Transformation d`une promesure de probabilité en une

Séminaire Paul Krée
PAUL K RÉE
Transformation d’une promesure de probabilité en une vraie mesure
Séminaire Paul Krée, tome 1 (1974-1975), exp. no 5, p. 1-10
<http://www.numdam.org/item?id=SPK_1974-1975__1__A6_0>
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~
Séminaire Paul KREE
Equations aux dérivées partielles
5-01
dimension infinie
en
1974/75,
année,
1re
n° 5,
10 p.
TRANSFORMATION D’UNE PROMESURE DE PROBABILITÉ
EN UNE VRAIE MESURE
par Paul KRÉE
0. Introduction.
(X, U)
Soit
et soit
R
un
processus linéaire basé
un
X . Soit
(Y , V)
sur
autre
(e, v.)
drique
11
soit t
application faiblement continue de X
contenant l’algèbre de Boole des cylindres
Y
sur
sur
un
dualité
séparant~,
U , définissant une probabilité cylincouple dIe. v. en dualité séparante, et
couple d’espaces vectoriels
réels
5’
Y . Soit
dans
une
en
une
Y. Considérons les
de
tribu
problè-
suivants.
mes
(0.1)
elle
Problème 1 : A quelles conditions
probabilité
vraie
une
X , Y ,
définit-
(Y , S’ ) ?
sur
(0.2)
composé
S’) y l( )
RoLl est-il déProblème 2 : A quelles conditions le processus S
par une variable aléatoire (v, a.) x à valeurs dans l’espace mesurable
=
(y , S’) ?
Naturellement si la variable aléatoire
1,(B.1)
concerne
une
probabilité
de Radon
(Y , 9’) ~
sur
est défini par
une
probabilité
de Radon
sont très
importantso
certaine to-
une
mesure
est
topologique
"décomposante".
,
démontré que le mouvement brownien sur R
d’une mesure, dite
espace
points de vue peuvent être
évoquer ces points de vue en faisant
rappel historique.
a
sur un
De très nombreux
considérés pour leur résolution. Nous allons
WIENER
P
mesurable, L. SCHWARTZ dit que l
est
problèmes
bref
étant
6’
Y, L. SCHWARTZ dit que l est "radonifiante". Le deuxième problème
les processus linéaires. Dans le cas particulier où l’espace probabilisé
Q , et où 03BB
un
une
sur
(0 , 0 ,p)
Ces
définit
B
sur
définit
pologie
alors
~, , cette probabilité étant la loi de B . Le premier problème
les classes d’isonomie de processus linéaires. Dans le cas particulier où
probabilité
concerne
décompose S,
B
de Wiener,
sur
l’espace
peut être défini
à l’aide
des fonctions continues sur R .
probabilités cylindriques, cela signifie que l’injection l de
transforme la probabilité cylindrique gaussienne canonique v sur
dans
c’est la mesure de Wiener.
en une vraie probabilité
J~(~) sur
Suite à une question de GEL’ FAND, SAZANOV et MINLOS ont donné une réponse affirmative au problème 1 dans le cas suivant : X et Y hilbertiens, l de HilbertSchmidt, R continu. Puis ils en déduisent que toute probabilité cylindrique conti-
En termes de
nue sur
le dual d’un espace nucléaire est
une
vraie
probabilité [1].
Cette théorie
5-02
hilbertienne
ne
suffit pas dans les
applications ;
par
exemple, elle
de montrer l’existence de la mesure de Wiener. Léonard GROSS
donnant
réponse
une
(0.1)
de Hilbert
l’espace
sur
à
La considération de
ce
une
permet
pas
théorie
canonique
étant convenable.
espace de Banach, l
particulier est justifiée, vu l’importance considérable
un
canonique, L. GROSS appelle le triplet
cas
de Wiener.
L. SCHWARTZ
donner
un
fait
est la promesure normale
où
cas
étant
Y
X ,
de la promesure normale
triplet
dans le
a
ne
une
a
utilisé la théorie des applications
réponse
affirmative
de
type
Y
est réflexif. L. SCHWARTZ
p > 0, test
au
problème
X
p-sommante,
de Pietsch pour
p-sommantes
1 dans le
cas
où
est
u,
une
promesure
la
propriété d’approximation métrique ,
a aussi affaibli ces hypothèses, et il a prolongé ses
résultats au cas où p
0 . Puis il en déduit une réponse au problème 2 en utilisant un théorème de Prokhorov (voir [7~ exposés 1 et 13). Puis il a étudié de
nombreux cas concrets (applications diagonales entre espaces de suites, injections
a
=
Sobolev)
entre espaces de
donnant des conditions suffisantes pour que ces app-radonifiantes. C’est cette dernière théorie que nous allons
plications soient
évoquer
en
dégageant quelques théorèmes qui
( 1. 3) DÉFINITION. application
une
s’il existe
Ü.3.1)
constante
semblent
importants.
X
deux espaces de Banach,
Y. On dit que
dans
u
p > 0 ,
est
et £
p-sommante
telle que :
~=1
~ X ,
CP
Remarques.
inégalité
pour des
xi
contenus dans
une
partie
X ;
(b) Les applications p-sommantes
(X , y) . L’ inf des constantes
L’application l
(c) Supposons
res
Y
et
(positive finie)
C
Il suffit que l’on ait cette
dense de
Tr
X
Soient
linéaire continue de
V n ,
(l.4)
(a)
une
nous
p-sommantes.
Applications
1.
en
dans
Y
forment
C ~ telles que l’on ait
est
2014> rr
que l’on ait
X
de
une norme sur
quatre espaces de
Ti
(X
un e.
v. ,
(l.3.l)~
, Y) .
Banach et trois
noté
est noté
applications linéai-
continues
ae
Si l
est
p-sommante,
alors
q
o
m
n
y
p .
est aussi
p-sommante,
11 p (q 0 ae 0
En
effet, si
l
IIq 0
D
=
(n
l
~q~p.D.sup 03A3~x*~1 |(mzi,x’)|p .
et l’on
a :
5-03
Or
x’)
m’(x’))
(Zi ’
=
et
D’où
Z
03A3 ~q l m(zi)~p ~q~p.D.~m~p sup~z’~1
(l.5)
(a)
Exemples d’applications
Soit
m
l’espace
pour tout
p-sommantes.
probabilité
de
mesure
une
des fonctions continues
p ~ 1 , l’injection
1 (Zi ’ Z t) 1 P .
de Radon
K , et soit
l’espace compact
K
muni de la
dans
est
sur
de
sur
du
norme
sup. Alors,
p-sommante.
En effet :
1 CPi (Ôt) 1 P
(b) L’opérateur (cy $) :
o/==
...) de
effet , notons
En
la
sur N
mesure
(03B1 .)
le
en
la
m
2014>
est
affectant la
de trois
produit
de
multiplication
p-sommante si
par
donnant la
1
sur N
mesure
20142014>
masse
|03B1n|p)-1
la
masse
au
une
à
suite
chaque point ,
point
n.
On
et
v
décompose
applications ;
lp03BD (03B1 .) aeP
l~ Id l~ Id
(xl,x2...)
n) 1 P .
1 (CPi ’
(xl,x2...)
20142014>
(xl,x2...)
20142014>
applications extrêmes sont continues ; on démontre comme au point (a)
que l’application du milieu est p-sommante. Vu (l.4.c)~ l’application composée est
p-sommante.
Les deux
(c)
Toute
application
factorisation,
continue du Banach
.2..> r
X
où
of
et
suite de
fl
lp , est
Ceci résulte de
p-sommante
(b)
et de
étant
Y
admettant
une
l’opérateur
de
multiplication
par
une
1 .
p
(1.4,c) .
2-sommant. Tout
Schmidt est
si
dans le Banach
-~-L> aeP -É-> y ,
(a .)
sont continues,
X
En
particulier, tout opérateur
opérateur nucléaire
de Hilbert-
entre espaces de Banach, est
1-
sommant. La remarque suivante est essentielle pour l’utilisation des opérateurs psommants pour étudier la transformation linéaire d’une probabilité cylindrique en
une
vraie
(1.6)
probabilité.
Remarque : Soit l
Alors, pour que l
que l’on ait y
(1.6.1)
soit
pour toute
~
f(X ,
X
et
p-sommante, il faut et
sur
mesure positive
Jy jjyf
CP
étant des espaces de Banach.
Y
qu’il existe
support fini,
il suffit
X
sup~03BE~1 +~-~ |t|p
à
d03BE( ) .
C > 0
tel
5-04
effet, soit
En
= 03A3 03BBi 03B4xi ;
LÀ.=l.
03BBi 0 ;
Alors
1 ~y~p dl( ) 1 ~y~p d(03A3i
03B4l(xi) > Ii Ài 1 ~y~p dô,e(xi)
Ài
=
=
z
=
et
1 |t|p dg > > 1 |t|p d(03A3 Ài Ôg(x.»l. >
=
l’inégalité (1.6.1)
On voit donc que
I
/I,e(À~/p
CP
(1.7) THÉORÈME (Existence
sommante,
et
gl £,§u£
la boule unité
(1.7.i)
v
plus, 1’
De
d’une
de
mesure
étant deux espaces de Banach ; soit
Y
sur
Z
sup
1
(g’À;(p
à
xi) lP ,
1 (g ,
l’inégalité ( 1 . 3. 1 ) .
c’est-à-dire à
et
équivalente
est
z
=
=
inf
p > 0 . Alors,
C > 0
,il suffit qu’il existe
B de X’
faible, telle
x
c(1
EX,
et
une
L(X , y) ,
pour ue ae soit pprobabilité ,de Radon
Soit
ae
E
X
m
ue
1 (x , g) lP
(1.7.1),
C , tels que l’on ait
des
Pietsch). -
est
à
égal
IT
p
(£) .
Preuve.
(a)
La condition est suffisante,
II
I
(b)
et
1 1(xi’
e(B)
cherchons
m
des fonctions continues bornées
suite finie d’éléments de
telle suite,
on
nécessaire,
(1.7.1)
vérifiant
X
associe l’élément
II
g) |p dm(03BE)
Pour montrer que la condition est
nous
une
car
sous
SUp
nous
I
1 (xi’ g) |p .
y) ,
e
l’espace
forme d’un élément du dual de
l’espace compact B .
sur
ae
prenons
ae (x. )
tels que tous les
de
suivant 03C6x
Soit
soient
non
nuls. A
une
e(B).
B --> R
Lorsque
r
x
varie,
fonctions forment
ces
est formé de fonctions
convexe
ouvert
C+
I
I
tf;
atteignant
un
un
mmimum
sur
visant
ml
convexe
de
r
e(B).
Ce c8ne
0 , donc il est disjoint du c8ne
formé par les fonctions continues strictement positives
B . Vu le théorème de Hahn-Banach, il existe
sitive
cône
C+
et
par
sa masse,
qui
d’où 1inégalité voulue
est
en
négative
on
obtient
prenant
sur
une
N
=
une mesure
r. Donc
m’est
probabilité
1 .
m’
m
sur
e(B) qui
une mesure
sur
B
sur
est po-
positive.
telle que:
Di-
5-05
( 1.8)
si
COROLLAIRE
1. -
est forcément
Toute application p-sommante
q-sommante
q>p.
effet,
En
vu
l’inégalité
de Hölder,
avec
on a,
r
qjp
=
(l/r)
et
d’où
+
(l/r’)
=
1 ,
.
lu(x) 1
(1.9) COROLLAIRE
plication p-sommante
Pietsch
2
(Théorème
du Banach
la boule unité
sur
c (1
1 1 (x , ç ) 1 P
~
B
1 (x ,
de factorisation de
dans le Banach
X
du dual faible de
Y
Pietsch). - Soit ae
. Soit m la mesure
X . Alors
une
diagramme
on a un
a
de
com-
mutatif
(1.9.1)
~2
est
où j
-
-».
-.
-..
,
-
...
..
où
v
est
où
S
est le sous-espace fermé de
-
l’application
(x , S) ,et
S
Où
u2 est £el,le
k
x
dP(B)
de
l’ injection canonique
... .
-
dans
m
-
03C8x(03BE)
03C8x avec
=
(x , s) ,
engendré
m
-
-
--
qUe
=
u(x)
puor tout
-
>
-
-
.
---.
---
--
--->.
LP(B) .
injection canonique dans
son
par les fonctions
x.
dIapres l’inégalité (1.7.1). Cette même inégalité
montre que
u2’ défini comme indiqué sur le sous-espace de Lp engendré par les
03C8x , est continue à valeurs dans Y ; donc u2 est défini sur S Par prolongement
est défini
Notons que u2(03C8x)
continu.
(1.10)
(a)
Une
On
Remarque.
peut
injection de
finie
(b)
ne
sur
S ,
pas dire que toute
é
en un
dans Lp,
application p-sommante
car on ne
opérateur
continu de
cependant
ple typique d’application p-sommante.
Ce corollaire 2 montre
2. Lemmes
que
sait pas
Lp
dans
en
se
factorise à travers
général prolonger u2’ dé-
Y .
1’injection
de
cf
dans
LP
est 1’exww-
d ’ approximat ion.
(2.11) LEMME. - soit Ri un processus linéaire -de tYP-e (1) , basé SUr ie
dual d’u£ espace de Banach X , et décomposé par une v, a. 03A6i à valeurs dans un
A .
X. ùi suppose que
sous-espace vectoriel Xi d>_ dimension finie de
Alors il existe
une
suite
é
de
vl
a:
étggées
0
-> i.
telle que les
processus
5-06
Rni =
(ç9 , . )
vérifient
Démonstration. - Comme
de
X ,
OE
on a
à valeurs dans
$. est
X) . On
approche
par
03A6i
sous-espace de dimension finie
un
une
étagée 03A6ni
fonction
telle
que
(1 1 w~ On pose
$
$!~/(l +(l/n)) ~
=
et l’on introduit les processus linéaires
(~..)
On
(l/n)) .
et
a
=
et
? !!~~ ~ ~ - (2A)/n .
(2.12)
LEMME. - Soit
X
un
espace de Banach tel que le dual
X’ =U
ait la
propriété d~approximation métrique :
Il existe
famille filtrée
une
d’opérateurs
sup
pour tout
.
£ J. (Il)
Soit
une
R
un
processus linéaire basé
($)
famille filtrée
cessus
:iae
pour tout
=
.)
(03A6l ,
u
de v.
a.
R
de
en
à
un
U. J
étagées
étegées
Alors il existe
tel que
U
-> Ru
processus linéaire
à valeurs dans
X
telles que les pro-
LP.
dans
S.
R
=
étant
décomposée
une
suite
R
par
0
(R?)
J n
aej
une v.
est
a.
représenté
est
o
sous-espace de dimension finie de
résulte que le processus
lemme, il existe
sur
U
de
Démonstration : Le
Ril. J
-> u .
vérifient
R, (u)
à valeurs dans
tels que
1 ,
U
de
u
~lj~
U
de rang fini de
p.J
décomposé
à valeurs dans
par la v.
J
E
J P,
a.
décomposés
et
~Rnj~-Sj~*p
une v. a.
X. En effet, la restriction
de processus linéaires
sup
par
’
xi
aej
0
par des
Vu le
v,
a.
5-07
Il
suffit alors de montrer que , pour tout
selon le filtre imagé du filtre produit
nous
L~
dans
(R~J u) n
convergence de
tend
u
J
sur
N . Ceci résulte de la
x
S. u , cette convergence étant uniforme par
vers
R
vers
rapport
J
à j.
théorème typique.
3. Un
(3.13)
1
R
processus linéaire de
sé par
p
m .
X’
type
a
la
propriété d’approximation métrique. Soit
R
aet est décomposur
X’ . Alors S
=
d’ordre
Y , et
à valeurs dans
p
(3.13) est
Démonstration : On note d’abord que le théorème
par
une v.
étagée
a.
à valeurs dans
À
est alors
S
X :
o
À , et
vu
est dé-
R
évident si
(3.l3.l) résulte de (l.6.l). Dans le cas général,
proximation (2.12)~ il existe un ensemble d’indices l muni
une famille
(R.) de processus linéaires décomposés par des
ae
o
(J
(3.13.1)
composé
Y)
deux espaces de Banach,
Y
basé
p
aléatoire ~
variable
une
et
On suppose que
avec
un
X
THÉORÀEME. - Soient
décomposée
d’ap-
le lemme
F ~ et
d’un filtre
v.
a.
par
étalées 03A6i
avec
Alors les
v.
a..1,.
ae
=
(Ri
2014> Ru
o ~
vérifient
dans
LP (0) .
cS
Elles décrivent donc
(a)
Si
(l.l3.2)
un
filtre
Or les processus
(1.13.3)
S(v)
=
plus
2’
v) =
est
S
I ,
selon
v)
(.If. ,
=
R~(£’
v)
et
de
v
v)
comparant (l.l3.2)
=
V,
Sv
(l.l3.3)~
on
voit que
décomposé par .
(b) Dans le cas où Y n’est pas réflexif, on utilise la factorisation
(l.9.l) pour l’application p-sommante £’. Comme le sous-espace S de
réflexif,
Donc
R
sulte que
on
=
peut appliquer
1
est
Ru’ j’
R
0
£"
=
R
ce
qui
décomposé
0
ui
tel que
faible.
dans
2014>
compacte.
y) ,
dans
et 03C8
F’
est faiblement
sont tels que, pour tout
S.
=
fort. En
dans
(V ’ v) , et
sur
-
o
(S~ ,
F’
fin
V v~=V=Y’ ,
F
Y)
est réflexif, la boule unité de
Y
Donc il existe
suivant
Y) .
borné de
un
est
vient d’être démontré à
par
une v.
décomposé
a.
V2
par la
dP(B)
est
l’application u2 0 j .
à valeurs dans
v. a.
de Pietsch
u
0
S. il
en
ré-
V2 .
(3.14) Applications.
(a)
Un
opérateur
de
Hilbert-Schmidt est
2-sommant,
Un tel
opérateur décompose
5-08
donc tout processus linéaire de la classe d’isonomie de la promesure normale
cano-
nique .
(b)
(3.13) permet
Le théorème
cet effet,
tion
0
mesure
de Wiener. A
introduit :
on
pour tout réel
-
de montrer l’existence de la
l’opérateur
03B1 ,
G
§’(R)
de
de convolution par la distribu-
de T. F.
a
s~)= (i-~r~
[Rappel :
réel,
s
et
est
0
x2)1/p
une
isométrie
l’opérateur
(l
-
la
mesure
probabilité 03C9 sur R
-
un
opérateur
-
de
On
est
G
rappelle que
L~~(R) et que,
I~(R) dans (~(R)
Dans
conditions,
ces
H (l)
e :
telle que
2014>
d’ après
1
avec
L"(R)
le lemme de
cy >
+
x )" ;
t);
[0 , l] ;
==
R .
l’espace des potentiels de
Sobolev, on a une injection continue
sur
1/p .
factorise de la manière suivante
on
dt/’n(l
=
+
des distributions définies sur
isométrie de
une
si
1
(l
par la fonction
multiplication
de restriction à
r
Bessel
de
de
d’extension
l’opérateur
~
+
Hs+03B1(R) ];
2014>
l’injection
..H (j)
de
(~(l) :
dans
~(1)
~>
~(-1/2)~ ~ g(l/2)~~)
H~(I) -~>
>
LP(R) (1+t2)-1/p
G(1/2)-~ Lp,(1/2)-~(R) ~ K0(R)r L0(I).
(1+x2)1/p C°(R)>
Comme la promesure gaussienne
liser(R)
C
dans
l’injection
>
est de
type
~>1 p pourcP(l)tout e
Lp03C9(R)
est
k
H (l)
de
B;
~
p-sommante d’après
un
v. a.
processus
est la
(3.15)
(a)
mesure
1/p
0
une v.
C+
p
a.
peut réa-
on
il résulte que
(3.13),
Vu le théorème
donne, par composition
B~
à valeurs dans
C (l) .
avec
La loi de cette
de Wiener.
Remarque.
injection continue
une
des fonctions holdériennes
d’exposant
p
si
de
L"~(R)
dans
0pl,et
P .
Le raisonnement
si
par
Le lemme de Sobolev donne aussi
l’espace
a >
décomposé
Vu
p-sommante.
tout processus linéaire de la classe d’isonomie de
k’,
p > 0 ,
que 0 (1.4.c),
(l.4.a).
est
dans
pour tout
p
précédent peut
donc être modifié
en
C (l)
remplaçant
par
-.
Le raisonnement d’existence de la
babilités, est plus simple
mesure
de Wiener,
que le raisonnement
classique
en
précédent. L’intérêt
théorie des prode la
présente
5-09
démonstration est qu’elle s’applique à des
(voir [~3~
beaucoup plus généraux
cas
[ 4 J) .4. Un théorème de dualité.
La
figure est la suivante :
...L
Y
Q
..
-R(4.16)
(a)
S
un
un
de
p
V
V
en
qui est
dans
dualité,
décomposé
(Y , p)-sommante
est
S
Y. Alors
dans
Q
de Banach
couple d’espaces
processus linéaire de
d’ordre
-2-
THÉORÈME.
.(Y , V)
Soit
u
et
0
par
une v. a.
Soit
co .
p
À
car
1 (À ( w ) ,
(4..16.1)
=
f
1
dP
~03B (w)~p
(b)
Soit
U
un
tion linéaire
alors
En
ri
1 (11~~:~~ ’
dP(w)
sup
sup~y~
of :
V 2014> U
processus linéaire
avec un
R
composant InapplicaU de cotype p ,
sur
en
(y, p)-soipmante.
est
effet,
C~03B1vi~.
~Svi~=~R(03B1vi)~
En
est obtenu
S
autre espace de Banach. Si
reportant
cette minoration de
(4.l6.l)~
dans
Sv i
on
voit que
cy
est
p-
sommante.
Ce théorème de L. SCHWARTZ est
vante : Soient deux couples
néaires continues
(y
d’espace
re
03B2’
=
sur
théorème
(y *
X
(3.13)
est
que
dualité et deux applications li-
sur
X
JL>
Y
20142014
Q
quelconque
p ,
Exemple : Soient
teur de Hilbert-Schmidt de
exp(- §
décomposée
par
une v.
a.
d’ordre
X
et
X
dans
Par
Y
sur
V , est
une
deux espaces de
Y. Soit
application
R
un
vraie
à valeurs dans
p
(4.16) montre que of est p-sommante. Par
(3.13)~ on peut déduire que l’image par a
plication du théorème
cylindrique B; de type
TF :
en
Supposons que l’on connaisse une probabilité cylindrique particuliède cotype p telle que l’on sache, par exemple en appliquant le
y . Alors le théorème
(4.17)
de Banach
de dualité" pour la raison sui-
et 03B2
~
avec
appelé "théorème
une
nouvelle ap-
d’une
probabilité
probabilité sur U.
Hilbert, et l
processus linéaire
du théorème
(3. 13) ,
S
=
un
sur
opéraX
de
est dé-
5-10
composé
par
une v.
à valeurs dans
a.
Y . Comme
dualité montre que l’1
nouvelle application du théorème (3.13)
p > 0 , le théorème de
Et
une
processus de type
p > 1 ,
avec un
opérateur
cotype p pour tout
est p-sommante pour tout p > 0 .
permet de voir que le composé d’un
R
est de
de Hilbert-Schmidt est
décomposé.
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Paul KREE
Tour Mexico, B. P, 1325
65 rue du Javelot
75645 PARIS CEDEX 13
1969/70. -
Paris,