ANIS BEN ALI ∫

2013-2014
4 ANNEE SECONDAIRE
ANIS BEN ALI
Enoncés des exercices
AL
I
TECHNIQUES ET METHODES
Calcul intégral.
Calcul intégral
Énoncés des exercices de 1 à 4
1)
Calculer les intégrales I, J, K.
BE
N
Enoncé:
I =∫
2x − 3
1
x2 − 3x + 5
0
2)
3)
π
J = ∫ cos3 x sin xdx
−π
K =∫
3
IS
1
AN
4)
dx
10 x − 3
dx
2
5 x − 3x + 8
Soit f la fonction:
3
f : x → 2 ×e
x
4
 
x
(L’unité graphique est 2 cm)
Déterminer l’aire ( L ) du domaine du
plan compris entre la courbe Cf , l’axe
des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4.
CALCUL INTEGRAL
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ANIS BEN ALI
AL
I
Vulgarisation
Pour comprendre
Primitives et calcul intégral
Le calcul intégral
y
Cf
BE
N
A
a
b
x
L’aire du domaine du plan compris entre la courbe (Cf)
représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites
d’équations x = a et x = b, s’écrit :
Se lit:
« L’aire est égale à l’intégrale
de f(x) dx entre les bornes a et b »
(dx étant la notation infinitésimale)
a
2
A = F ( x) a
b
IS
L’aire est égale à la primitive F
de f prise entre les bornes a et b.
( a et b appartenant à I
l’intervalle considéré sur lequel f doit
être continue)
AN
L’aire du domaine du plan
est égale à la primitive de
la borne supérieure moins la
primitive de la borne
inférieure ».
1
A = ∫ f ( x ) dx
b
F étant une primitive de f
sur l’intervalle considéré,
le chapitre consacré à la
recherche d’une ( ou des)
primitive(s) F de f permet de
passer de 1 à 2.
A = F (b) − F ( a )
En unité d’aire (si
on cherche une aire).
Exemple: Si l’unité graphique est 2 cm
sur l’axe des abscisses et 3 cm sur l’axe
des ordonnées , l’unité d’aire est 6 cm2,
par conséquent:
A =  F ( b ) − F ( a )  × 6 cm 2
Les techniques de recherches de primitives F de f , nous permettrons
de poursuivre le calcul intégral et déterminer ainsi l’aire d’un domaine
du plan compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses
et les droites d’équation x = a et x = b (par exemple).
CALCUL INTEGRAL
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« TECHNIQUES ET METHODES »
AL
I
Calcul intégral
Enoncés: Calculer les intégrales I, J, K.
16/ Calcul d’aire.
3)
∫
K =
2x − 3
1
x2 − 3x + 5
0
10 x − 3
dx
5x2 − 3x + 8
3
∫
1
2)
dx
4)
1)
∫
2x − 3
1
x − 3x + 5
2
0
dx
I = 2  12 − 3 + 5 − 0 2 − 0 + 5 


I = 2 
2x − 3
IS
1
1
I = 2 x − 3x + 5

0
∫
a
f ( x )dx =  F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )
b
sur ]0;1[ , ( 2x -3 ) est négatif et
x 2 − 3x + 5
donc le quotient:
Utilisons la propriété du cours:
b
à 10 -3 près
Remarque: Cette intégrale est négative.
dx =  2 x 2 − 3 x + 5 

0
x 2 − 3x + 5
2
3 
Rappel du cours: « L’intégrale d’une
fonction négative est négative »
2x − 3
AN
0
5 
I ≃ − 1, 0 0 8
F : x → 2 x2 − 3x + 5
1
3 −
I = − 2  5 −
x 2 − 3x + 5
est la fonction F définie comme suit
( voir détail de la recherche
de primitive page suivante )
I =∫
 4
3  x
Soit f la fonction: f : x → 2 ×e 
x
Déterminer l’aire ( L )
se lit: « Primitive de la borne supérieure
moins primitive de la borne inférieure »
Une primitive de
x→
0
comprise entre la courbe Cf ,
l’axe des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4.
Voici une solution :
I=
π
J = ∫ cos3 x sin xdx
BE
N
1)
I =
est positif,
2x − 3
x2 − 3x + 5
est négatif, et l’intégrale d’une
fonction négative est négative,
ce qui confirme le signe
du résultat.
CALCUL INTEGRAL
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TECHNIQUES ET METHODES
AL
I
Techniques de recherches de primitives
Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I :
2x − 3
I = ℝ
f ( x) =
2
x − 3x + 5
f (u ) = u
Voici une solution :
2x − 3
f ( x) =
−
1
2
u '
Cette transformation a pour but de « mettre f
sous la forme de notre schéma général
d’intégration » noté ci dessous.
BE
N
x2 − 3x + 5
Technique & Méthode:
En remarquant que le numérateur
est la dérivée du polynôme se trouvant
sous la racine du dénominateur :
Posons :
u n +1
∫u ×u ' = n +1 + k
n
A
u ( x) = x − 3x + 5
2
Puis intégrons ( passage de A à B):
F (u ) =
Remarque: u ne s’annule pas sur R et est
strictement positif car ∆ =9 - 28= -19,
donc u du signe de a, donc positif .
u '( x ) = 2 x − 3
( x ) ' = nx
F (u
n −1
u'
f (u ) =
u
IS
Changeons de
variable, passons
de la variable x à
la variable u,
f devient comme
ci contre, et nous
désirons un
schéma de la
forme ci contre,
Alors utilisons les
propriétés
suivantes:
n
AN
L’expression de f avec la variable u sous
la forme souhaitée est:
f (u ) =
u '
u
1
2
= u
−
1
2
u '
−1
+1
2
u
u1 2
=
+ k =
+ k
−1
1
2
+1
2
F (u ) = 2 × u + k = 2 u + k
u n +1
∫ u ×u ' = n +1 + k
u =u
)
∫
f ( u ) du = ∫ u − 1 2 u '
A
B
1
2
n
1
= a −n
n
a
B
1
2
Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur R sont :
F ( x) = 2 x2 − 3x + 5 + k
Vous pouvez toujours retenir la
formule ci contre, mais dans un
souci d’économie de
mémorisation et aussi de gestion
des calculs, il est bien de retenir
la manière de procéder
précédente.
CALCUL INTEGRAL
∫
u'
=2 u +k
u
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I
« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
Enoncés: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
J =
2)
π
∫ π cos
3
−
x sin xdx
Une puissance paire étant
toujours positive: ( -1 )4 = 1
Voici une solution :
2)
J =
π
∫π
cos 3 x sin xdx
−
BE
N
x → cos 3 x sin x
est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )
1
F : x → − cos 4 x
4
J =
∫ π cos
−
3
f ( x )dx =  F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )
b
−a
f ( t )dt = 0
f ( x ) = cos 3 x sin x
f ( − x ) = cos3 ( − x ) sin ( − x )
sin ( − x ) = − sin x
π
 1

J =  − cos 4 x 
 4
 −π
J = −
Puis:
D’où:
f ( − x ) = cos 3 x × ( − sinx )
f ( − x ) = − cos 3 x sin x
 F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )
f (− x) = − f
b
1
 cos 4 π − cos 4 ( −π ) 
4
1
4
4
J =−
− 1) − ( − 1) 
(

4
J =−
cos x = cos ( − x )
La fonction cosinus étant paire, cosx = cos(-x)
la fonction sinus étant impaire sin(-x)= - sin x
π
1
 c o s 4 x 
−π
4
AN
a
∫
a
étudions la parité de f:
x sin xdx
IS
∫
Remarque et rappel de cours: Si une
fonction f est continue et impaire sur un
intervalle I, symétrique par rapport à
zéro, alors pour tout a de I :
Ici,
Utilisons la propriété du cours:
b
1
1
[1 − 1 ] = − × 0
4
4
J = 0
Une primitive de la fonction :
π
J = −
(x)
Par conséquent f étant impaire et les bornes d’intégration
étant symétriques par rapport à zéro, il est bienvenu
d’appliquer directement la propriété du cours, et par
conséquent de se passer, dans le cas présent, de tout
calcul:
J = 0
CALCUL INTEGRAL
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TECHNIQUES ET METHODES
AL
I
Techniques de recherches de primitives
Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
:
f ( x) = cos3 x sin x
I = ℝ
L’expression de f en fonction de la variable u est:
Voici une solution :
f ( x ) = cos 3 x sin x
f (u ) = u
3
(− u ')
BE
N
Ou encore:
Ici, il s’agit d’une fonction trigonométrique, mais
attention le schéma d’intégration à utiliser est le
schéma « puissance » suivant:
n
∫u ×u'=
Posons :
u est dérivable
Sur ℝ , et :
n +1
u
+k
n +1
F (u ) =
∫
Par
linéarité:
∫k×
f (u ) d u =
3
−
u
'
u
∫
f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
Utilisons le schéma d’intégration de (un) :
sin
IS
u n +1
∫ u × u ' = n +1 + k
n
cos
AN
On reconnaît le schéma
d’intégration général en (un).
F (u ) = − ∫ u ' u 3
Rappel sur les dérivées de
fonctions trigonométriques:
− sin
3
Déterminons la primitive F de f:
u ( x) = cos x
u '( x) = − sin x
−u '( x) = sin x
− cos
f (u ) = − u 'u
u 3 +1
−1 4
F (u ) = −
+k =
u +k
3+1
4
d
d x
Il s’agit d’un moyen mnémotechnique pour
retrouver les schémas des dérivées de fonctions
trigonométriques:
La dérivée d’un sinus donne un cosinus, on
tourne d’un quart de tour dans le sens antitrigonométrique pour dériver (sens horaire) .
Ainsi, la dérivée d’un cosinus donne un
(-sinus), et ainsi de suite.
Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur ℝ sont:
−1
F (x) =
co s 4 x + k
4
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AL
I
« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
Enoncé: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
K =
3)
∫
3
1
10 x − 3
dx
2
5x − 3x + 8
K = ln 2 2 + ln 1 1 − ln1 0
Voici une solution :
K =
∫
1
10 x − 3
dx
5x2 − 3x + 8
10 x − 3
5 x 2 − 3x + 8
est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )
F : x → ln ( 5 x 2 − 3 x + 8 )
K =
∫
3
1
10 x − 3
dx
5x2 − 3x + 8
Utilisons la propriété du cours:
f ( x )dx =  F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )
b
IS
∫
b
a
K = ln ( 5 x 2 − 3 x + 8 ) 
1
b
K = ln ( 5 × 3 − 3× 3 + 8) − ln ( 5 − 3 + 8) 
2
K = ln ( 45 − 9 + 8 ) − ln (10 ) 
K = [ln 44 − ln10 ]
K =  ln ( 4 × 11 ) − ln10 
Est une autre
 22 
K = ln 
 K ≃écriture
1, 4 8 à 10 -2 près.
 5 
Rédaction copie:
Enoncé: Calculer l’intégrale
suivante: K = 3 10 x − 3 dx
∫1 5 x 2 − 3 x + 8
Posons :
u est dérivable
et ne s’annule
pas sur ℝ .
f (u ) =
3
Puis:  F ( x )  = F ( b ) − F ( a )
a
AN
ln xα = α ln x
K = 2ln 2 + ln 11 − ln10
Une primitive de la fonction :
x→
ln ( ab ) = ln a + ln b
Utilisons les
propriétés:
BE
N
3)
3
F (u ) =
∫
2
 u(x) = 5x − 3x + 8

 u '( x ) = 1 0 x − 3
u '
u
et:
f ( u ) du =
F ( x ) = ln
(5 x
2
∫
u'
= ln u
u
∫
u'
= ln u
u
− 3x + 8
)
K =  l n ( 5 x 2 − 3 x + 8 ) 
1
K =  ln ( 45 − 9 + 8 ) − ln (10 ) 
 44 
K = [ ln 4 4 − ln 1 0 ] = ln 

 10 
3
 22 
K = ln 

 5 
CALCUL INTEGRAL
Ou bien :
K = 2 ln 2 + ln 11 − ln10
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TECHNIQUES ET METHODES
AL
I
Techniques de recherches de primitives
Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
f ( x) =
10x − 3
5x2 − 3x + 8
Schéma d’intégration en ln
Voici une solution :
10x − 3
f ( x) = 2
5x − 3x + 8
BE
N
u'
∫ u = ln u + k
En remarquant que le numérateur
est la dérivée du dénominateur :
f (u ) =
Technique & Méthode:
Changement de variable
Posons :
I = ℝ
u ( x) = 5 x 2 − 3x + 8
u est dérivable et ne s’annule pas sur ℝ .
Car ∆ est strictement négatif
= 9 - 160 = -151, donc u toujours
du signe de a, donc positif .
∆
( x ) ' = nx
n
Dérivons u:
n −1
IS
u '( x ) = 10 x − 3
Changeons de variable, passons
de la variable x à la variable u.
f fonction de la variable u devient:
Intégrons:
F (u ) =
∫
f ( u ) du =
F (u ) = ln u + k
∫
u'
= ln u + k
u
( Remarque: La
fonction Ln
est définie
pour tout u
strictement
positif ).
Puis en revenant à la variable x, les
primitives F de f sur R, sont :
F ( x ) = ln 5 x 2 − 3 x + 8 + k
Or on a vu que (5x2-3x+8) est toujours
strictement positif sur R , par conséquent
les primitives F de f sont :
u '
f (u ) =
u
AN
u'
u
Ici, nous sommes en présence
du schéma d’intégration en « ln » :
F ( x ) = ln ( 5 x 2 − 3 x + 8 ) + k
CALCUL INTEGRAL
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« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
 
Soit f la fonction:
 
3
 x
:
→
×
f
x
e
L’unité graphique est 2 cm
2
x
Déterminer l’aire ( L )
comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 1 et x = 4.
4
Enoncé:
4)
 4
Voici une solution :
Une primitive de :
y
Sur [ 1; 4] est la fonction F, définie par:
( voir technique de recherche de
primitive page suivante )
BE
N
Cf
x
x=4
x =1
Notons tout d’abord que pour tout x
de [1;4] , ( 3 / x 2 ) est positif et la fonction
exponentielle étant positive, la fonction
f est positive sur [1;4].
Remarque: Une étude plus approfondie de f
nous permettrait de prouver qu’elle est
décroissante sur cet intervalle. ( la
dérivée de f étant négative sur cet
intervalle). La calculatrice donne le
graphique ci dessus.
IS
L =
∫
1
3
×e
2
x
 4
 
 x
AN
Utilisons la propriété du cours:
∫
b
f ( x )dx =  F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )
b

 −3

L = 
× e
 4
4 

x 
4


 1
Remarque: Il est pratique de mettre en facteur le
coefficient (-3/4), pour aérer les calculs.
 4 
 4 
  
− 3   4 
L =
− e1 
e
4 

dx
La fonction f étant définie et
dérivable sur [1;4] elle est donc
continue et par conséquent
intégrable sur cet intervalle.
4
 
3
F : x → − × e x 
4
a
L’aire du domaine du plan compris
entre la courbe représentative de f
l ’axe des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4 est :
4
3  
f : x → 2 × e x 
x
L =
3
e
4 
4
− e 
u .a
L’unité d’aire est: 2 × 2 cm 2
L = 4 ×
3
 e 4 − e  = 3 e ( e 3 − 1 )
4
cm
2
La calculatrice donne:
L ≃ 155, 64 cm 2
CALCUL INTEGRAL
à 10 -2 cm2 près.
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TECHNIQUES ET METHODES
AL
I
Techniques de recherches de primitives
Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
3
f ( x) = 2 × e
x
4
 
x
 4
 
 x
3
×e
2
x
Le schéma d’intégration en
exponentielle étant le suivant:
−3
−4  −3 
u '( x) = 2 ×  
x  4
4
L’expression de f avec la variable u est:
On désire obtenir une expression
de la forme (u’e u). Remarquons que la
dérivée de (4 / x) ressemble à (3 / x 2).
Technique & Méthode:
u ( x) =
4
x
u est
dérivable
sur ℝ+*.
IS
( x ) ' = nx
AN
n
Intégrons les deux membres de l’équation:
F (u ) =
∫
f ( u ) du =
3
u '× e u
4
3
4
u
u
'
e
∫
Utilisons le schéma d’intégration
en exponentielle:
n −1
u
u
'
u
e
=
e
+ k
∫
−4
x2
F (u ) =
Ou bien directement en utilisant
la dérivée de ( 1 / x ):
'
'
− 1 4  1  = 4 ×  −1  = −4
1
 
 2
2
  = 2
x
x  x
x
 x
∫−
∫ k × f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
F (u ) = −
u '( x ) = −4 x −2
3
u '× e u
4
f (u ) = −
Par linéarité
de l’intégrale:
u ( x) = 4 x −1
u '( x ) =
−3
3
u '(x ) = 2
4
x
Soit:
u
u
'
u
e
=
e
+k
∫
4
x2
Pour retrouver (3/x2), multiplions u’(x) par
(-3), et divisons par (4), l’équation devient:
BE
N
f ( x) =
Dérivons u:
]0 ; + ∞ [
u '( x ) = −
Voici une solution :
Posons :
I =
−3 u
e + k
4
Puis en revenant à la variable x, les
primitives F de f sur ℝ +*. sont:
 4 

x 

3
F (x) = −
× e
4
CALCUL INTEGRAL
+ k