Fonctions de Bessel et ses applications en télécommunications

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Présenté par : RAJAOSOLOMANANTENA Haingonirina Ignace
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Domaine :
Sciences de l’ingénieur
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Mention :
Ingénierie des systèmes avancés
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Parcours :
Systèmes de communication avancés
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Niveau :
Master 2 à visée de recherche
Professeur RANDIMBINDRAINIBE Falimanana
INTRODUCTION
Friedrich Bessel (1784 - 1846) est un astronome et mathématicien allemand, connu
principalement pour avoir effectué en 1838 les premières mesures précises de la distance
d’une étoile et pour être le fondateur de l’école allemande d’astronomie d’observation.
Ce rapport concerne l’étude des fonctions de Bessel et quelques applications en
télécommunications, il comporte deux parties : dans la première partie, on va voir l’équation
de Bessel, les fonctions de Bessel de 1ère espèce et 2ème espèce. La deuxième partie sera
consacrée aux différentes applications dans le domaine de la télécommunication.
Partie 1 : Les fonctions de Bessel
1.1 Historiques :
Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846) un mathématicien et astronome Allemand connu par
ses nombreux travaux de recherche non seulement en astronomie mais aussi en mathématique,
et physique. C’est lui le père de la célèbre fonction utilisé dans plusieurs aujourd’hui appelé
« fonctions de Bessel ». Bernouilli a déjà introduit l’étude de ces fonctions en 1732. Plus tard,
en 1764, Euler a utilisé aussi ces fonctions. Rayleigh a analysé ces travaux en démontrant que
les fonctions de Bessel ne sont autres que des cas particuliers de la fonction de Laplace.
Figure 1.1 : Quelques célèbres mathématiciens
1.2 Le point de vue différentiel
1.2.1
Un fil
On suspend un fil à un crochet, quelque part sur la longueur on l’écart de sa position
d’équilibre et on le lâche. Quelle est alors la courbe décrite par ce fil ? Daniel Bernouilli
rencontre le problème en 1732 et donna sa solution qui faits appel aux fonctions de Bessel,
lesquelles ne seront réellement étudiées que beaucoup plus tard par l’astronome allemand
Friedrich Bessel en 1824.
Figure 1.2 : fil pesant
Soit donc un fil pesant de longueur l, homogène et non rigide, attaché à une extrémité A. Au
repos il prend verticalement. Nous écartons le fil de sa position d’équilibre et nous nous
intéressons aux petites oscillations planes du fil. On appelle (Ox) l’axes vertical et (Oy) l’axe
horizontal, soit également  la densité du fil.
Figure 1.3 : Etude d’un fil pesant
Prenons deux point M et M’ voisins sur le fil, la force f qui agit sur le segment [MM’] est le
projection horizontale de la tension T du fil quand on passe de M à M’, on a donc
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
f= TcosTcot=T𝜕𝑥 d’où (f’-f) 𝜕𝑥=[T’𝜕𝑥 − 𝑇 𝜕𝑥 ] et la différentielle suivant les x est alors
𝜕
𝜕𝑦
𝑓 = 𝜕𝑥 (𝑇 𝜕𝑥 ). Par ailleurs la tension est compensée verticalement à la hauteur x sur le
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕2 𝑦
segment [MM’] par T=gx, d’où f= g 𝜕𝑥 [𝑥 𝜕𝑥 ] = g[𝜕𝑥 + 𝑥 𝜕𝑥 2 ] ; par ailleurs la force
𝜕2 𝑦
d’inertie horizontale sur le segment est  𝝏𝒕𝟐 ,d’où l’équation du mouvement :
𝟏 𝝏𝟐 𝒚
𝒈
𝝏𝒕𝟐
𝝏𝟐 𝒚
𝝏𝒚
= 𝝏𝒙 + 𝑥 𝝏𝒙𝟐 (Equation 1.1)
Cette équation a beaucoup de solutions possibles, aussi limitons nous aux fonctions
sinusoïdales de t :
𝑢(𝑥, 𝑡) = (𝑥)𝑒 𝑖𝜔𝑡 ; nous obtenons alors
𝜕𝑢
𝒅
𝝏𝟐 𝒖
𝑑𝟐 𝒖
𝝏𝒖
𝝏𝒕
= 𝑖𝜔𝑡(𝑥)𝑒 𝑖𝜔𝑡 et
𝝏𝟐 𝒖
𝜕𝑡 𝟐
= −𝜔2 (𝑥)𝑒 𝑖𝜔𝑡 , de
même : 𝜕𝑥 = 𝑑𝑥 𝑒 𝑖𝜔𝑡 et 𝝏𝟐 𝒙 = 𝑑𝑥 𝟐 𝑒 𝑖𝜔𝑡 d’où après simplification d’équation devient :
−
𝜔2
𝑔
𝑑
𝑑2 
𝑑2 
1 𝑑
 = 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥2 ↔ 𝑑𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 +
𝜔2 1
𝑔 𝑥
1
𝑘
𝑥
𝑥
𝜑 = 0, de la forme : 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0
(Equation 1.2)
Pour résoudre cette équation, on peut opérer en utilisant la méthode d’intégration par la séries,
ce qui va effectivement donner une fonction déterminé, la fonction de Bessel d’ordre 0, mais
plutôt que de faire ce travail dans le cas particulier du fil, nous allons généraliser à l’équation
de Bessel dont un cas particulier est l’équation du fil.
1.2.2
L’équation de Bessel
L’équation de diffusion s’écrit : 𝑢𝑡 = 𝜒Δ𝑢 (Equation 1.3)
Où Δ𝑢 =
𝝏𝟐 𝒖
𝝏𝒙𝟐
𝝏𝟐 𝒖
𝝏𝟐 𝒖
+ 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝒛𝟐 = 0 ; toute solution vérifiant cette équation s’appelle « fonction de
Bessel ».
En utilisant le système de coordonnée cylindrique :
Figure 1.4 : Système de coordonnée Cylindrique
On aura : 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 (Equation 1.4)
𝜕𝑟

𝑟 𝜕𝑥 = 𝑥
𝜕𝑟
𝑥
𝑟 𝜕𝑥 = 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜕𝑦

𝑟 𝜕𝑥 = 𝑦
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝑦 =
𝑦
𝑟
(Equations 1.5)
= 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑦
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥
En dérivant successivement par rapport à x et y, on obtient :

(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃)

(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃)
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝑦
= − 𝑥2
1
=𝑥
𝑦2
Ainsi (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃) = 1 + 𝑥 2 =
𝑥 2 +𝑦 2
𝑥2
𝑟2
= 𝑥 2 (Equation 1.6)
En utilisant les équations 1.5 et l’équation 1.6, nous obtenons :
𝜕
𝜕𝑥
𝑦
= 𝑥 2 (1+𝑡𝑎𝑛2 𝜃) = −
𝑦
𝑟2
𝑥2 2
𝑥
𝑦
= − 𝑟2 = −
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑟
𝜕
de même 𝜕𝑦 = −
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑧
et 𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 = 0
Après, on obtient :
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝑟 −
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
=
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝑢
𝑟
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝑢
𝑟
𝜕𝜃
𝑒𝑡
𝜕2 𝑢
+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝜕𝑟 2 −
𝜕𝑟
2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕2 𝑢
𝑟
+
𝜕𝑟𝜕𝜃
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕2 𝑢
𝑟2
𝜕𝜃2
+
2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝑢
𝑟2
𝜕𝜃
De même :
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
=
𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝜕𝑢
𝑟
𝜕2 𝑢
+ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝑟 2 +
𝜕𝑟
2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕2 𝑢
𝑟
+
𝜕𝑟𝜕𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝜕2 𝑢
𝑟2
𝜕𝜃2
−
2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝑢
𝑟2
𝜕𝜃
Alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Δ𝑢 = 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑
𝑢), en coordonnée cylindrique, cela abouti à l’équation de Laplace :
𝜕2 𝑢
1 𝜕𝑢
1 𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
+ 𝑟 𝜕𝑟 + 𝑟 2 𝜕𝜃2 + 𝜕𝑧 2 = 0 (Equation 1.7), alors l’équation de Laplace donne :
𝜕𝑟 2
Δ𝑢 =
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑧 2
Pour résoudre cette équation, on va utiliser la méthode par séparation des variables :
𝑢(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝜃)ℎ(𝑧), alors :
1
1
Δ𝑢 = 𝑓 ′′ (𝑥)𝑔(𝜃)ℎ(𝑧) + 𝑟 𝑓 ′ (𝑟)𝑔(𝜃)ℎ(𝑧) + 𝑟 2 𝑓(𝑟)𝑔′′ (𝜃)ℎ(𝑧) + 𝑓(𝑟)𝑔(𝜃)ℎ′′ (𝑧) = 0
En divisant par 𝑓(𝑥)𝑔(𝜃)ℎ(𝑧) chaque membre, on obtient :
𝑓′′(𝑟)
𝑓(𝑟)
1 𝑓(𝑟)
1 𝑔′′(𝜃)
+ 𝑟 𝑓(𝑟) + 𝑟 2
𝑔(𝜃)
+
ℎ′′(𝑧)
ℎ(𝑧)
=0,
ℎ′′(𝑧)
ℎ(𝑧)
ne dépend que z, alors on va considérer comme
constante, l’équation devient alors :
𝑓′′(𝑟)
𝑓(𝑟)
1 𝑓(𝑟)
1 𝑔′′(𝜃)
+ 𝑟 𝑓(𝑟) + 𝑟 2
𝑔(𝜃)
=−
ℎ′′(𝑧)
ℎ(𝑧)
(Equation 1.8)
Or:

ℎ′′ (𝑧)
ℎ(𝑧)
= 𝛼 2 , ℎ′′ (𝑧) = 𝛼 2 ℎ(𝑧) alors ℎ′′ (𝑧) − 𝛼 2 ℎ′′ (𝑧) = 0
La solution de cette équation est de la forme : ℎ(𝑧) = 𝐴𝑒 𝛼𝑍 + 𝐵𝑒 −𝛼𝑍 = 𝜆𝑐ℎ𝛼𝑍 + 𝜇𝑠ℎ𝛼𝑍

𝑔′′ (𝜃)
𝑔(𝜃)
= −𝜆, 𝑔′′ (𝜃) + 𝜆2 𝑔(𝜃) = 0
La solution de cette équation est de la forme :𝑔(𝜃) = 𝐶𝑠𝑖𝑛𝜆𝜃 + 𝐷𝑐𝑜𝑠𝜆𝜃
Finalement, on aura :
𝑓′′(𝑟)
𝑓(𝑟)
1 𝑓′(𝑟)
+𝑟
𝑓(𝑟)
𝜆2
− 𝑟 2 + 𝛼 2 = 0 , en mettant aux mêmes dénominateurs, on obtient :
𝑟 2 𝑓 ′′ (𝑟) + 𝑟𝑓 ′ (𝑟) + (𝛼 2 𝑟 2 − 𝜆2 )𝑓(𝑟) = 0 où 𝛼 𝑒𝑡 𝜆 sont des paramètres réels.
𝑑𝑡
Posons t= 𝛼𝑟, 𝑓(𝑟) = 𝑦(𝑡), 𝑑𝑟 = 𝛼, alors :

𝑓 ′ (𝑟) =
𝑑𝑓
𝑑𝑟
=
𝑑𝑦 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑟
, 𝑓 ′ (𝑟) = 𝑦′(𝑡)𝛼

𝑓 ′′ (𝑟) = 𝛼𝑦′′(𝑡)
D’où, on obtient l’équation de Bessel :
𝑡 2 𝑦 ′′ + 𝑡𝑦 ′ + (𝑡 2 − 𝜆2 )𝑦 = 0 (Equation 1.9)
1.2.3
Solution générale de l’équation de Bessel
Selon l’équation 1.9 précédente, l’équation différentielle de Bessel s’écrit :
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
𝑡 2 𝑑𝑡 2 + 𝑡 𝑑𝑡 + (𝑡 2 − 𝜆2 ) = 0 (Equation 1.10)
La constante 𝜆 détermine l’ordre de la fonction de Bessel. Pour les problèmes en cylindriques
1
𝜆 = 𝑛 tandis que 𝜆 = 𝑛 + 2 pour les problèmes sphériques.
𝑃0 (𝑡) = 𝑡 2 , en t=0 𝑃0 (0) = 0, t=0 est appelé point singulier.
Supposons que la solution de cette équation s’écrit :
𝑦 = 𝑡 𝑚 (𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ ) (Equation 1.11)
𝑚+𝑘
𝑦 = ∑∞
(Equation 1.12)
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑡
En derivant, on obtient:
∞
𝑑𝑦
𝑦 =
= ∑(𝑚 + 𝑘)𝑎𝑘 𝑡 𝑚+𝑘−1
𝑑𝑡
′
𝑘=0
∞
𝑑2𝑦
𝑦 = 2 = ∑(𝑚 + 𝑘 − 1)𝑎𝑘 𝑡 𝑚+𝑘−2
𝑑𝑡
′′
𝑘=0
Et portons dans l’équation 1.10:
∞
∞
2
𝑡 ∑(𝑚 + 𝑘)(𝑚 + 𝑘 − 1)𝑎𝑘 𝑡
𝑚+𝑘−2
∞
+ 𝑡 ∑(𝑚 + 𝑘)𝑎𝑘 𝑡
𝑘=0
𝑚+𝑘−1
+
(𝑡 2
2)
−𝜆
𝑘=0
∞
𝑘=0
∞
= ∑(𝑚 + 𝑘)(𝑚 + 𝑘 − 1)𝑎𝑘 𝑡
𝑚+𝑘
∞
+ ∑(𝑚 + 𝑘) 𝑎𝑘 𝑡
𝑘=0
∑ 𝑎𝑘 𝑡 𝑚+𝑘 = 0
𝑘=0
𝑚+𝑘
+ ∑ 𝑎𝑘 𝑡
∞
𝑚+𝑘+2
𝑘=0
2
− 𝜆 ∑ 𝑎𝑘 𝑡 𝑚+𝑘
𝑘=0
2
𝑚+𝑘
𝑚+𝑘+2
= ∑∞
+ ∑∞
𝑘=0[(𝑚 + 𝑘){(𝑚 + 𝑘 − 1) + 1} − 𝜆 ]𝑎𝑘 𝑡
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑡
2
2
𝑚+𝑘
𝑚+𝑘+2
= ∑∞
+ ∑∞
𝑘=0[(𝑚 + 𝑘) − 𝜆 ]𝑎𝑘 𝑡
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑡
Ainsi:
𝑚+𝑘
𝑚+𝑘+2
∑∞
+ ∑∞
= 0(Equation 1.13)
𝑘=0(𝑚 + 𝑘 + 𝑛)(𝑚 + 𝑘 − 𝑛)𝑎𝑘 𝑡
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑡
On obtient alors:

(𝑚 + 0 + 𝑛)(𝑚 + 0 − 𝑛)𝑎0 = 0, 𝑎0 ≠ 0

(m+n)(m-n) = 0, m=-n et m=n

(𝑚 + 1 + 𝑛)(𝑚 + 1 − 𝑛)𝑎1 + 0 = 0, 𝑎1 = 0

𝑘
(𝑚 + 𝑘 + 2 + 𝑛)(𝑚 + 𝑘 + 2 − 𝑛)𝑎𝑘+2 𝑎𝑘 = 0, 𝑎𝑘+2 =
(𝑚+𝑘+2+𝑛)(𝑚+𝑘+2−𝑛)
−𝑎
Posons k=0,1,2,3 ,…
−𝑎
0
𝑘 = 0, 𝑎2 = (𝑚+2+𝑛)(𝑚+2−𝑛)
−𝑎
1
𝑘 = 1, 𝑎3 = (𝑚+3+𝑛)(𝑚+3−𝑛)
=0
−𝑎
−𝑎
2
0
𝑘 = 2, 𝑎4 = (𝑚+4+𝑛)(𝑚+4−𝑛)
= (𝑚+2+𝑛)(𝑚+4+𝑛)(𝑚+2−𝑛)(𝑚+4−𝑛)
Portons ces résultats dans l’équation 1.11, 𝑦 = 𝑡 𝑚 (𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ )
𝑡2
𝑡4
𝑦 = 𝑎0 𝑥 𝑚 [1 − (𝑚+2+𝑛)(𝑚+2−𝑛) + (𝑚+2+𝑛)(𝑚+4+𝑛)(𝑚+2−𝑛)(𝑚+4−𝑛)] (Equation
1.14)

1ère Cas: pour m = n
(𝑦)𝑚=𝑛 = 𝑎0 𝑡 𝑛 [1 −

𝑡2
+
2 (𝑛+1)
2
𝑡4
2.24 (𝑛+1)(𝑛+2)
](Equation 1.15)
2ème Cas : pour m = -n
(𝑦)𝑚=−𝑛 = 𝑎0 𝑡 −𝑛 [1 −
𝑡2
+
2 (1−𝑛)
2
𝑡4
2.24 (1−𝑛)(2−𝑛)
](Equation 1.16)
D’où:
𝑦 = 𝐶1 (𝑦)𝑚=𝑛 + 𝐶2 (𝑦)𝑚=−𝑛
𝒕𝟐
𝒕𝟒
𝒕𝟐
𝒕𝟒
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒂𝟎 𝒙𝒏 [𝟏 − 𝟐𝟐 (𝒏+𝟏) + 𝟐.𝟐𝟒 (𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐) … ] + 𝑪𝟐 𝒂𝟎 𝒙−𝒏 [𝟏 − 𝟐𝟐 (𝟏−𝒏) + 𝟐.𝟐𝟒 (𝟏−𝒏)(𝟐−𝒏) … ]
(Equation 1.17)
Fonction de Bessel de 1ère espèce
1.2.4
𝑡2
𝑡4
On a : (𝑦)𝑚=𝑛 = 𝑎0 𝑡 𝑛 [1 − 22 (𝑛+1) + 2.24 (𝑛+1)(𝑛+2 …
1
En prenant 𝑎0 = 2𝑛Γ(𝑛+1)
𝑡𝑛
𝑡2
𝑡4
𝑡𝑛
𝑡 2𝑘 (−1)𝑘
= 2𝑛 Γ(𝑛+1) [1 − 1.22 (𝑛+1) + 2.24 (𝑛+1)(𝑛+2) … ]
= 2𝑛 Γ(𝑛+1) ∑∞
𝑘=0 𝑘.22𝑘 (𝑛+1)(𝑛+2) … (𝑛 + 𝑘)
𝑡 𝑛+2𝑘 (−1)𝑘
= ∑∞
𝑘=0 𝑘.2𝑛+2𝑘 Γ(𝑛+𝑘+1)
(−1)𝑘
𝑡
𝑛+2𝑘
Alors 𝐽𝑛 (𝑡) = ∑∞
(Equation 1.18)
𝑘=0 𝑘!Γ(𝑛+𝑘+1) (2)
Figure 1.5 : Fonction de Bessel de 1ère Espèce d’ordre 0 à 4
Fonction de Bessel de 2ème espèce
1.2.5
𝑡2
𝑡4
On a : (𝑦)𝑚=−𝑛 = 𝑎0 𝑡 −𝑛 [1 − 22 (1−𝑛) + 2.24 (1−𝑛)(2−𝑛) …
1
En prenant 𝑎0 = 2−𝑛Γ(𝑛+1)
𝑡 −𝑛
𝑡2
𝑡4
𝑡 −𝑛
𝑡 2𝑘 (−1)𝑘
= 2−𝑛Γ(𝑛+1) [1 − 1.22 (1−𝑛) + 2.24 (1−𝑛)(2−𝑛) … ]
= 2−𝑛Γ(1−𝑛) ∑∞
𝑘=0 𝑘.22𝑘 (1−𝑛)(2−𝑛) … (𝑘 − 𝑛)
(−1)𝑘
𝑡
2𝑘−𝑛
Alors 𝐽−𝑛 (𝑡) = ∑∞
(Equation 1.19)
𝑘=0 𝑘!Γ(1−𝑛+𝑘) (2)
Figure 1.6 : Fonction de Bessel de 2ème espèce d’ordre 0 à 4
Partie 2 : Applications
L’utilisation des fonctions de Bessel est multiple et très variés selon le domaine :
électroniques, télécommunications, physique…Parmi ces différentes applications, l’un de
point fort de ces fonctions est l’opération de filtrage d’un signal dans le domaine de Haute
fréquence. Les filtres de Bessel présentent l’avantage d’assurer un déphasage linéaire en
fonction de la fréquence, donc un temps de propagation de groupe constant. Aussi, la qualité
essentielle des filtres de Bessel est de donner la distorsion minimale sur les signaux non
sinusoïdaux. On peut aussi utiliser les fonctions de Bessel pour l’analyse spectrale d’un signal
et même dans les fibres optiques.
2.1 Les filtres de Bessel dans le domaine Haute fréquence (HF)
2.1.1 Pourquoi filtrer un signal ?
Le Traitement du Signal est une matière vivante, actuellement en plein essor, avec des
applications de plus en plus nombreuses, dans des domaines très variés. En traitement des
signaux électriques, un des problèmes fondamentaux est l’extraction de l’information utile
d’un signal issu d’un capteur ou reçu d’un interlocuteur. Sur l’antenne de réception d’un
téléphone portable par exemple, de multiples signaux se superposent. Certains sont des bruits
générés par l’environnement, d’autres concernent des communications dont une seule est
destinée à être reçue par l’utilisateur du téléphone. Une des tâches importantes en électronique
des télécommunications consiste à séparer la partie utile à celle qui transporte l’information
de partie parasite ainsi on doit faire appel à un filtre.
Il n’est pas un système électronique qui ne fasse appel à, au moins, un filtre. La plupart en
comportent en grande quantité. On trouve des filtres dans un peu près tous les appareils
électroniques qui nous entourent :
 Systèmes de télécommunications (téléphone, télévision, radio, transmission de
données…)
 Systèmes d’acquisition et de traitement de signaux physiques (surveillance médicale,
ensemble
de mesure, radars… )
 Alimentation électrique….
2.1.2 Définition d’un filtre
Un filtre est un dispositif qui consiste à isoler une certaine bande de fréquence, appelée bande
passante, afin de s’affranchir du bruit et de toutes les fréquences qui perturberont la
reconstitution du signal émis par la source.
Figure 2.1 : Utilisation des filtres dans une chaine de transmission
2.1.3 Avantages des Filtres de Bessel dans le domaine HF
Dans le domaine des HF (de 1 à 100 GHz), les principaux obstacles au filtrage sont
l’importance du bruit et la complexité à effectuer des mesures. De plus, compte tenu de la
tendance des amplificateurs opérationnels à atténuer le signal, les filtres actifs sont
généralement inopérants dans cette bande fréquentielle. Pourtant les filtres de Bessel
présentent beaucoup des avantages et des utilités dans cette bande de fréquence. Voici
quelques études comparatives entre trois filtres utilisés en électronique et télécommunication :
Figure 2.2 : Illustration entre les filtres de Bessel, Butterworth et Chebyshev
La caractéristique de Bessel possède une réponse en amplitude dans la bande passante sans
ondulation. Parmi les différentes fonctions de réponse existantes, la caractéristique de Bessel
présente toujours la coupure la moins raide. Autrement dit, pour un gabarit donné, elle donne
l’ordre le plus élevé et aboutit par conséquent à la complexité la plus grande. Les filtres de Bessel
présentent néanmoins l’avantage d’assurer un déphasage linéaire en fonction de la fréquence, donc
un temps de propagation de groupe constant d’où l’intérêt d’utilisés ces filtres dans le domaine
HF. Aussi, la qualité essentielle des filtres de Bessel est de donner la distorsion minimale sur les
signaux non sinusoïdaux. La réponse temporelle du filtre à un échelon de tension est une méthode
simple pour mesurer ce type de distorsion.
Voici un tableau illustrant cinq types de filtre utilisé en télécommunication :
Filtres
Avantages
Inconvénients
• Pente du gain de -20dB/
• Ordre élevé pour une
décade
grande sélectivité
• Forme générale similaire
BUTTERWORTH
pour tous les ordres (sauf
la pente)
• Calculs faciles
• Aucunes ondulations
dans la bande passante
TCHEBYCHEV
• Ordre plus petit pour une
• Ondulation dans la bande
grande sélectivité
passante
• Ondulation dans la bande
• Utilisation d’ordre pair
passante en fonction de
impossible avec le type2
l’ordre n
• Type2 peu utilisé à cause
• Filtres d’ordre impair,
sa complexité et la
impédance d’entrée et
nécessité de régler les
sortie identique
circuits LC précisément
• Type2 meilleur que le
• Temps de propagation de
type1 au niveau de
groupe non constant en
l’absence d’ondulation et
bande passante
du temps de propagation
de groupe
CAUER
BESSEL
• Filtre à coupure maximale
• Difficulté du calcul
• Coupure raide
• Difficile à réaliser
• Délai constant en bande
• Sélectivité moins bonne
passante (pour la
• Pas d’intérêt pour le
fréquence)
filtrage numérique
• Indispensable pour les
modulations HF
(préserver la phase des
signaux large bande)
LEGENDRE
• Raideur maximale au
• Calculs complexes
niveau de la Fc
• Atténuations monotone
Tableau 1.1 : Comparative entre les filtres le plus utilisés en télécommunication
2.2 Analyse spectrale d’un signal dans la Modulation FM
Le spectre d’un signal FM est complexe et ne se calcule mathématiquement que dans le cas
particulier où le signal basse-fréquence est sinusoïdal, les fonctions de Bessel permettent de
développer et de représenter ce spectre pour obtenir une analyse profonde :
Cette expression se développe à l’aide des fonctions de Bessel :
Figure 2.3 : Spectre d’une porteuse FM avec signal modulant sinusoïdale
2.3 Quelques traitements sous Maltab
- Fonction de Bessel de 1ère espèce :
Code :
%Definir le domaine
z = 0:0.1:20;
%Calcul les cinq fonctions de Bessel
J = zeros(5,201);
for i = 0:4
J(i+1,:) = besselj(i,z);
end
%affiche la fonction sur le même figure
plot(z,J)
grid on
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','Location','Best')
title('Bessel Functions of the First Kind for $\nu \in [0,
4]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$J_\nu(z)$','interpreter','latex')
%Copyright 2019, by Haingonirina Ignace RAJAOSOLOMANANTENA ISCA 2019
Résultats :
- Fonction de Bessel de 2ère espèce :
Code :
%Definir le domaine
z = 0:0.1:20;
%Calcul les cinq premieres fonctions de Bessel
Y = zeros(5,201);
for i = 0:4
Y(i+1,:) = bessely(i,z);
end
%Affiche les cinq graphes dans le même figure
plot(z,Y)
axis([-0.1 20.2 -2 0.6])
grid on
legend('Y_0','Y_1','Y_2','Y_3','Y_4','Location','Best')
title('Bessel Functions of the Second Kind for $\nu \in [0, 4]$ - ISCA
2019','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$Y_\nu(z)$','interpreter','latex')
%Copyright 2019, by Haingonirina Ignace RAJAOSOLOMANANTENA ISCA 2019
Résultats :
Conclusion
Pour conclure, les fonctions de Bessel sont donc importantes pour des nombreux problèmes
en électronique et télécommunication. Sans cette fonction certains problème seront difficile
voire même impossible à résoudre. Les fonctions de Bessel modifié vont encore apporter
d’autres innovations telles que la fenêtre kaiser Bessel qui sera étudié plus tard.