ANIS BEN ALI ∫

Enoncé: Calculer les intégrales I, J, K.
Enoncés des exercices
TECHNIQUES ET METHODES
Calcul intégral.
1)
2)
3
cos sin
J x xdx
π
π
−
=
∫
3)
3
2
1
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=− +
∫
4)
1
2
0
2 3
3 5
x
I dx
x x
−
=− +
∫
Soit f la fonction:
(L’unité graphique est 2 cm)
Déterminer l’aire ( L ) du domaine du
plan compris entre la courbe Cf, l’axe
des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4.
4
2
3
:
x
f x e
x
→ ×
Calcul intégral
Énoncés des exercices de 1 à 4
ANIS BEN ALI
2013-2014
4 ANNEE SECONDAIRE
ANIS BEN ALI
CALCUL INTEGRAL

Vulgarisation
Pour comprendre
Primitives et calcul intégral
Le calcul intégral
x
y
A
f
C
L’aire du domaine du plan compris entre la courbe (Cf)
représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites
d’équations x = a et x = b, s’écrit :
(
)
(
)
A F b F a
= −
Fétant une primitive de f
sur l’intervalle considéré,
le chapitre consacré à la
recherche d’une ( ou des)
primitive(s) F de f permet de
passer de 1 à 2.
1
2
En unité d’aire (si
on cherche une aire).
Exemple: Si l’unité graphique est 2 cm
sur l’axe des abscisses et 3 cm sur l’axe
des ordonnées , l’unité d’aire est 6 cm2,
par conséquent:
(
)
(
)
2
6
A F b F a cm
= − × 
Se lit:
« L’aire est égale à l’intégrale
de f(x) dx entre les bornes a et b »
(dx étant la notation infinitésimale)
L’aire est égale à la primitive F
de f prise entre les bornes a et b.
( a et b appartenant à I
l’intervalle considéré sur lequel f doit
être continue)
L’aire du domaine du plan
est égale à la primitive de
la borne supérieure moins la
primitive de la borne
inférieure ».
Les techniques de recherches de primitives F de f , nous permettrons
de poursuivre le calcul intégral et déterminer ainsi l’aire d’un domaine
du plan compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses
et les droites d’équation x = a et x = b (par exemple).
a
b
( )
b
a
A f x dx
=∫
( )
b
a
A F x
=
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CALCUL INTEGRAL

2
2 3
3 5
x
x x
−
− +
2
3 5
x x
− +
1, 0 0 8
I
−
≃
2 5 3
I = − −
2 3 5
I = −
2 2
2 1 3 5 0 0 5
I
= − + − − +
2
2 3
3 5
x
xx x
−
→
− +
1
2
0
2 3
3 5
x
I dx
x x
−
=− +
∫
Enoncés: Calculer les intégrales I, J, K.
16/ Calcul d’aire.
4
2
3
:
x
f x e
x
→ ×
3
0cos sin
J x xdx
π
=
∫
3
2
1
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +
∫
1
2
0
2 3
3 5
x
I dx
x x
−
=− +
∫
« TECHNIQUES ET METHODES »
Calcul intégral
1)
3)
4)
2)
Voici une solution :
1)
Une primitive de
Utilisons la propriété du cours:
2
: 2 3 5
F x x x
→ − +
1
12
2
0
0
2 3
2 3 5
3 5
x
I dx x x
x x
−
= = − +
− +
∫
1
2
0
2 3 5
I x x = − +
Remarque: Cette intégrale est négative.
Rappel du cours: « L’intégrale d’une
fonction négative est négative »
sur ]0;1[ , ( 2x -3 ) est négatif et
est positif,
donc le quotient:
est négatif, et l’intégrale d’une
fonction négative est négative,
ce qui confirme le signe
du résultat.
Soit f la fonction:
Déterminer l’aire ( L )
comprise entre la courbe Cf,
l’axe des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4.
à 10 -3 près
est la fonction F définie comme suit
( voir détail de la recherche
de primitive page suivante )
se lit: « Primitive de la borne supérieure
moins primitive de la borne inférieure »
( ) ( ) ( ) ( )
bb
a
a
f x dx F x F b F a
= = − 
∫
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CALCUL INTEGRAL

Technique et méthode :Comment déterminer la primitive de f sur I :
Remarque: u ne s’annule pas sur R et est
strictement positif car =9 - 28= -19,
donc u du signe de a, donc positif .
Technique & Méthode:
Changeons de
variable, passons
de la variable x à
la variable u,
f devient comme
ci contre, et nous
désirons un
schéma de la
forme ci contre,
Alors utilisons les
propriétés
suivantes:
2
2 3
( )
3 5
x
f x x x
−
=
− +
I
=
ℝ
Voici une solution :
En remarquant que le numérateur
est la dérivée du polynôme se trouvant
sous la racine du dénominateur :
Posons : 2
( ) 3 5
u x x x
= − +
(
)
1
'
n n
x nx
−
=
'
( )
u
f u
u
=
1
2
u u
=
1
2
1
2
'
( ) '
u
f u u u
u
−
= =
1
n
n
a
a
−
=
Cette transformation a pour but de « mettre f
sous la forme de notre schéma général
d’intégration » noté ci dessous.
Puis intégrons ( passage de A à B):
1
2
( ) 2 2
F u u k u k
= × + = +
Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur R sont :
2
( ) 2 3 5
F x x x k
= − + +
A
B
A
B
L’expression de f avec la variable u sous
la forme souhaitée est:'2
u
u k
u
= +
∫
Vous pouvez toujours retenir la
formule ci contre, mais dans un
souci d’économie de
mémorisation et aussi de gestion
des calculs, il est bien de retenir
la manière de procéder
précédente.
TECHNIQUES ET METHODES
Techniques de recherches de primitives
2
2 3
( )
3 5
x
f x x x
−
=
− +
∆
'( ) 2 3
u x x
= −
1
'
1
n
n
u
u u k
n
+
× = +
+
∫
1
2
( ) '
f u u u
−
=
1
'
1
n
nu
u u k
n
+
× = +
+
∫
1 2
( ) ( ) '
F u f u du u u
−
= =
∫ ∫
( )
111 2
2
11 2
1
2
u u
F u k k
−+
= + = +
−+
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CALCUL INTEGRAL

( ) ( )
4 4
1
1 1
4
J = − − − −
( )
4 4
1cos cos
4
J
π π
= − − −
4
1c o s
4
J x
π
π
−
= −
4
1cos
4
J x
π
π
−
= −
3
cos sin
J x xdx
π
π
−
=∫
4
1
: cos
4
F x x
→ −
3
cos sin
x x x
→
3
cos sin
J x xdx
π
π
−
=∫
Enoncés: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
3
cos sin
J x xdx
π
π
−
=∫
« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
2)
Voici une solution :
2)
Une primitive de la fonction :
est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )
Utilisons la propriété du cours:
Puis:
Une puissance paire étant
toujours positive: ( -1 )4 = 1
Remarque et rappel de cours: Si une
fonction f est continue et impaire sur un
intervalle I, symétrique par rapport à
zéro, alors pour tout a de I :
Ici,
étudions la parité de f:
La fonction cosinus étant paire, cosx = cos(-x)
la fonction sinus étant impaire sin(-x)= - sin x
D’où:
Par conséquent f étant impaire et les bornes d’intégration
étant symétriques par rapport à zéro, il est bienvenu
d’appliquer directement la propriété du cours, et par
conséquent de se passer, dans le cas présent, de tout
calcul:
[ ]
1 1
1 1 0
4 4
J
= − − = − ×
0
J
=
( )
0
a
a
f t dt
−
=
∫
(
)
3
cos sin
f x x x
=
(
)
(
)
(
)
3
cos sin
f x x x
− = − −
(
)
sin sin
x x
− = −
(
)
cos cos
x x
= −
(
)
(
)
( )
3
3
cos
cos sin
f x x sinx
f x x x
− = × −
− = −
(
)
( )
f x f x
− = −
0
J
=
( ) ( ) ( ) ( )
bb
a
a
f x dx F x F b F a
= = − 
∫
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
= − 
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