Séminaire d’analyse fonctionnelle École Polytechnique D. DACUNHA -C ASTELLE Variables aléatoires échangeables et espaces d’Orlicz Séminaire d’analyse fonctionnelle (Polytechnique) (1974-1975), exp. no 10, p. 1-10. <http://www.numdam.org/item?id=SAF_1974-1975____A9_0> © Séminaire d’analyse fonctionnelle (École Polytechnique), 1974-1975, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire d’analyse fonctionnelle implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ECOLE POLYTECHNIQUE CENTRE LE MATHEMATIQUES 17~ 75230 rue Descartes Paris Cedex 05 S E M I N A I R E MAUREY - S C H W A R T Z 1974 - 1975 VARIABLES ALEATOIRES ECHANGEABLES ET ESPACES D’ORLICZ par D. Exposé N° X DACUNHA-CASTELLE 22 Janvier 1975 X.1 Soit Si Y un sont des 1 ...Y n In ( sur de probabilité, @ variables aléatoires, espace de au dessus de -- on ° définit par de Q. In la loi variables est dite écartable (Un)nE Une suite échangeable) ° on sous-a-algèbre Y1... Yn. Définition : (resp. : une nl’’ n2’ k 2 ..... nk)’ 1 , si pour tout tout tout toutes variables (resp. (nl... 1 , nk)k , nln2 2 ... nk 1 k hy 1 l8-mesurables, a : c-algebre Si S est la triviale, on simplement écartable (resp. échan- dira geable). On suppose définies Soit à partir de maintenant que (01,a1,P1) sur un espace alors S un ultrafiltre non (X n)n E est une ayant la propriété trivial sur suite de variables P suivante :t 1N. L’ensemble de formules déf init des suites de variables et telles que (2) En effet, le théorème de bien a un n sens Kolmogorov à On identifiera dans la suite comme la famille pour espace (c’est-à-dire et il suffit alors projective (X n nE w et de lois N et on de même l’ écriture, on la c-algèbre engendrée par loi). ° d’appliquer 1 h 1 k considérera toujours ( c’ est-à-dire plongé o(X) isonômes d’après (P) treinte à 0.). Enf in, pour simplifier et N sur un P = P2 notera dans pour 0. res- X.2 On dira que - n la suite d’indiscernables construite au-dessus de n ]B 201320132013201320132013201320132013201320132013 . On notera l’ensemble des fonctions continues bornées. On dira que la variable Z Définition : la variable Y si On Lemme 1 : Alors il approche si Comme e est arbitraire, La suite Lemme 2 : X )nE Nest (3) (Un)nE N Pour on a k = 1, pour tout on près, e. a Soit alors k &#x3E; 1 ~ sur ni n2 existemEE, près en probabilité tel que Ilfl1 00 et des indiscernables construits au-dessus de écartable au-dessus de Montrons par récurrence bles, e déduit alors de (2). se n - probabilité,à o(X) mesurables. tout effet, soit On a, en a pour tout h, En 1- &#x3E; approche 6(X), et formée de variables distinctes. k que pour tout ... nk 6(X) mesura- X.3 2 (d’après étroite 1 et la remarque que si le lemme IRn) sur mr sur marginale p m , ’,n ). qu e pMt n alors toute m est telle m’ (pour p - p (et toute la convergence projection de g n - Donc (par hypothèse récurrence) de Comme il résulte de (P) que p(U.i 1- U.) est Proposition 1 : En utilisant Démonstration : on définit et on un définit 0 pour tout échangeable comme tel espace une &#x3E; J variable W sur au i/ j, d’où dessus de précédemment que 0 C: C’ 6(X) h, (Q’,Q’,P’) à partir Y Soit pour tout nl ... nk. par définition de W. mesurables. o(X) mesurable, on a o(X). théorème et Pl formules : pour tout le le lemme 2. de restreinte Kolmogorov, à a soit P de l’ensemble des X.4 On Soit 9 a donc : ipprochant à e Soit probabilité On près en .’ a En faisant tendre vers -, nk-1 (lemme 2) obtient on d’où est e d’où proposition 1 ; la indépendantes nellement de arbitraire, et puisque o-algèbre engendrée par on proche plus rapport à Ml o(X) et q(U), pour tout n1 l ou n,1 des Soit alors Soit a f ixé, (OTa y = Soit V f, 9, pour tout m, ou martingales, (8) on avec vaut aussi y la place de ffi le . n1 n a) . 6 (xn, n une variable peut approcher à m &#x3E; . à , 00 l n1 m&#x3E;n) d’après 6(Um, ~ q(U) = n pour S sont condition- comme ? 00 c. n=l théorème (U n) que les variables voit de par proche en e q(U) près en mesurable. On a probabilité f(V) par m m+K X.5 On a (d’après l’échangeabilité (9) On déduit alors de des Un et (10) en déduit au-dessus de 6(X)). que Donc et par suite 1 Proposition 2 : , on q(U&#x3E; C q(X) et 1) les (U n) sont conditionnellement indépendantes par rapport à q(U), 2) les (U n) sont conditionnellement indépendantes par rapport à q(X) au-dessus de e(X). échangeables tionnellement indépendante par rapport à q(X). En effet, si(Xn)nE:N est échangeable, la double suite est échangeable, Corollaire 1 : Toute suite de variables 2013201320132013201320132013201320132013 n Il JB r1 sont des de variables dist inctes choisies q(X) = ~(U) a parmi les (Xn) n E N et condi- les k-uplets et X.6 On dit Déf inition : tout toutk,, Soit F sur F(O) = l’espace muni de la on (H)F pour &#x3E; &#x3E; par se limitera mesure de xx (c’est-à-dire convexe. Lévyy dM dans une 1 . = par la suite fonction sur C ’0 1 telles équivalente à F LF dP sur X. suivant : cas qu’il existe est telle une au (m) F [X,F], l’espace engendré note suppose F on d’orlicz des fonctions F-sommables définie norme Dans la suite x si pour modère c’est-à-dire une fonction croissante 0, F(~) _ ~ telle que F(x+y) _ C(F(x) + F(y) ) . Dans toutes les On note on s4;ne-invariante a on concernant des espaces de Banach, questions Enfin 1 - 1, k est n n fonction d’Orlicz une w, ’ 1’ suite qu’une 1’00 à F1 Fi, que q au des constantes H-1:a l sens b des fonctions d’Orlicz Les espaces LF Remarquons que et LF 1 sont alors F(x)=x P y 0 p isomorphes. 2 satisfait à cette condi tion, dt , posant Supposons d’abord (sLgne-invariantes) On a : N les variables du, (Xn)nE ,indépendantes et F admettant la et représentation (H-2). N on a en effet si pour x &#x3E; 1 : symétriques X.7 où Supposons Si Or par le théorème f(À) = E F (ÀX), Posons alors On a F’(o) de Fubini. = 0, &#x3E; 0, et remarquons que f est il existe donc une convexe constante a si F l’est. telle que (A signifiant minimum) pour 0 Donc d’où t 1 X.8 Supposons pp 1 a Pour a on (4(x ) ~ E F(Z) Donc si On 1 2a2 EF(Z) 2"’ 2 (p f3 ne dépendant F, pas de la loi de Z) 1. t t01 ~~z (t) &#x3E; o. Choisissons max(c n) tel que petit assez n n c X ) ~ j3, Alors si nulles en 0, définies déduit donc de on t) &#x3E; 0 pour tout y sur (12), qu’il t E(o,l). a LF, il existe 2 fonctions continues 1R+, soit y t telles que Pour tout espace d’Orlicz on que de existe 2 constantes mais pas de la loi des y1 et croissantes, ~2 dépendant de F que d’où Théorème 1 : Si 20132013201320132013201320132013’ et symétriques, n n JBf si F est particulier à F(x) = xp, 5 est une une suite de variables aléatoires fonction d’Orlicz 1p 2, convexe alors il existe une indépendantes satisfaisant (H), en constante À(F) telle X.9 soit [X n ,F] que de la loi des pendante et limitons la Notons fi a nous pour f (u) = E F (u X n) , ou , 0 simplifier échangeables au trace de P sur ~j , et signe-invariantes, F(x) ~ xp. cas la 6-algéb re q(X. _ théorème précédent, il existe p ps pour tout w, f(w) et des constantes ~~, ~2 (indépendantes de w) le d’Orlicz est indé- Xn probabilité donc D’après à If,f maintenant les variables Supposons On Â(F) - isomorphe y une fonction telles que donc Proposition 3 t Si (Xn)n n n E ltV est une suite de variables échangeables et signe invariantes, il existe une application bimesurable (pour q(X) 0 boréliens) .-.-.- - --. ou f(W,.) une fonction d’ Orlicz et des constantes y, y telles que El], un résultat inexact est énoncé. Un espace [X yp] n’est pas, en de [1] est faux (l’ensemble général, un espace d’ Orl icz, le lemme considéré des mesures de Lévy n’est pas dénombrable 1) Dans Depuis que nous nous sommes aperçus de cette Posons alors une plusieurs contre exemples (Bretagnolle, Maurey). peut, par exemple, considérer cas où les lois 4,’D-conditi,onnelles sont toutes des lois stables d’indice 1 q p(w) 2. ont été donnés le erreur fonction décroissante de N. On y 1 et donc - est X.10 Supposons [X n,1J isomorphe à s’envoie sur noter £ . f On la base 6N Notons a = un canonique de l’image 1 espace d’Orlicz d’un espace SN dans On sait aef. f . d’Orlicz, qu’alors £ que l’on peut (X ) nnen n 1V 1’J encore tf. donc, si l’on pose = N, il existe des N constantes telles que C~, C2 f étant modérée est déterminée par equi ’ ’v alence prés et donc implique A effet, notons Choisissons alors par = F- e(N) {m, q p(w) q + En modifiant peu la un espace réflexif isomorphe à un ce ui q c) telle que isomorphe à ~ une croissante,, 1 &#x3E; N1/viog n’est pas équiintégrable donc n’est pas fonction tel que exemple Alors puisque q &#x3E; une la suite sur n’ est pas réflexif. Or pour p bien choisi En à équivaut q xq est réflexif que 1 f valeurs ses un N 1 ’ » n’est pas réflexif, donc espace d’Orlicz. situation, on a le même contre-exemple (la seule condition simple pour que espace d’Orlicz est que Ft soit atomique et pour un [X yl] soit [X n 1] réflexif. ----------..--. BIBLIOGRAPHIE [1] Bretagnolle et Dacunha-Castelle : Formes linéaires aléatoires et espaces d’Orlicz. Ann. ENS 4esérie t2 fas4 1969 p437-480