Radical et primitivité des catégories

C AHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
CATÉGORIQUES
P. Y. L EDUC
Radical et primitivité des catégories
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome
10, no 3 (1968), p. 347-350
<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1968__10_3_347_0>
© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1968, tous droits réservés.
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CAHIERS DE TOPOLOGIE
ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
RADICAL ET PRIMITIVITE DES CATEGORIES
LEDUC
par P. Y.
catégories additives du théorème suivant : Le quotient d’un
radical est produit sous-direct d’anneaux primitifs.
Extension
par
anneau
son
aux
1. I ntrod uct i on .
[ 2]
Dans
existe
on
famille
une
satisfaisant
aux
(eX)XEOb~
objet non-nul
de ? vers Ab,
tout
des foncteurs additifs
1
X , e X ~ 0 et, dans la catégorie
0 et BX sont les seuls sous-objets
8 X ;§
Pour
( P2 )
si
de foncteurs
primitive lorsqu’il
additifs de 9 vers Ab
est
axiomes suivants :
( P 1 ) Pour
de
qu’une catégorie additive 9
dit
eX(x) =
Puis
couple ( X, A ) d’objets de ~
tout
0, alors
1
x
=
0.
que6 si P est une catégorie primitive, il existe
que ’.? s’identifie à une sous-catégorie dense >> de
démontre
on
poÏde» 6 tel
gorie des foncteurs additifs de é vers Ab, ce qui généralise
catégories le théorème de densité de J acobson.
1
On peut alors
catégorie
dans le
est
cas
2. Quelques
se
demander si le concept de radical
lié à celui de
des
catégorie primitive
remarques
la caté-
au cas
[1]
des
d’une
de la «même manière » que
tout
préliminaires.
d’abord que
toutes
supposées petites (sauf, évidemment,
et
un «cor-
anneaux.
Précisons
liens)
x : X -~ A ,
et tout
les
la
catégories considérées seront
catégorie Ab des groupes abé-
additives (bien que l’existence de
requise) .
347
sommes
directes
ne
soit pas
On remarque, pour commencer, que la donnée d’un idéal à
J
catégorie C équivaut
chaque X, (Dx est un
d’une
où, pour
1
covariants additifs
teurs
les) de
de é
sous-foncteur (dans la
vers
Ab
dans [2]
enfin que
et
il
gauche
’x>x e Ob C
catégorie
des fonc-
de leur transformations naturel-
~X ( A ) = M ~ ( X , A ) ri ~
M~ ( X, - ) . En fait,
Rappelons
à la donnée d’une famille
est
pour
chaque A.
démontré que le radical d’une
catégorie C est l’intersection des idéaux à gauche maximaux de C,
idéal à gauche Î de C étant dit maximal lorsque, (cI> X) étant la famille
un
de foncteurs
correspondant,
1°) pour
où £
la relation
est
3 . Construction de
Soit Ï
de C
en
X
tout
un
et tout
foncteur additif S,
sous-foncteur de >>, et
est un
catégories primitives.
gauche de ~ . On définit l’idéal bilatère ~ .’- ~
chaque couple ( X, A ) d’objets de ~ ,
idéal à
posant, pour
On vérifie aussitôt que la famille des
Ob C
dans
que l’on
a
X
Ob
e.
La
En
définit bien
un
1
( X, A ) variant
e,
et, d’autre part,
idéal bilatère de
tou j ours ~ .’- e C Ï .
PROPOSITION
tive
C,
M ~- . ~ ( X, A ),
1.
Soit M
un
idéal à
gauche
~/(~ ; ~)
effet, posons
catégorie quotient
m dans
On définit
un
idéal à
maximal d’une
est
catégorie addi-
primitive.
soit S l’image canonique de
gauche de ? en posant, pour
et
chaque couple ( X, A ),
1
et
on
vérifie que
cet
idéal à
gauche
est
du fait suivant.
348
nul. La conclusion résulte donc
Si
catégorie qui possède un idéal à gauche maximal
~ tel que ~ : ~ soit nul, alors T est primitive, et réciproquement.
En effet, par hypothèse, pour tout couple (X , A) et tout x EMp (X, A),
la condition x Mp ( X , X ~ Ç
M ~ ( X , A ) entraîne x 0 . Posons donc, pour
chaque couple (X, A),
~ ~ ~ ~ ; on voit alors
LEMME.
est
une
=
BX(A)
= M~ (X~ A)/M ~
de foncteurs de 9
( e X )X E O b ~
que la famille
vers
Quant à la condition ( P 1 ) , elle résulte
démontre la réciproque de manière analogue.
tion ( P 2) .
On
A b vérifie la condi -
de la maximalité
de ~ .
4. Produits sous-directs.
catégories, é# un ensemble,
une famille de bijections, et appelons produit au
dont les obj ets sont les
dessus de Ô la sous-catégorie pleine de
l
familles ( A i )i E j telles que l’ application i ~ wi (A i ) soit constante. Pour
chaque j El, désignons par p j la projection canonique du produit audessus de 0 de
sur
t l ~
i
~i)iEt
Ob
( wi : ~i$~ - ‘~ )i E J
Soient (
famille de
une
II ~i
°
produit au-dessus de 6 de
)i E 1 ~ telle que, pour chaque j E I , p~ restreinte à ~ est surjective,
appelée un produit sous-direct de ( ~i)i E 1 au-dessus de ~.
Toute
D E F IN IT 10 N .
( ~i
est
PROPOSITION
2 .
Soit e
(~i)i EI la famille de
direct
sous-catégorie ~
au-dessus de
du
catégorie dont le radical est nul et soit
ses idéaux à gauche maximaux. C est produit sousOb C de la famille des
une
catégoriesj w CI
i E1.
Cela résulte immédiatement du fait que l’intersection des idéaux
Z
+
~
est
Des
nulle, celle
des
propositions
a
1
et
l’ étant
déjà
par
hypothèse.
2 découle le théorème suivant :
catégorie additive C- dont le radical est nul est produit
sous-direct au-dessus de Ob C d’une famille de catégories primitives.
T H E t EM E .
Toute
R E M AR Q u E . Par
grand
des
définition,
idéaux Ï de C
le
radical Ï
tels que l’ on ait
349
d’une
catégorie C
est
le
plus
D’autre part,
rad
e*
pour
voit que
on
tout
FM~ (A,
1
sûr, il
Bien
nombreux
jours
et
M~~(FA,
y â aussi
que ~o
toujours nul et
F : ~ -~ C" vérifiant
foncteur additif
B) =
exemples
rad ( ~ / rad ~ )
un
montrent
que
peut être nul
(A, B) E Ob e
FB),
plus petit
idéal ~ 0
ces
sans
est
x
que
Ob
F (rad ~ ) C
e.
satisfaisant à ( P ), mais de
deux idéaux
ne
coïncident pas
que l’intersection des idéaux
tou-
mi + C
de la
les
pas
proposition 2 ne le soit. On voit donc qu’il est nécessaire, pour avoir
propriétés usuelles des radicaux, de prendre J pour radical, et non
un idéal plus petit.
Références.
[ 1]
G.M.
KELLY.
On the radical
of
a
category, J.
Austral.
Math. Soc.,
4 ( 1964), 299 - 307 .
[ 2]
P. Y.
LEDUC.
Catégories semi-simples
J . Math. 20 ( 1968 ) , 612-628 .
350
et
catégories primitives.
C an.