Le théorème de James

Séminaire Brelot-Choquet-Deny.
Théorie du potentiel
DANIEL S IBONY
Le théorème de James
Séminaire Brelot-Choquet-Deny. Théorie du potentiel, tome 12 (1967-1968), exp. no 4,
p. 1-5
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4-01
Séminaire BRELOT-CHOQUET-DENY
Potentiel)
année, 1967/68, n°
(Théorie
12e
du
11 janvier 1968
4
THÉORÈME
LE
DE JAMES
Daniel SIBONY
On
[2]) .
et
Nous avons,
en
réduisant le
problème
séparable, quelque
raccour-
peu
les
laquelle suivait essentiellement
([4]) ,
ci la démonstration de J. D. PRYCE
au cas
([1]
dù à R. C . JAMES
compacité
de
propose de démontrer le théorème suivant
se
idées de JAMES.
THÉORÈME
C ~ E
un
espace localement compact (e. l. c. )
ensemble faiblement fermé borné. Si toute forme linéaire
sur E , atteint
C),
E
YO
E
1. - Soient
p.
’
159)
suite
une
(zn)
f(z)
polaire
si que
et
k ,
condition
(~)
c
dualité
avec
(f )
c
et suites
F ,
y
convexe
au
notera encore
se
(f ) et
mais
son
projection de E
est séparable, ain-
C1
vérifie
l’hypothè-
03A0(zj) , ~peut
j.
cette
yj
=
La
af-
(i.
e.
(f~) .
replacer dans la situation initiale
(zn)
(f~) , F
fois, on
sous-suite faiblement convergente
z~ ;
une
avec
la
rr
fermé borné
avec
jo
par
F . Soit
(y )
lieu de
et
contient
p
ii existe
topologie quotient,
le
KELLEY
la forme suivante:
engendré
fermé
s’identifie à
avec
), qu’on
o(F ,
E ,
le sous-espace
Dans
Ceci montre qu’on -peut
C
qu’on
ce
Muni de la
est vérifiée
firmer que la suite
pour
F
C =-rr(c) .
de James pour la
se
yeC
f. (z .)
réel > 0 , tei que, POUr .tOUt
complété
son
E’
lim lim
et
E . Le dual de
dans
E/F0 ,
sur
r
c
sous
faible, soient
E’
Dans
=
compact, il existerait (cf.
équicontinue, telles que
utilisera
existent et soient distinctes;
Ii existe
03C6(y)
sup
"
~
"
(fn)
et
C ,
lim lim
(*)
telle y£
n’était pas faiblement
C
Démonstration. - Si
[3J,
est
e,
"
~"
Cf) , continue
est faibiement compact.
C
alOrS
(i.
C
dans
sup
son
et
comlet,
un
vérifiant
(*)
avec. de
plus,
avec
f
=
(E , E’) ,
lim
fn
ble) .
Pour tout
te
n 6
N, , désignons
(p , fonction bornée
sur
par
Kn
C , posons
l’enveloppe
p(a))
=
convexe
sup cp .
de
(fi)in ;
Pour tou-
4-02
L’inégalité ( ~~
(1)
Pour tout
pour j
servira
u
E K1 ’
(~)
n
LEMME 1. - Soit
-
n,
La suite
on a
la forme suivante :
p(u-f)~r;
car
grand.
assez
pour tout
sous
g
(gn)
E
se
K ,
une
--.
suite de nombres réels > 0 . Il existe
m--....-
...
-
(g ) ,
n
9
avec
-
et
construit par récurrence
en
utilisant à chaque
étape
le lemme
suivant.
LEMME 2. - Soient
et
p
un espace
trois nombres réels > 0 ,
i~f
aeÀ
’
alors ii, existe ao
E
A
Pour montrer le lemme
Au rang
F3 = B3n
n,
et
on
applique
A
C
Y
P(U
+
>~)
>
p
oP
une
+
B, BI
P(U) ,
tel que
ly
==P y Q’ ~ fl~
négàlité (1) dé jà établie.
u=0 , p
forme sous-linéaire,
un_ convexe, ,et U E Y . Si
vectoriel,
y
on
et
applique
p
=r.
le lemme
13 t = 03B2n+1 n+11, sachant que
avec
K1
A = K -
n
=
1 , à
du lemme 2 n’est autre que l ’i-
L’hypothèse
On choisit alors
le lemme 2
2, pour
f ,
tel que
u
= l 03B2i (g. - f) ,
4-03
Preuve du lemme 2 . -
L’hypothèse s’écrit
inf
aEA
=
~
Soient
Q
+
03B2’t
a~
E
A
p(u
~a~
+
(à
+ ô
>
0)
E A .
.
de
p,
on a
Donc
Il suffit alors de choisir
tel que
d ~ où lee résultat.
Fin de la démonstration. - Soit
(03B2n) ~ Ô , (0)
telle que
Posons
(g )
où
g
est associée
n’atteint pas
où
Donc
M
est
une
son
à (f3)
sup
sur
constante > 0
par le lemme 1. On
C . Car si elle
telle que
E’ , et on va montrer que
1’atteignait en
Xc E C i on aurait
a
g E
|h( t)| M, ~
t ~C
et f
4-04
D’où
ce
lim
le fait que
qui contredit
=
(ou
f(x~)
lim
fn
f ),
=
et achève la
démonstration du théorème.
la démonstration est valable si
Remar uons que
on
C
suppose seulement que
est
.
donc :
E,
dans
complet
THEOREME 1 bis. - Dans
1.
un e.
C
quasi-complet E, si
c,
est
un
blement fermé borné tel que toute forme linéaire continue y atteigne
alors
On
sur
est f aiblement
C
com act
il
en
F
Donc
Dans
r
vérifie
cette
(x )
que toute suite
est
=
son
envelo e
de
A
ait
un e.
une
importants
fermée.
On voit aisément que
James,
E
Soit
convexe
et
est f aiblement
C
si
quasi-complet E,
c.
enveloppe.
l’hypothèse
THEOREME (EBERLEIN). -
1.
un e.
est de méme de
effet, soit
En
sup,
son
compact.
peut constater que ce théorème entraîtne des résultats classiques
la compacité faible, notamment les théorèmes suivants.
THEOREME (KREIN). -
ensemble fai-
et est
1.
c.
._
compact
cr(E , E’) .
pour
quasi-complet,
et
soit
valeur d’adhérence faible dans
A
=
E
tel
E . Alors
A
faiblement relativement compact.
En
sup ,
effet,
car
si
est nécessairement
A
a
=
sup ?
A
(=
sup
A
borné ;
co) ,
soit
toute
e
x
~
A
E’
cp
=
n
(cp
atteint dans
a -
1 n).
A
La suite
son
xn
a
4-05
une
valeur d’adhérence faible
y
dans
A ,
et
=
a ;
on
conclut donc par le
théorème de James.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
JAMES
(R. C.). -
23, 1964,
[2]
JAMES
p.
Characterization of reflexivity, Studia Math., Warszawa, t.
205-216.
(R. C.). - Weakly compact sets,
Trans. Amer. math.
Soc.,
t.
113, 1964,
p. 129-140.
[3]
D.
KELLEY (J. L.) and NAMIOKA (I.). - Linear topological spaces. - Princeton
in
Series
higher
Van Nostrand Company, 1963 (The University
[4]
PRYCE
Mathematics).
(J. D.). -
Weak
compactness
in
locally compact spaces.
(Texte
remis le 31
janvier 1969)