Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Euclide (vers 300 avant notre ère.) Mathématicien de la Grèce antique. Son ouvrage le plus célèbre, les Éléments, est un des plus anciens traités connus présentant de manière systématique, à partir d'axiomes et de postulats, un large ensemble de théorèmes accompagnés de leurs démonstrations. Il porte sur la géométrie, tant plane que solide, et l’arithmétique théorique. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 1 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité I. Divisibilité dans ℤ Soit , et ! trois nombres entiers relatifs non nuls. Définition On dit que ' divise ) lorsqu’il existe un entier relatif , tel que =,× . On dit alors que est un diviseur de ou que est un multiple de et on note | . Exemples Quels sont les diviseurs de 30 ? Quels sont les diviseurs de 0 ? Quels sont les diviseurs de −60 ? [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 2 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Propriété Soit 7 ∈ ℕ∗ Tout diviseur positif de 7 est compris entre 1 et 7. Tout entier naturel non nul possède un nombre fini de diviseurs. Remarques • On notera >?7@ l’ensemble des diviseurs dans ℕ de l’entier naturel 7. • ∀7 ∈ ℕ∗ , 1 ∈ >?7@ et 7 ∈ >?7@ [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 3 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Propriété Si divise et divise ! alors Démonstration divise !. Propriété Si divise et divise ! alors Démonstration divise C + E! où C, E ∈ ℤ Corollaire Si divise et divise ! alors divise + ! et divise − !. Exemple : Quels sont les diviseurs communs à 60 et 63 ? [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 4 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Théorème : division euclidienne dans ℕ Si ∈ ℕ et ∈ ℕ∗ alors il existe un unique couple d’entiers naturels ?J, K@ tels que = J + K où 0 ≤ K < . Théorème : division euclidienne dans ℤ Si ∈ ℤ et ∈ ℤ∗ alors il existe un unique couple d’entiers ?J, K@ tels que = J + K où 0 ≤ K < | | et J ∈ ℤ. Corollaire divise si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de par est égal à 0. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 5 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité et II. Congruence désignent deux entiers relatifs. Définition Soit 7 ∈ ℕ, on dit que et divise ' − ). On note alors ) ≡ ' PNQ Exemples 29 ≡ 1 P7Q 32 ≡ ⋯ P5Q [email protected] sont congrus modulo N lorsque N 29 ≡ 2 P3Q 44 ≡ ⋯ P2Q http://gaellebuffet.free.fr/ 29 ≡ 8 P3Q 25 ≡ 1 P… Q Page 6 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Théorème Pour tout 7 ∈ ℕ∗ ) ≡ ' PNQ si, et seulement si, ) et ' ont le même reste dans la division euclidienne par N. Démonstration : Corollaire Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2 Il existe un unique entier Y tel que Z ≤ Y < 7 et ) ≡ Y PNQ. Cet entier K est le reste dans la division euclidienne de ) par N. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 7 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Propriétés Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2, , et ! des entiers relatifs, 1@ ≡ P7Q 2@ Si ≡ P7Q et ≡ ! P7Q alors ≡ ! P7Q Démonstration Propriétés Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2, , , ! et [ des entiers relatifs, 1@ Si ≡ P7Q et ! ≡ [ P7Q alors + ! ≡ + [ P7Q 2@ Si ≡ P7Q et ! ≡ [ P7Q alors × ! ≡ × [ P7Q 3@ Si ≡ P7Q alors \ ≡ \ P7Q pour tout ] ∈ ℕ∗ Démonstration [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 9 Chap 1. Arithmétique Terminale S spécialité Propriétés Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2, un entier relatif, ≡ 0 P7Q si, et seulement si, 7 divise Exemple : Démontrer que, pour tout 7 ∈ ℕ, le nombre 9^_ − 1 est divisible par 10. Critère de divisibilité : Soit [ ∈ ℕ, ` , a , ... , _ les chiffres de l’écriture décimale de [ [ = ` + a × 10 + ^ × 10^ + ⋯ + _ × 10_ = cccccccccccccccc _… b a ` Retrouver les critères de divisibilités par 2, 5, 3, 9, 4 et 11. [email protected] http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 9