C.Cavarroc – G.Lauton – C.Pohardy
4. Exprimer les aires des parties
ombrées ci-contre à l’aide d’une in-
tégrale. Calculer leurs valeurs.
Application au mouvement d’un point sur une droite :
O
| | | | | | | | | | | | |
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
On note x = OM l’abscisse sur un axe rectiligne d’un point mobile M se déplaçant en fonction du temps t :
On écrit : x = f ( t ). On dit que c’est l’équation du mouvement.
Cas particulier : x = v t figure un mouvement uniforme (i.e. à vitesse constante v) avec M en O si t = 0.
Et : x – x
0
= v ( t – t
0
) pour un mouvement uniforme tel que M part d’un point M
0
à l’instant t = t
0
.
Dans le cas général d’un mouvement à vitesse v ( t ) variable en fonction du temps, on montre que
cette vitesse instantanée est la dérivée de l’abscisse x ( t ). Inversement si l’on connaît la vitesse v ( t ),
La mesure algébrique M
0
M
1
= x
1
– x
0
parcourue entre deux instants t
1
et t
2
se calcule par une primitive :
Exemple : parcours à vitesse constante 60 km/h entre
12 h et 15h du mobile partant de l’abscisse x
0
= 10 km :
x
1
– 10 = 60 ( t
1
– 12 ) = 180 km, d’où : x
1
= 190 km
Les 2 courbes trapézoïdales ci-contre
représentent les vitesses v1( t ) et
v2( t ) de 2 mobiles M1 et M2
d’abscisses x1( t ) et x2( t ) effectuant
un mouvement rectiligne sur un axe
Ox d’origine O. Sachant que : x1( 0 ) =
x2( 0 ) = 0 et que M1 part en premier
(1 heure avant M2), ils finissent par se
croiser à un instant t0 en un point M0
d’abscisse x0.
a) Déterminer t0 et x0.
On s’intéresse à la portion du trajet sur laquelle la distance entre
les 2 mobiles M1 et M2 est inférieure à 1.
b) Déterminer entre quel instants t1 et t2 (en heures) et entre
quelles abscisses x1 et x2 se situe cette portion de trajet.
[ C ] Équations différentielles assez simples
5. Concentration : Un bassin de 100
litres est plein d’eau salée à 10 gr/L. On
ouvre à l’instant zéro un robinet d’eau
douce de débit constant 10 litres/mn.
Une hélice tournante mélange le tout.
De l’eau salée s’échappe par le trop-
plein. On note C ( t ) la concentration
en sel dans le bassin.
a) En faisant le bilan du sel pendant un
petit intervalle de temps dt, montrer
que le rapport C ’ / C est une constante.
b) Calculer la fonction C ( t ).
c) Après combien de mn a-t-on une
concentration baissée de moitié ?
b) Dans un air à 20°C, on sort du
four à 20h un gâteau à 180°C. On
relève qu'à 20h10 elle est encore
de 100°C. À quelle heure peut-on
le servir à la température idéale
de 25 °C?
c) Pour le servir à 22h, on le met à
20h dehors à 0°C. Combien de
temps l’y laisser avant de le
rentrer pour le servir à 22h à
25 °C ? [ ilemaths.net ].
6. Température : La vitesse de re-
froidissement d'un objet est pro-
portionnelle à l’écart entre sa tem-
pérature T ( t ) à l'instant t et celle
(constante) de l'air ambiant :
T '( t ) = k [ T ( t ) – T0 ]
a) Déterminer la fonction T ( t )
1
0
t
t
01 dt(t)vxx)t('v)t(x