1 Théorème des catégories de Baire

Département de Mathématiques. Année 2010-2011.
Année M2- Approfondissement en Analyse.
Autour de la notion de compacité
1 Théorème des catégories de Baire
Un espace topologique Xest un espace de Baire si toute intersection dénombrable d’ouverts denses dans
Xest une partie dense de X. Une partie Yd’un espace topologique Xest dit de première catégorie si
XrYcontient une intersection d’ouverts dense. Si Xest un espace topologique, les sous-ensembles de
deuxième catégorie de Baire sont tous les sous-ensembles de Xqui ne sont pas de première catégorie. Un
espace topologique est donc de Baire si tout ouvert non-vide est de deuxième catégorie. Ou encore, un espace
topologique est de Baire si toute partie de première catégorie est d’intérieur vide.
Le théorème des catégories de Baire s’énonce alors de la façon suivante. Tout espace métrique complet est
de Baire. Tout espace topologique localement compact est de Baire.
Exercice 1.1. 1. Soit Xun espace topologique séparé et aun point de X. Notons V(a)l’ensemble des
voisinages fermés de a. Montrer que
\
V∈V(a)
V={a}.
2. Soit Xun espace compact (ce qui supposera toujours Xséparé ici).
a) Soit a∈Xet Vun voisinage de a. Soit Kle complémentaire de ◦ Vdans X. Montrer que
\
W∈V(a)
W∩K=∅.
b) En déduire que tout point de Xadmet un système fondamental de voisinages compacts.
c) En déduire que toute partie compacte Y⊂Xadmet un système fondamental de voisinages compacts.
Remarque sur cet exercice. La propriété démontrée en b) prouve que tout point d’un espace compact
admet un système fondamental de voisinages fermés, ce qui fait de Xun espace topologique régulier. Enfin,
en c) on prouve que toute partie fermée d’un espace compact Xadmet un système de voisinages fermés , ce
qui fait de Xun espace topologique normal.
Exercice 1.2. En utilisant l’exercice précédent montrer les assertions suivantes.
1. Dans un espace localement compact, toute partie compacte admet un système fondamental de voisinages
compacts.
2. Tout espace localement compact est régulier.
Remarque. En général un espace localement compact n’est pas un espace normal.
Exercice 1.3. Soit Xun espace topologique (séparé) localement compact. Soit (On)n∈Nune suite d’ouverts
denses dans Xet Oun ouvert non-vide de X. On va démontrer que
O∩\
n∈N
On6=∅.
1. En utilisant l’exercice précédent, construite une suite d’ouverts (Ωn)n∈Nnon-vides et relativement com-
pacts vérifiants les propriétés suivantes.
Ω0⊂O, et Ωn+1 ⊂Ωn∩On.
2. Conclure.
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2 Compactifié d’Alexandroff d’un espace localement compact
Etant donné un espace topologique localement compact X, on va construire un espace compact X′, unique
à homéomorphisme près, en adjoignant à Xun point à l’infini.
Exercice 2.1. Soir Xespace topologique localement compact muni de sa topologie T. Soit ωun ensemble
n’appartenant pas à X. On pose X′:= X∪ {ω}et on définit
T′:= T ∪ {X′rK|Kpartie compacte de X}.
1. Montrer que T′définit bien une topologie sur X′.
2. Montrer que X′est compact pour la topologie T′.
On montre maintenant que X′est, à homéomorphsime près, l’unique espace compact tel que Xsoit homéo-
morphe au complémentaire d’un point ω∈X′.
3. Soit X′
1et X′ 2deux espaces compacts et ω1∈X′ 1,ω2∈X′ 2. Soient h1et h2des homéomorphismes de X
sur X1:= X′
1r{ω1}et X2:= X′ 2r{ω2}.
a) On définit l’application h:X′
1→X′ 2. Telle que h|X1:= h2◦h−1
1et h(ω1) = ω2. Montrer que hest continue
en tout point de X1.
b) Montrer que hest continue en ω1. Conclure.
Application : compactification de Rn.Dans l’espace Rn+1 =Rn×Ron note (x1,...,xn, u)les coor-
données du point (x, u). On considère la sphère unité de Rn+1 d’équation
Sn:x2
1+...x2 n+u2= 1 .
On note N:= (0,1) ∈Snle pôle nord de la sphère.
4. Montrer que la projecion stéréographique
p:Snr{N} → Rn: (x, u)7→ x
1−u
est un homéomorphisme.
5. En déduire le compactifié d’Alexandroff de Rn.
Le compactifié d’Alexandroff permet une caractérisation simple des applications propres entre espaces loca-
lements compacts. Rappelons qu’une application continue f:X→Ydéfinie sur un espace séparé Xet à
valeur dans un espace localement compact Yest dite propre si l’image réciproque par fde tout compact de
Yest une partie compacte de X. On dit également de fqu’elle est fermée si l’image directe de tout fermé
de Xest une partie fermée de Y.
Exercice 2.2. Soit Xun espace séparé et Yun espace localement compact. Soit f:X→Yune application
propre et Fune partie fermée de X.
1. Soit Vun voisinage compact de a∈f(F)et W=f−1(V). Montrer qu’alors f(W∩F) = V∩f(F).
2. Montrer que tout voisinage de arencontre V∩f(F).
3. En déduire que fest une application fermée.
Exercice 2.3. Soient X1et X2des espaces localement compacts. On note X′
1:= X1∪{ω1}et X′ 2:= X2∪{ω2}
leurs compactifiés d’Alexandroff. Montrer qu’une application f:X1→X2est propre si et seulement si le
prolongement ˜ f:X′
1→X′ 2défini par ˜
f(ω1) = ω2est continu au point ω1.
3 Théorème d’Urysohn et cube de Hilbert
On rappelle qu’un espace séparé est dit normal si toute partie fermée admet un système fondamental de
voisinages fermés. On a vu que les espaces compacts sont normaux.
Exercice 3.1. Soit Xun espace topologique normal. Soient Aet Bdeux fermés disjoints dans X. On note
Dl’ensemble des nombres dyadiques de l’intervalle [0,1]. On écrit cette ensemble comme la réunion des
ensembles disjoints suivants.
D0={0,1}, D1=1
2, D2=1 4,3 4
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et pour tout n≥3:
Dn=2k+ 1
2n|0<2k+ 1 <2n.
On pose O(1) = XrB.
1. Prouver l’existence d’un ouvert O(0) tel que
A⊂O(0) ⊂O(0) ⊂O(1) .
2. Prouver l’existence d’un ouvert O(1
2)vérifiant :
O(0) ⊂O(1
2)⊂O(1 2)⊂O(1) .
3. En déduire l’existence d’une famille d’ouverts (O(t)t∈D telle que :
A⊂O(0), O(1) ⊂XrB, O(t)⊂O(t′),pour t < t′dans D.
4. Montrer que les fonctions
f:= sup
t∈D 1−t)χO(t)et g:= inf
t∈D (1 −t+tχO(t)
sont respectivement semi-continues inférieurement et supérieurement. Montrer que f|A= 1 et f|B= 0.
5. Montrer que f≤g.
6. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que f=g.
7. En déduire l’existence d’une fonction continue f:= X→[0,1] telle que f|A= 1 et f|B= 0. Cela démontre
le théorème d’Urysohn.
Ce théorème va nous permettre de prouver que tout espace normal à base de topologie dénombrable est
homéomorphe à un sous-espace d’un espace compact.
Exercice 3.2. Soit Xun normal à base de topologie dénombrable (Bn)n∈N. Notons D:= {(n, m)∈N2|
Bn⊂Bm}
1. Prouver l’existence d’une fonction continue f:X→[0,1]Dtelle que pour tout (n, m)∈D,fn,m|Bn= 0
et fn,m|XrBm= 1.
2. Soient x6=ydans X. Montrer que f(x)6=f(y).
3. En utilisant le fait que [0,1]Dest métrisable, montrer que l’application f−1:f(X)→Xest continue.
4. En déduire que fest un homéomorphisme.
Enfin, on démontre une version du théorème d’Urysohn dans le cas d’espace à priori non normaux, les espaces
localement compacts, en utilisant la compactification d’Alexandroff.
Exercice 3.3. Soit Xun espace localement compact. Soient Aune partie compacte et Bune partie fermée
sans point commun avec A. On note X′:= X∪ {ω}le compactifié dAlexandroff de X.
1. Montrer que B∪ {ω}est fermée dans X′.
2. Prouver l’existence d’une fonction continue f:X→[0,1] telle que f|A= 1 et f|B= 0.
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