CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali Etude de l’application X 7→ AX + XB Définitions et notations Dans tout le problème n ∈ N∗ et, pour tout A, B ∈ Mn (R), ΦA,B désigne l’endomorphisme de Mn (R) défini par ΦA,B (X) = AX + XB. Notations : 1. Si A ∈ Mn (R), on notera ΦA au lieu de ΦA,A . 2. Si A, B ∈ Mn (R), on notera [A, B] (Crochet de Lie) au lieu de ΦA,−A (B) = AB − BA. Soit M ∈ Mn (R). On dit que M est cyclique si ∃X0 ∈ Mn1 (R) telle que (X0 , M X0 , . . . , M n−1 X0 ) soit une base de Mn1 (R). On admet que si E1 , . . . , Ep sont des sous-espaces vectoriels de Mn (R) tels que E1 ∪ . . . ∪ Ep = Mn (R) alors ∃i ∈ {1, . . . , p}, Ei = Mn (R). Première partie Propriétés du crochet de Lie 1: Montrer que ∀A, B, C ∈ Mn (R), [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0 (Identité de Jacobi). 2: Montrer que ∀A, B, C ∈ Mn (R), [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]. 3: Montrer ∀A ∈ Mn (R), ΦA,−A n’est pas surjective. 4: Soient A, B ∈ Mn (R) et on suppose que ∃α, β ∈ R tels que [A, B] = αIn + βA. 4 - 1: Montrer que ∀n ∈ N∗ , [An , B] = nαAn−1 + nβAn et en déduire l’expression de [P (A), B] pour tout P ∈ R[X]. 4 - 2: On suppose que β 6= 0. Montrer que A admet au moins une valeur propre réelle et que si A est diagonalisable alors A = 0. 5: Soient A, B ∈ Mn (R). 5 - 1: Montrer que si rg([A, B]) = 1 alors la matrice [A, B] est nilpotente. 5 - 2: Montrer que si ∃α ∈ R∗ , [A, B] = αA alors la matrice A est nilpotente. 5 - 3: On supoose que ∃α ∈ R, [A, B] = αA + B. Posons M = αA + B. 5 - 3 - a : Montrer que AM − M A = M . En déduire que ker M est non nul et stable par A. 5 - 3 - b : Montrer que si χA , χB sont scindés alors A et B ont un vecteur propre commun. 5 - 4: Généralement, on supose que χA , χB sont scindés et ∃α, β ∈ R, [A, B] = αA + βB. Montrer que A et B ont un vecteur propre commun. Deuxième partie Réduction de l’application ΦA,B Soient A, B ∈ Mn (R) de polynômes caractéristiques scindés. 1: Soient α ∈ Sp(A) et β ∈ Sp(B). Montrer que si X est un vecteur propre de A associé à α et Y un vecteur propre de B associé à β alors X t Y est une matrice propre de ΦA,B associée à α + β. 2: Réciproquement, Soit λ ∈ Sp(ΦA,B ) et M une matrice propre de ΦA,B associée à λ. 2 - 1: Montrer que ∀k ∈ N, Ak M = M (λIn − B)k . En déduire que ∀P ∈ R[X], P (A)M = M P (λIn − B). 2 - 2: Déduire que χA (λIn − B) n’est pas inversible. 2 - 3: Montrer que ∃α ∈ Sp(A) tel que B − (λ − α)In ne soit pas inversible. 2 - 4: Déduire que Sp(ΦA,B ) = Sp(A) + Sp(B). 3: On suppose que A, B sont diagonalisables et soient (U1 , . . . , Un ) et (V1 , . . . , Vn ) deux bases de Mn1 (C) formées de vecteurs propres de A et B respectivement. Montrer que (Ui t Vj )1≤i,j≤n est une base de Mn (C) et déduire que ΦA,B est diagonalisable. Troisième partie Dans cette partie, on considère Mn (R) muni du produit scalaire < M, N >= tr(tM N ). 1: Montrer que si A, B ∈ Mn (R) sont symétriques alors ΦA,B est autoadjoint. www.mathlaayoune.webs.com 1/2 [email protected] CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali 2: Montrer que si A, B ∈ Mn (R) sont symétriques définies positives alors ΦA,B l’est aussi. 3: Soit S ∈ Mn (R) symétrique définie positive. Montrer que ∀X ∈ Mn (R), X est symétrique si et seulement si ΦS (X) l’est aussi. 4: Soit D = diag(λ1 , . . . , λn ) ∈ Mn (R) définie positive, X ∈ Mn (R) et M = ΦD (X). On suppose que M est symétrique définie positive. n X mij 4 - 1: Montrer que ∀U ∈ Mn1 (R), tU XU = ui uj . λ + λj i,j=1 1 4 - 2: Montrer que ∀U ∈ Mn1 (R), t 7→ n X mij ui uj tλi +λj −1 est intégrable sur ]0, 1] et calculer son intégrale. i,j=1 4 - 3: En déduire que X est symétrique définie positive. 5: Soient S ∈ Mn (R) symétrique définie positive, X ∈ Mn (R) et M = ΦS (X). Montrer que si M est symétrique définie positive alors X l’est aussi. 6: Soit S ∈ Mn (R) symétrique définie positive. Montrer que ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, s2ij ≤ sii sjj . 7: Montrer que ∀a > 0, ∃λ > 0 tel que (λ + 1)2 > 4λa. 8: Soit S ∈ Mn (R) symétrique définie positive non diagonale et i, j ∈ {1, . . . , n} tels que sij 6= 0. Montrer que ∃λ > 0 tel que la matrice ΦS (In + (λ − 1)Eii ) ne soit pas définie positive. Conclure. Quatrième partie Commutant d’une matrice Pour toute matrice M ∈ Mn (R), on note : ψM : Mn (C) → X 7→ Mn (C) M X − XM 1: Soit D l’ensemble des matrices de Mn (C) à n valeurs propres deux à deux distincts. 1 - 1: Montrer que ∀M ∈ D, (In , M, . . . , M n−1 ) est libre. En déduire que dim ker ψM ≥ n. 1 - 2: Montrer que D est dense dans Mn (C). 2: On pose R = {M ∈ Mn (C)/rg ψM ≤ n2 − n}. 2 - 1: Montrer que R est fermé dans Mn (C). 2 - 2: Montrer que D ⊂ R et en déduire que ∀M ∈ Mn (C), dim ker ψM ≥ n. 3: Soit M ∈ Mn (R) et p = dim ker ψM . 3 - 1: Montrer que ∃R1 , . . . Rp ∈ M(R) tel que (R1 , . . . Rp ) engendre le C-espace vectoriel ker ψX . 3 - 2: En déduire que dim ker ΦM,−M ≥ n. 4: Soit A ∈ Mn (R) cyclique et X0 ∈ Mn1 (R) telle que (X0 , AX0 , . . . , An−1 X0 ) soit une base de Mn1 (R). 4 - 1: Montrer que ∀M ∈ ker ΦA,−A , ∃P ∈ R[X], M X0 = P (A)X0 . En déduire que M = P (A). 4 - 2: Montrer que dim ker ΦA,−A = n. 5: Réciproquement, soit A ∈ Mn (R) telle que dim ker ΦA,−A = n et, pour tout X ∈ Mn1 (R), on note IX = {P ∈ R[X]/P (A)X = 0}. 5 - 1: Montrer que ∀X ∈ Mn1 (R), ∃µX ∈ R[X] unitaire tel que IX = µX R[X]. 5 - 2: Montrer que ∀X ∈ Mn1 (R), µX |πA . En déduire que l’ensemble {µX /X ∈ Mn1 (R)} est fini. 5 - 3: Montrer que ∃X0 ∈ Mn1 (R) telle que Mn1 (R) = ker µX0 (A). 5 - 4: En déduire que µX0 = πA et que A est cyclique. 6: Conclure que ∀M ∈ Mn (R), dim ker ΦM,−M = n si et seulement si M est cyclique. www.mathlaayoune.webs.com 2/2 [email protected]