UPEC / DAEU-B – TD 9

UPEC / DAEU-B –TD 12
15 – 05 – 11
TD 13 : Primitives & Intégrales
Objet : calculer des surfaces, des volumes, et l’évolution d’une grandeur y liée par une relation à sa dérivée y ’
[ A ] Primitive comme « anti-dérivée »
Définition et propriétés :
Étant donné une fonction f, on appelle primitive toute fonction F telle que : F ’ = f .
Si C est une constante, on peut remarquer que la fonction G = F + C est encore une primitive de f. Ainsi, il y
a une infinité de primitives d’une fonction f.
Exemple : pour la fonction f telle que : f ( x ) = 2 x, on a comme primitives : F ( x ) = x2 + C, où le nombre C
est une constante (il ne dépend pas de la variable x) dont la valeur n’est pas fixée.
Pour déterminer une primitive, on peut lire à l’envers le tableau des dérivées usuelles.
f
0
1
x
xn
cos x
1 / x2
1/x
ex
1 + tg2x
F
C
x+C
x2/2 + C
xn+1/ (n+1) + C
sin x + C
–1/x
ln x + C
ex + C
tg x + C
1. Déterminer pour les fonctions
suivantes une primitive :
a) f ( x ) = 2 + x + 4 x2.
b ) f ( x ) = x2 – e– x.
c) f ( x ) = 3 sin x – 4 cos x.
2. Déterminer pour les fonctions
suivantes une primitive F qui vérifie la condition : F ( 1 ) = 0 :
a) f ( x ) = 2 x + 3 / x2.
3. Même exercice que le 2. pour :
a) f ( x ) = (x2) . cos x3.
b) f ( x ) = (2 x) ( 1 + x2 )2.
b) f ( x ) = ( 2 x – 1 ) / x
c) f ( x ) = (2 x) / ( 1 + x2 )
c) f ( x ) = ( 2 x2 – 3 x + 4 ) / x.
N.B. : voir ci-contre.
Cas d’une fonction composée :
Rappel : si U est une fonction de x,
alors : (Un ) ’ = U ’ x
même
n Un-1 ,
de
(sin U ) ’ = U ’ x cos U … En tenir
compte dans le calcul des primitives
[ B ] Primitives et surfaces
Aire algébrique entre une courbe et l’axe Ox d’une abscisse a à une abscisse b
Étant donné une fonction f, on note S ( x ) l’aire (≥0 ou ≤0) délimitée entre la
courbe et l’axe des x, de l’abscisse fixe a à une abscisse variable x.
On note aussi l’aire S ( x + h ) où h est un petit accroissement de x.
L’aire située entre les 2 traits pointillés est : S ( x + h ) – S ( x ).
h étant très petit, elle est assimilable à un rectangle de largeur h et hauteur
f ( x ) dont l’aire est donc : h f ( x ).
Le rapport [ S ( x + h ) – S ( x ) ] / h tend vers f ( x ) si h  0.
x
x+h
Cela veut dire que la dérivée S ’ ( x ) est égale à f ( x ), c'est-à-dire que la fonction de cette surface S ( x ) est une
primitive de la fonction f. De plus, cette fonction de surface entre les abscisses a et x doit vérifier : S ( a ) = 0.
Si l’on connaît déjà pour la fonction f une primitive F, alors la surface S ( x ) est égale à : F ( x ) – F ( a ).
b
La surface comprise entre les abscisses a et b est donc : F ( b ) – F ( a ) . Notation intégrale :
Interprétation : le symbole

a f(x) dx .
est une sorte de "S" et il signifie somme. Quant au produit f(x) dx, il représente
l’aire des rectangles de côtés f(x) et dx. La surface apparaît comme un empilement de petits rectangles.
C.Cavarroc – G.Lauton – C.Pohardy
1
4. Exprimer les aires des parties
ombrées ci-contre à l’aide d’une intégrale. Calculer leurs valeurs.
a) avec – 3  x  5 :
d)
b)
c)
Application au mouvement d’un point sur une droite :
O
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
On note x = OM l’abscisse sur un axe rectiligne d’un point mobile M se déplaçant en fonction du temps t :
On écrit : x = f ( t ). On dit que c’est l’équation du mouvement.
Cas particulier : x = v t figure un mouvement uniforme (i.e. à vitesse constante v) avec M en O si t = 0.
Et : x – x0 = v ( t – t0 ) pour un mouvement uniforme tel que M part d’un point M 0 à l’instant t = t0.
Dans le cas général d’un mouvement à vitesse v ( t ) variable en fonction du temps, on montre que
cette vitesse instantanée est la dérivée de l’abscisse x ( t ). Inversement si l’on connaît la vitesse v ( t ),
La mesure algébrique M0M1 = x1 – x0 parcourue entre deux instants t1 et t2 se calcule par une primitive :
x (t )v'( t )
t
x1  x 0   1 v (t) dt
t
0
Exemple : parcours à vitesse constante 60 km/h entre
12 h et 15h du mobile partant de l’abscisse x0 = 10 km :
x1 – 10 = 60 ( t1 – 12 ) = 180 km, d’où : x1 = 190 km
4. Course – Poursuite :
3
Les 2 courbes trapézoïdales ci-contre
2
représentent les vitesses v1( t ) et
v2( t ) de 2 mobiles M1 et M2
1
d’abscisses x1( t ) et x2( t ) effectuant
un mouvement rectiligne sur un axe
Ox d’origine O. Sachant que : x1( 0 ) =
0
1 2 3 4
x2( 0 ) = 0 et que M1 part en premier
 On s’intéresse à la portion du trajet sur laquelle la distance entre
(1 heure avant M2), ils finissent par se les 2 mobiles M et M est inférieure à 1.
1
2
croiser à un instant t0 en un point M0
b) Déterminer entre quel instants t1 et t2 (en heures) et entre
d’abscisse x0.
quelles abscisses x1 et x2 se situe cette portion de trajet.
a) Déterminer t0 et x0.
[ C ] Équations différentielles assez simples
5. Concentration : Un bassin de 100
litres est plein d’eau salée à 10 gr/L. On
ouvre à l’instant zéro un robinet d’eau
douce de débit constant 10 litres/mn.
Une hélice tournante mélange le tout.
De l’eau salée s’échappe par le tropplein. On note C ( t ) la concentration
en sel dans le bassin.
a) En faisant le bilan du sel pendant un
petit intervalle de temps dt, montrer
que le rapport C ’ / C est une constante.
C.Cavarroc – G.Lauton – C.Pohardy
b) Calculer la fonction C ( t ).
b) Dans un air à 20°C, on sort du
c) Après combien de mn a-t-on une four à 20h un gâteau à 180°C. On
relève qu'à 20h10 elle est encore
concentration baissée de moitié ?
de 100°C. À quelle heure peut-on
6. Température : La vitesse de rele servir à la température idéale
froidissement d'un objet est prode 25 °C?
portionnelle à l’écart entre sa température T ( t ) à l'instant t et celle  c) Pour le servir à 22h, on le met à
20h dehors à 0°C. Combien de
(constante) de l'air ambiant :
temps l’y laisser avant de le
T '( t ) = k [ T ( t ) – T0 ]
rentrer pour le servir à 22h à
a) Déterminer la fonction T ( t )
25 °C ?
[ ilemaths.net ].
2