Fonctions de Bessel et ses applications en télécommunications

- Présenté par : RAJAOSOLOMANANTENA Haingonirina Ignace
- Domaine : Sciences de l’ingénieur
- Mention : Ingénierie des systèmes avancés
- Parcours : Systèmes de communication avancés
- Niveau : Master 2 à visée de recherche
Professeur RANDIMBINDRAINIBE Falimanana

INTRODUCTION
Friedrich Bessel (1784 - 1846) est un astronome et mathématicien allemand, connu
principalement pour avoir effectué en 1838 les premières mesures précises de la distance
d’une étoile et pour être le fondateur de l’école allemande d’astronomie d’observation.
Ce rapport concerne l’étude des fonctions de Bessel et quelques applications en
télécommunications, il comporte deux parties : dans la première partie, on va voir l’équation
de Bessel, les fonctions de Bessel de 1ère espèce et 2ème espèce. La deuxième partie sera
consacrée aux différentes applications dans le domaine de la télécommunication.

Partie 1 : Les fonctions de Bessel
1.1 Historiques :
Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846) un mathématicien et astronome Allemand connu par
ses nombreux travaux de recherche non seulement en astronomie mais aussi en mathématique,
et physique. C’est lui le père de la célèbre fonction utilisé dans plusieurs aujourd’hui appelé
« fonctions de Bessel ». Bernouilli a déjà introduit l’étude de ces fonctions en 1732. Plus tard,
en 1764, Euler a utilisé aussi ces fonctions. Rayleigh a analysé ces travaux en démontrant que
les fonctions de Bessel ne sont autres que des cas particuliers de la fonction de Laplace.
Figure 1.1 : Quelques célèbres mathématiciens

1.2 Le point de vue différentiel
1.2.1 Un fil
On suspend un fil à un crochet, quelque part sur la longueur on l’écart de sa position
d’équilibre et on le lâche. Quelle est alors la courbe décrite par ce fil ? Daniel Bernouilli
rencontre le problème en 1732 et donna sa solution qui faits appel aux fonctions de Bessel,
lesquelles ne seront réellement étudiées que beaucoup plus tard par l’astronome allemand
Friedrich Bessel en 1824.
Figure 1.2 : fil pesant
Soit donc un fil pesant de longueur l, homogène et non rigide, attaché à une extrémité A. Au
repos il prend verticalement. Nous écartons le fil de sa position d’équilibre et nous nous
intéressons aux petites oscillations planes du fil. On appelle (Ox) l’axes vertical et (Oy) l’axe
horizontal, soit également  la densité du fil.

Figure 1.3 : Etude d’un fil pesant
Prenons deux point M et M’ voisins sur le fil, la force f qui agit sur le segment [MM’] est le
projection horizontale de la tension T du fil quand on passe de M à M’, on a donc
f= TcosTcot=T
 d’où (f’-f)=[T’ ] et la différentielle suivant les x est alors
. Par ailleurs la tension est compensée verticalement à la hauteur x sur le
segment [MM’] par T=gx, d’où f= 
 ; par ailleurs la force
d’inertie horizontale sur le segment est 
 ,d’où l’équation du mouvement :
 (Equation 1.1)
Cette équation a beaucoup de solutions possibles, aussi limitons nous aux fonctions
sinusoïdales de t :
 ; nous obtenons alors   et  , de
même : 
  et   d’où après simplification d’équation devient :