Séminaire Équations aux dérivées partielles – École Polytechnique S. A LINHAC Une caractérisation des fonctions harmoniques dans un ouvert borné par « certaines propriétés de moyenne » Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1971-1972), exp. no 30, p. 1-10 <http://www.numdam.org/item?id=SEDP_1971-1972____A30_0> © Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (École Polytechnique), 1971-1972, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Équations aux dérivées partielles (http://sedp.cedram.org) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ÉCOLE POLYTECHNIQUE CENTRE DE MATHEMATIQUES 17, RUE DESCARTES PARIS ft V Téléphone : (633) . , SEMINAIRE G 0 U L A 0 U I C - S C H W A R T Z 1971-1972 .. UNE CARACTERISATION DES FONCTIONS HARMONIQUES DANS UN OUVERT BORNE PAR "CERTAINES PROPRIETES DE MOYENNE" par S. ALINHAC Expo sé N° 31 Mai 1972 XXX ! XXX.1 f j i INTRODUCTION 1 t Cet exposé fait suite à celui de M. Brunei [6]. Il présente quelques résultats sur les propriétés de moyenne des,fonctions harmoniques analogues à ceux de [5], que M. Brunel avait expliqués, mais t t obtenus par des méthodes d’analyse classique et d’éqüations aux dérivées l’esprit de [1]), très différentes des méthodes partielles (un de théorie ergodique employées peu dans L’essentiel consiste dans en L2], [3], [4], [5]. l’introduction d’une fonction moyenne" donnée ; cette fonction est solution d’une équation "au-dessus" de l’ouvert hyperbolique singulière dans un ouvert D de n de Rn où f est définie, et ses valeurs sur tout le’bord de l’ouvert D sont connueso Une estimation intégrale met en évidence la "surdétermination" du problème et permet de conclure à l’harmonicité de f. de la fonction f § . 1. L’ESTIMATION INTEGRALE Soient Q un ouvert borné de fonction positive On désigne d’un point de 0, nulle sur sur R~~ de classe bQ. C, par D le domaine de Rn+l «x,t) Rn+l) considère une fonction u E Cl(~) une sont les coordonnées et par S 1 1 ensemble On r &#x3E; E vérifiant XXX.2 Proposition 1 : Avec les hypothèses et les notations’précédentes) a Preuve :: l’intégrale vaut ~n posant sur S? ramenée a , une intégrale sur 0 par on;a la 1 en effet carte on XXX.3 Si Corollaire 1: dans D et = Igrad f(x) 1, a dans n, alors à valeurs réelles, &#x3E; 0, u Õt CL 0 dans D et = f est Pa(u) = 0 harmonique ,° dan s : inférieur ou Si égal à r un, est supposée lipschitzienne de rapport proposition 1 et son corollaire seulement l’estimation de la restent valables. Preuve: r en le Soit prolongement r par 0 hors de Q; on "régularise" posant Jn vérifie aisément que uniformémenit vers presque touit f r, et (grad proposition ,, --+ t -(grad ’ une ( grad en x bande latérale e 1, (ce qui r c a converge lieu pour (x) . intégration par partieg mais cette fois dans le domaine D. limité par 0, une (grad r 9.1 E si rest différentiabl,e On réa1ise alors et de c comme dans la XXX. 4 passant à En grâce au mation théorème la limite dans les intégrales lorsque E - de convergence dominée de Lebesgue, on voulue. / L "° ÏEF MOYENNES A POIDS La fonction 1 peut s’écrire (a) = . u(x,t), "moyenne en volume" de t &#x3E; 0, « un "noyau", distribution de Rn‘ à support volume de la boule unité de , On sait que N,, 3 en tant que distribution 0, avec , t &#x3E; f, définie par aussi est compact obtient llesti- ! j § 0 0, vérifie dépendant du paramètre les conditions de bord façon plus générale, blune e e possédant des propriétés analogues, en on cherchant des "noyaux est conduit à poser de moyenne" XXX.5 On définit ainsi, pour Rep , sur R dépendant y 1) Pour +1, du paramètre vérifie, on t &#x3E; 0 (e, = distribution intégrable aire de la sphère unité dans une par des calculs et les convergences écrites Légalité -., &#x3E; prises élémentaires, au sens que de 1c s 2) Au Pour cours 0, des on calculs obtient, en intégrant par parties, qui permettent d’établir 1), 2 on remarque que pour " (on note Cette relation, N J3 se prolonge donc, t jointe à celle pour t &#x3E; 0 fixé. sur les n, en une 1-’. fournit distribution méromorphe XXX.6 de p, ayant des pôles simples plus, sî p De dérivable ep t et On Théorème 1 : début du prouvé correspondant a J3 deux 0 = fois continuement calculées le en 1). 11 correspond au 0, la distribution noyau de la moyenne en volume paragraphe). -1 à celui de la moyenne p , est pôle, q entier &#x3E; = au un pour : (noté Nt n’est pas points dérivées prolongent celles ses ainsi a aux -p, p entier &#x3E;- 1, s’ils en surface. Les noyaux existent, ont des distribu~’ tions portées par la sphère de rayon t. " 3) Si p cient dans est Inéquation un pôle, 5 = P 2 p -i- n-4- 1 u o&#x3E; -’/2 -1 -q, 0~ est un 2P + n + 1, coeffientier impair négatif. XXX.7 1 Èn intégrant fermé simple entourant la distribution le pôle, on Nt R le long d!un petit contour obtient pour les distributions propriété la q entier &#x3E; 0, ’ 9 1 ~ 1. Les notations sont celles de 1; les hypothèses celles du r sur corollaire 1. f étant donné dans prolongement régulier, p on une Si t &#x3E; une de rayons f en la distribution de S, on dira que f Rne Rn dépendant qu’elle définit, notée u, a propriété de j3-moyenne sur les boules R ..... a la oùR est la carte de 0 en I. un continuement si 1 définie étant . sur r régulière,,et dîstribution de 1 trace assez pose On définit ainsi de t,p Q, déjà sur R XXX.8 Théorème 2 de fi-moyenne 1 proriété, Si : H~(12) , -1, f E harmoniques Li normes la définition de ," f a un la a et si f sens, a propri.été cette 1 dans O. intégrable, Preuve : et les &#x3E; les boules de rayons r" sur f est 13 , et , De plus sont bornées de de t &#x3E; 0.. indépendamment . ~ La distribution u, définie par a ’! " se trouve donc dans On voit semblablement que bution qui coincide distributions) /° et avec §fat U’t (dérivée appartient à 2 n de , définit dans u L2(Rnx R+); par rapport de même R nx R+ a t au ti pour u t car une distri- sens des XXX.9 La de f; on régularité "tangentielle" en conclut u suit immédiatement de celle Il que u . t Soit alors une (f n) suite . et posons de = p de fonctions de La formule (f montre que . Grâce à ce . Appliquons qui a été dit alors à précédemment sur u, l’estimation de I : u p 1 on voit que XXX.10 l’J PPar ar , limitre à la hypothèse hypothese peut général, Theorème 3 a en passant obtient en prouver d’une manière "répartissant" analogue régularité la un entre théorème un peu f et : . . t si f et on . théorème On plus f dans H l’inégalité précédente, dans n H3/2(O); .) de moyenne, , t, propriété l la dP-moyenne, de (3Q &#x3E; - n±1 2 , : alor"1 . t h f est harmonique. 4. 1 it t! 20132013201320132013201320132013 , 1 BIBLIOGRAPHIE _= [1] _=_ J. 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