Loi Gamma, loi du χ2 et loi de Student

S. Tisserant – Eléments de Probabilités – 2009
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Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student
A. Fonction Gamma
A.1. Définition
La fonction Gamma est définie pour les réels positifs par l’intégrale :
0xpourdtte)x( 0
1xt   
A.2 Relation de récurrence
Considérons (x+1) :
 0
xt dtte)1x(
En intégrant par partie nous obtenons :
0xpour)x(x)1x( 
Pour cette raison la fonction Gamma est aussi appelée factorielle généralisée.
A.3 Argument entier ou demi-entier
Calculons (1) :
1edte)1( 0
t
0
t 
La relation de récurrence nous permet de calculer (n) pour tout entier n :
)!1n()n( 
Calculons maintenant (1/2) :
0
tt
dt
e
2
1
Par changement de variable (t = u2) nous obtenons :
 duedu2e
2
122 u
0
u

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Le calcul de cette intégrale se trouve dans l’annexe du chapitre sur la distribution normale.
Ce résultat associé à la formule de récurrence nous permet de calculer la fonction pour tout
demi-entier. Nous avons :
 !n2
)!n2(
21n2 2
1
nn2
Un résultat très similaire a également été démontré dans l’annexe du chapitre sur la
distribution normale (cf. calcul de I2n).
A.4. Courbes
L’allure de la fonction Gamma est présentée sur la figure suivante. La première courbe a été
tracée entre 0.01 et 6. La seconde, tracée entre 0.1 et 4.5, montre un peu mieux la vallée.
Fig. 4-1 : Fonction Gamma sur [0.01, 6] (à gauche) et sur [0.1, 4.5] (à droite)
Etudions la variation de l’intégrande servant à la définition de la fonction Gamma :
1xt te)t(f 
Elle a pour dérivée :
)t1x(te
dt )t(fd 2xt  
Celle-ci s’annule pour t = x-1. Donc sur le domaine d’intégration nous avons :
- Pour x > 1 : f(0) = 0, fonction croissante puis décroissante avec maximum en t = x-1 ;
- Pour x = 1 : f(0) = 1, fonction toujours décroissante ;
- Pour x < 1 : f(0)  +, fonction toujours décroissante.

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Il est facile de calculer numériquement la fonction Gamma pour x  1. Pour x < 1 on peut
utiliser la relation de récurrence avec :
x)1x(
)x( 
B. Loi Gamma
B.1. Densité de probabilité
La loi Gamma de paramètres a > 0 et b > 0, notée (a, b), a pour densité de probabilité :
0xpourxe
)b(
a
)x(f 1bxa
b
Le paramètre a correspond à un facteur d’échelle. La figure suivante illustre la densité de
probabilité d’une loi Gamma pour quelques valeurs des paramètres.
Fig. 4-2 : Densité de probabilité de (a,b) – en vert : a = 0.5 et b = 1,
en rouge : a = 1 et b = 2, en bleu : a = 0.5 et b = 2.
B.2 Moments
Calculons le moment d’ordre n :
0
1bnxa
b
ndxxe
)b(
a
)x(E
Effectuons un changement de variable :

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)nb(
)b(a
1
duue
)b(a
1
)x(Exau n
0
1bnu
n
n
Nous avons donc :
nn
n
a
)1nb(...)2b()1b(b
)b(a
)nb(
)x(E 
En particulier pour les deux premiers moments et la variance nous avons :
2
2
2
a
b
)xvar(
a
)1b(b
)x(E
a
b
)x(E
B.3 Fonction caractéristique
Déterminons la fonction caractéristique d’une loi Gamma. Nous avons :
 0
1bxujxa
b
xuj
Xdxxee
)b(
a
)e(E)u(
 0
1bx)uja(
b
Xdxxe
)b(
a
)u(
Effectuons un changement de variable :
 01b
1b
v
b
Xuja dv
)uja(
v
e
)b(
a
)u(x)uja(v
b
b
0
1bv
b
b
X)uja(
a
dvve
)b()uja(
a
)u( 
Nous avons donc pour la fonction caractéristique d’une loi Gamma de paramètres a et b :
b
Xuja a
)u( 

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C. Loi du 2
C.1. Densité de probabilité et fonction de répartition
La loi du 2 à n degrés de liberté est un cas particulier important de la loi Gamma :
 2
n
,
2
1
)n(
2
Elle a donc pour densité de probabilité :
12/n2/x
nxe
2
n
2
1
)x(f 
La figure suivante illustre cette densité pour quatre valeurs de n. Pour n  2, la densité est
maximale pour x = n-2 qui constitue alors la valeur la plus probable. La figure 4-4 présente
les fonctions de répartition correspondantes.
Fig. 4-3 : Densité de probabilité de
2(n) pour n = 1 (jaune),
n = 2 (vert), n = 5 (rouge) et n = 10 (bleu).
Nous déduisons des résultats obtenus pour la loi Gamma les deux premiers moments et la
variance d’une loi de 2 :
n2)xvar(
)2n(n)x(E
n)x(E
2
De même la fonction caractéristique s’écrit :