application ax xb

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
Etude de l’application X7→ AX +XB
Définitions et notations
Dans tout le problème n∈N∗et, pour tout A, B ∈ Mn(R),ΦA,B désigne l’endomorphisme de Mn(R)défini par ΦA,B (X) =
AX +XB.
Notations :
1. Si A∈ Mn(R), on notera ΦAau lieu de ΦA,A .
2. Si A, B ∈ Mn(R), on notera [A, B](Crochet de Lie) au lieu de ΦA,−A(B) = AB −BA.
Soit M∈ Mn(R). On dit que Mest cyclique si ∃X0∈ Mn1(R)telle que (X0, MX0, . . . , Mn−1X0)soit une base de
Mn1(R).
On admet que si E1, . . . , Epsont des sous-espaces vectoriels de Mn(R)tels que E1∪. . . ∪Ep=Mn(R)alors ∃i∈
{1, . . . , p}, Ei=Mn(R).
Première partie
Propriétés du crochet de Lie
1: Montrer que ∀A, B, C ∈ Mn(R),[A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0 (Identité de Jacobi).
2: Montrer que ∀A, B, C ∈ Mn(R),[A, BC]=[A, B]C+B[A, C].
3: Montrer ∀A∈ Mn(R),ΦA,−An’est pas surjective.
4: Soient A, B ∈ Mn(R)et on suppose que ∃α, β ∈Rtels que [A, B] = αIn+βA.
4-1: Montrer que ∀n∈N∗,[An, B] = nαAn−1+nβAnet en déduire l’expression de [P(A), B]pour tout P∈R[X].
4 - 2: On suppose que β6= 0. Montrer que Aadmet au moins une valeur propre réelle et que si Aest diagonalisable alors
A= 0.
5: Soient A, B ∈ Mn(R).
5-1: Montrer que si rg([A, B]) = 1 alors la matrice [A, B]est nilpotente.
5-2: Montrer que si ∃α∈R∗,[A, B] = αA alors la matrice Aest nilpotente.
5-3: On supoose que ∃α∈R,[A, B] = αA +B. Posons M=αA +B.
5-3-a: Montrer que AM −MA =M. En déduire que ker Mest non nul et stable par A.
5-3-b: Montrer que si χA, χBsont scindés alors Aet Bont un vecteur propre commun.
5 - 4: Généralement, on supose que χA, χBsont scindés et ∃α, β ∈R,[A, B] = αA +βB. Montrer que Aet Bont un vecteur
propre commun.
Deuxième partie
Réduction de l’application ΦA,B
Soient A, B ∈ Mn(R)de polynômes caractéristiques scindés.
1: Soient α∈ Sp(A)et β∈ Sp(B). Montrer que si Xest un vecteur propre de Aassocié à αet Yun vecteur propre de B
associé à βalors XtYest une matrice propre de ΦA,B associée à α+β.
2: Réciproquement, Soit λ∈ Sp(ΦA,B )et Mune matrice propre de ΦA,B associée à λ.
2-1: Montrer que ∀k∈N, AkM=M(λIn−B)k. En déduire que ∀P∈R[X], P (A)M=MP (λIn−B).
2-2: Déduire que χA(λIn−B)n’est pas inversible.
2-3: Montrer que ∃α∈ Sp(A)tel que B−(λ−α)Inne soit pas inversible.
2-4: Déduire que Sp(ΦA,B ) = Sp(A) + Sp(B).
3: On suppose que A, B sont diagonalisables et soient (U1, . . . , Un)et (V1, . . . , Vn)deux bases de Mn1(C)formées de vecteurs
propres de Aet Brespectivement. Montrer que (UitVj)1≤i,j≤nest une base de Mn(C)et déduire que ΦA,B est diagonalisable.
Troisième partie
Dans cette partie, on considère Mn(R)muni du produit scalaire < M, N >= tr(t MN).
1: Montrer que si A, B ∈ Mn(R)sont symétriques alors ΦA,B est autoadjoint.
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2: Montrer que si A, B ∈ Mn(R)sont symétriques définies positives alors ΦA,B l’est aussi.
3: Soit S∈ Mn(R)symétrique définie positive. Montrer que ∀X∈ Mn(R), X est symétrique si et seulement si ΦS(X)l’est
aussi.
4: Soit D= diag(λ1, . . . , λn)∈ Mn(R)définie positive, X∈ Mn(R)et M= ΦD(X). On suppose que Mest symétrique
définie positive.
4-1: Montrer que ∀U∈ Mn1(R),t UXU =
n
X
i,j=1
mij
λ1+λj
uiuj.
4-2: Montrer que ∀U∈ Mn1(R), t 7→
n
X
i,j=1
mij uiujtλi+λj−1est intégrable sur ]0,1] et calculer son intégrale.
4-3: En déduire que Xest symétrique définie positive.
5: Soient S∈ Mn(R)symétrique définie positive, X∈ Mn(R)et M= ΦS(X). Montrer que si Mest symétrique définie
positive alors Xl’est aussi.
6: Soit S∈ Mn(R)symétrique définie positive. Montrer que ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, s2
ij ≤siisjj .
7: Montrer que ∀a > 0,∃λ > 0tel que (λ+ 1)2>4λa.
8: Soit S∈ Mn(R)symétrique définie positive non diagonale et i, j ∈ {1, . . . , n}tels que sij 6= 0. Montrer que ∃λ > 0tel
que la matrice ΦS(In+ (λ−1)Eii)ne soit pas définie positive. Conclure.
Quatrième partie
Commutant d’une matrice
Pour toute matrice M∈ Mn(R), on note :
ψM:Mn(C)→ Mn(C)
X7→ MX −XM
1: Soit Dl’ensemble des matrices de Mn(C)ànvaleurs propres deux à deux distincts.
1-1: Montrer que ∀M∈ D,(In, M, . . . , Mn−1)est libre. En déduire que dim ker ψM≥n.
1-2: Montrer que Dest dense dans Mn(C).
2: On pose R={M∈ Mn(C)/rg ψM≤n2−n}.
2-1: Montrer que Rest fermé dans Mn(C).
2-2: Montrer que D ⊂ R et en déduire que ∀M∈ Mn(C),dim ker ψM≥n.
3: Soit M∈ Mn(R)et p= dim ker ψM.
3-1: Montrer que ∃R1,...Rp∈ M(R)tel que (R1,...Rp)engendre le C-espace vectoriel ker ψX.
3-2: En déduire que dim ker ΦM,−M≥n.
4: Soit A∈ Mn(R)cyclique et X0∈ Mn1(R)telle que (X0, AX0, . . . , An−1X0)soit une base de Mn1(R).
4-1: Montrer que ∀M∈ker ΦA,−A,∃P∈R[X], MX0=P(A)X0. En déduire que M=P(A).
4-2: Montrer que dim ker ΦA,−A=n.
5: Réciproquement, soit A∈ Mn(R)telle que dim ker ΦA,−A=net, pour tout X∈ Mn1(R), on note IX={P∈
R[X]/P (A)X= 0}.
5-1: Montrer que ∀X∈ Mn1(R),∃µX∈R[X]unitaire tel que IX=µXR[X].
5-2: Montrer que ∀X∈ Mn1(R), µX|πA. En déduire que l’ensemble {µX/X ∈ Mn1(R)}est fini.
5-3: Montrer que ∃X0∈ Mn1(R)telle que Mn1(R) = ker µX0(A).
5-4: En déduire que µX0=πAet que Aest cyclique.
6: Conclure que ∀M∈ Mn(R),dim ker ΦM,−M=nsi et seulement si Mest cyclique.
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