer que J0
n(a)J0 n(b)<0.
9-2: Montrer que W(a)W(b) = Nn(a)Nn(b)J0
n(a)J0 n(b)avec Wle Wronskien de Jnet Nn.
9-3: Montrer que ∃!c∈]a, b[, Nn(c)=0et en déduire que Nnadmet une infinité de zéros.
10: Montrer que Jnet Nnn’ont pas de zéros communs sur ]0,+∞[.
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