Diffusions avec branchement et interaction

A NNALES
SCIENTIFIQUES
DE L’U NIVERSITÉ DE
C LERMONT-F ERRAND 2
Série Mathématiques
T H . E ISELE
Diffusions avec branchement et interaction
Annales scientifiques de l’Université de Clermont-Ferrand 2, tome 69, série Mathématiques, no 19 (1981), p. 21-34
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-21-
DIFFUSIONS AVEC BRANCHEMENT ET INTERACTION
TH, EISELE
Universitât Zürich (Suisse)
Ici,
dans
UÎ -
nous
Il
diffusion
traitons les diffusions
s’agit alors
avec
d’une
branchement dans
des interactions entre les
démontrer la
"propriété
tous les théorèmes
sur
la
transformation,
de notre modèle de
[3]
nous
et
restent
~4~ ,
où
Bien sur,
de branchement"
et la
branchement et interaction
g énéralisation
particules.
importants
avec
carme en
valables,
representation
des
n’ avons pas
on ne
[4],
permis
peut plus
mais autrm-ent,
surtout le théorème
martingales
comme
intégrales stochastiques.
Au
contraire, le problème général du contrôle reçoit
plus satisfaisante, parce
configuration,
~4~ .
et
non
que ici le contrôle peut
pas seulement d’une
une
dépendre
forme
de taute la
particule singulière
ccmne en
-22-
I
NOTATIONS
Dans la suite nous utiliserons les notations suivantes.
Soit E
de toutes les
l’éspace
c’est à dire
dans
E est
de
11 espace
N
mesures sur
{0~1 ~2~...}~
=
Prenons sur E la
Comme
d’ ha.bitude,
continues à droite
=
{c~ ~
est la
Ici,
Xt
Soit
~ la
f :
valeurs dans
est
métrisable, par
la
E) l’éspace de fonctions
des limites à
x w>
zéro.
mesure
E.
e,
projection
o-algëbre
avec
0 est la
notons
avec
si
mp
topologie faible, qui
métrique d (e,e’ ) disons,
ù
configurations finies de particules
=
gauche (cadlag)
0 E E, alors
=
et
0 pour tout t > S
de Q à E.
des ensembles
IR est étendue de deux
prévisibles de
façons
en
Q
x
IR + .
Une f onction
des fonctions f et
f+
de E dans
IR par
où y parcourt
Si H est
un
Rp
et
a’
operateur
=
}
1 pour tout a,E: IR.
sur un
ensenble de fonctions
f :1Rp ~
définissons
Ainsi, écrivons plus briévement les intégrales stochastiques
nous
23-
est
une
De plus,
sont les
temps de
énumeration oontinue de
Xr
dans l’ interval
stochastique
posons
sauts pour le processus
Nous faisons les
Xt.
hypothèses suivantes
sur
les fonctions définites
Soit
continue, symétrique
et
soient des fonctions mésurables bornées.
soit mesurable
Posons pour
une
fonction réelle f
avec
sur ERP
-24-
II
PROBLEME DE MARTINGALES
Définition :
Soit H
un
operateur infinitésimal
sur un
ensemble de fonctions
f:IRp -> IR.
Nous di sons
probabilités
rapport à
( i)
sur n est
H pour les
( s, e)
(iii) pour
est
qu’ une famille
2013>
une
(P s,e ) c
solution du
configurations
P S ,e (A)
mesure
problème
de
martingales
par
si
sur
est une f onction mesurable
toutes f du danaine de
de
E
sur IR +
X E pour
H,
martingale p. r. â Mr.
P
s,e
une
s
.
[7],
Résumons les résultats de
proprement modifiés pour
notre
situation de configurations :
Théorème 1
Sous les
de
(Stroock-Varadhan)
hypothèse (H1),
martingales
[3] :
a une
par rapport à L pour les
En utilisant ce
de
il y
théorème,
on
solution
unique du problème
’
configurations
démontre d’ une
f açon analogue
à celle
-25-
Théorème 2 :
Sous
du
solution
une
problème
de
martingales
unique
par rapport à (L
e
+
x
E
K) pour les configurations
sur[R?.
Remarque :
Contrairement aux conditions dans
b,
a,
une
p et
et leurs
entre les
comportements de branchement.
Mais,
comme en
Proposition
~4 ,
[4J,
[5]
et
ici les coefficients
configurations
sur
Xt.
leurs
On
a
alors
mouvements,
Donc, la "propriété de
[4],
n’ est
plus satisfaite.
on a
1
est
Le processus
forte de Feller.
III
et
particules, qui influe
branchenent", qui f igure dans
x
des
o dépendent explicitement
interaction
[3]
De
plus,
un
il y
processus de Hunt,
a une mesure
qui
a
la
de référence X’1
propriété
sur
E pour
TRANSFORMATIONS
Nous allons
étudier,
comment le processus
(Ps e)
se
change,
si
nous
modif ions les coef f icients b and q .
n
Soit alors
(Ps e)
le processus
unique
avec
où K est cxmne dans le
paragraphe
d
b
oûL =L
de
b
générateur (L +K)
avec
1.
le
générateur
Et soit
comme
K-
des fonctions mesurables , bornées
dans 1
(
s,
et
le processus
unique
-26-
On
a
alors la transformation de Girsanov
faisant usage des conventions du
sous
la fornne suivante (en
paragraphe 1).
Théorème 3 :
s,e
est absolument cantinue par
rapport à P s,e
et
où
Démonstration :
sont
Alors
Soit
Ps,e-martingales.
Zt
De plus,
est
égal
on a
Soit
Zt
l’unique
à la fornule du
solution de
théorème.
par la fornule dIt.8 pour
0152If)
s
27-
où
Ça mcntre, que
rapport à
ZdPl,e
(Lb + Kd
L’ intégrabilité
de
est
d’où
Zt,
Notons le processus de
solution du
une
avec
pour t
nous
00,
se
montre
canne
saut, qui appartient à
permet d’écrire
nos
de
martingale
l’unicité du théorème 2.
Sa I~
projection
a
par
prévisible duale ~
~
Ceci
prdblàne
à
rapport
1~°
dans
sur
~
[4] .
notre modèle par
pbpd
s,e
par
est
martingales fondamentales,t
-28-
Une conséquence de l’unicité du
telle
représentation
est
problème de martingales
possible pour
toutes
est que une
s
Théorème 4 :
Soit
(qt)
~L
intégrable.
une
Alors,
martingale par rapport à
..i
il existe
un
[coaodo3’x!l! (R~) - mesurable]
-
processus
]Pb rd
!R~
prévisible
tel que le processus croissant
dr soit localement
et un
de carré localement
intégrable ,
-mesurable
processus prévisible
tel que
soit localement
Camle la démonstration du théorème 4 est
du théorème 2
IV
en
[4],
nous
intégrable ,
parfaitement analogue à celle
l’amettons ici.
UN PROBLEME DE CONTROLE
Sur
un
interval fini
suivant de contrôle :
[0 ,T] ,
T
00,
nous nous
posons le
problème
-29-
Soient a,
Soit U
Sur F
les
p et qK
l’espace
U on
x
quelles
Comme
a
de
contrôle, compact
les fonctions
supposées
sont
ci-dessus,
Alors le
comme dans (Hl).
on met
problème
avec
la
métrique
7r.
mesurables, bornées suivantes,
continues
en
U.
~
est de trouver une fonction mesurable
1
v(t,e)
où
E U,
qui minimise la fonctionnelle
l’espérance
est
s,e
Pour la solution de
et de
[4]
Soit ~’ la
sur F
Si A est
une
soit
nous ne
mesure
mesure À
canne
on a
a
besoin d’une série de définitions
la méthode est -
c~n
grano salis - la
donnons pas de détails ici .
de référence de la
proposition
1.
Nous définissons la
par la condition suivante :
partie
bijective
problème
Mais
propositions.
même comme en
ce
par rapport
sur
mesurable de F, telle que la
A, alors B(A)
=
À’
projection
pr: F
l’ espace
X-essentiellement bcrnées
De
us
(0,s
Jftt ,
notons par
P )
s,e
avec
x
E
.
de Banach L (X) des classes de fcnctions réelles
sur F
2
CR
(pr (A) ) .
00
Nous donnons à
+
la
topologie
(À) ,
L. l’espace de processus optionnels
le
les semai-normes
LI (k)).
(zt>
sur
-30-
loc ’ l’espace
un sous-espa
ce
sous-espace
des
martingales de carré localement intégrable
fermé de
fermé,
de
la
Alors
topologie *-faible
on a canne en
Proposition
.
ardons aussi la
regardons
naus r
2 engendrée
topologie
avec
2
.LIce.
2
dans
est
par les fonctionelles
chaque cocrdonée.
[4]:
2 :
Les fonctions suivantes sont bien définies et continues dans les
topologies indiquées :
Corollaire :
La
fonction
est bien déf inie et semi-ccntinue
inférieurement.
31-
Si nous donnons à
l’espace
la
(1/, 1T À 1)
alors
[4]).
On
en
des
métrique
est un espace
déduit
fonctions À’-mesurables
avec
compact metrisable (voir TheorEm A3 dans
le corollaire:
’
3 :
La fonction
(
est continue.
(ii)
La fonction V
:
V-> e est bien définie et semi-continue
inférieurement.
D’où :
Théorème 5 :
le problème de contrôle (H2)
Pour arriver à
optimal,
an
une
a une
solution
optimale
condition nécessaire et suffisante pour le contrôle
remarque d’ abord, que
L
est
une
égaux
martingale
de carré localement
intégrable,
dcnt les sauts sont
à
Le thêorëme 4 nous fournit d’un processus
tel que Pv
s,e - p.s.
prévisible
gv(t"ylw)
-32-
plus, la representation
De
pour taut i et tout
gv : F
-+ à+,,
x
E) ,
ntontre
qu’ il
a une
fcnxJtian
À-inesurable,,’ telle e
Théorème 6 :
une
points
tout
initiaux
(s,e)C
solution
(se) C
[0, T]
[0,T]
optimale pour le problème (H2)
x
et tous
E, si et seulement si pour À’
presque
x E on a
Démonstration :
1/,
qui
on
est continue
trouve
regardons la fonction,
en u.
w E
(À -) (p 9? (
Alors, par le théorème
tel que
A2 de
U)-mesurable
l’appendice
de
[4]p
-33-
avec
l’égalité k’-presque partout
théorème est satisfaite.
En
appliquant es,e
d’ où suit
on a
On
a
pour t = T,
l’optimalité
de
v*
P
si et seulement si la condition du
- p. s.
s.e
nous
deduisons
pour tout
X’-presque partout l’égalité
(s,,e) ~
ci-dessus.
[0,T]
x
E s i et seulement si
-34-
REFERENCES
[1]
Bismut,
J.M.
Théorie
probabiliste
du contrôle des diffusions.
Mem.Amer.Math. Soc. 163, Providence 1976.
[2]
Bismut,
J.M.
Control of Jump Processes and
Applications.
Bull. Soc. Math. France 106, 25-60 (1978).
[3]
Eisele, Th.
A Non-Linear
[4]
Eisele, Th.
Transformation and Control of
Martingale Problem.
A paraître dans : Proceedings of the Conférence on
Stochastic Differential Equations and Starhastic
Control Theory at Bonn, 1979.
Branching
Diffusions.
(à paraitre).
[5]
[6]
Ikedo, N. ,
Nagasawa,
M. and
Watanabe,
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Stroock,
D.W.
Branching Markov Processes I- III.
J. Math. Kyoto univ. 8, 233-278 and 365-410 (1968) ;
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Diffusion Processes Associated with Levy Generators.
Z. Wahrscheimlichkeits theorie
verw.
Gib.
32, 209-244
(1975) .
[7]
Stroock, D.W. and Diffusion Processes with Continuous Coefficients I, II.
Camm. Pure Appl.Math. 22, 345-400 and 479-530 (1969).
Varadhan, S.R.S.
[8]
Stroock, D.W. and Multidimensional Diffusion Processes.
Gruridlehren d. Math. Wiss. 233, Berlin-HeidelbergVaradhan, S.R.S.
New York, Springer, 1979.