Nombres complexes Alg`ebre linéaire I — MATH 1057 F L`alg`ebre

Nombres complexes
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 1er avril 2011
L’alg`ebre et les racines
Une pr´eoccupation majeure de l’alg`ebre est de r´esoudre des
´equations.
2x= 1 n’a pas de solution dans les entiers (Z). On a invent´e
les nombres rationnels (Q). La solution est x= 1/2.
x2= 2 n’a pas de solution dans les rationnels (Q). On a
invent´e les nombres r´eels (IR). La solution est x=±√2.
x2+ 1 = 0 n’a pas de solution dans les r´eels (IR). On a
invent´e les nombres complexes (C). La solution est x=±i.
L’unit´e imaginaire
D´efinition
Par d´efinition, l’unit´e imaginaire i est une solution de l’´equation
quadratique
x2+ 1 = 0
ou de fa¸con ´equivalente
x2=−1.
C¸a signifie que
i2=−1.
Comme il n’y a pas de nombre r´eel tel que son carr´e soit un
nombre r´eel n´egatif, ce nombre est imaginaire et on lui attribue le
symbole i.
Le terme ”imaginaire” pour ces valeurs est dˆu `a Ren´e Descartes en
1637.
L’unit´e imaginaire et √−1
L’unit´e imaginaire iest parfois ´ecrit √−1, mais on doit faire bien
attention quand on manipule des ´equations avec des radicaux. On
peut obtenir de faux r´esultats :
−1 = i·i=√−1·√−1 = √−1· −1 = √1 = 1
La r`egle de calcul √a·√b=√a·b
n’est valide que dans le cas de valeurs r´eelles positives de aet de
b. Pour ´eviter de faire de telles erreurs en manipulant les nombres
complexes, on s’interdit de mettre un nombre n´egatif sous un
symbole de racine carr´ee. Cela signifie qu’on n’´ecrit pas
d’expressions comme √−7, mais `a la place on ´ecrit i√7. C’est `a
cela que sert le nombre imaginaire i.

Les nombres complexes (p. 495)
D´efinition
Un nombre complexe z est un nombre de la forme
z=a+bi
o`u a et b sont des nombres r´eels, et i est l’unit´e imaginaire, ayant
la propri´et´e i2=−1.
Le nombre r´eel a est appel´e la partie r´eelle du nombre complexe z
et est not´e Re(z) = a.
Le nombre r´eel b est appel´e la partie imaginaire du nombre
complexe z et est not´e Im(z) = b.
L’ensemble des nombres complexes (p. 495)
L’ensemble de tous les nombres complexes est habituellement
not´e C. L’ensemble des nombres r´eels, IR, peut ˆetre consid´er´e
comme inclus dans Cen ´ecrivant chaque nombre r´eel acomme un
nombre complexe avec une partie imaginaire nulle : a=a+ 0i.
Op´erations sur les nombres complexes (p. 495)
D´efinition
Soient z1=a+bi et z2=c+di deux nombres complexes.
Addition : z1+z2= (a+c) + (b+d)i
Soustraction : z1−z2= (a−c) + (b−d)i.
Multiplication :
z1z2= (a+bi)(c+di) = a(c+di) + bi(c+di)
=ac +adi +bci +bdii =ac +bdi2+ (ad +bc)i
= (ac −bd) + (ad +bc)i
Exemples
Soient les nombres complexes z= 2 −3iet w=−1 + i.
z+w= (2 −3i) + (−1 + i)
= (2 −1) + (−3 + 1)i
= 1 −2i
1
3z=1 3(2 −3i) = 2 3−i
zw = (2 −3i)(−1 + i)
= 2(−1 + i)−3i(−1 + i)
=−2 + 2i+ 3i−3i2
= (−2−3i2) + (2 + 3)i
= 1 + 5i

´
Egalit´e de nombres complexes (p. 495)
D´efinition
Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si leurs
parties r´eelles et leurs parties imaginaires sont ´egales entre elles.
Ainsi, a +bi =c+di si et seulement si a =c et b =d.
Le plan complexe (p. 497)
Puisqu’un nombre complexe z=a+bi
est d´etermin´e de mani`ere unique par
un couple (a,b) de nombres r´eels, il
existe une bijection de l’ensemble des
nombres complexes vers les points du
plan, appel´e alors le plan complexe. Le
nombre complexe zest repr´esent´e par
un point du plan complexe. Les coor-
donn´ees cart´esiennes d’un nombre com-
plexe sont sa partie r´eelle a= Re(z)
et sa partie imaginaire b= Im(z). La
repr´esentation d’un nombre complexe par
ses coordonn´ees cart´esiennes est appel´ee
la forme cart´esienne, la forme rectan-
gulaire ou la forme alg´ebrique de ce
nombre complexe.
a
bz=a+bi
ℜ
ℑ
Nombre complexe conjugu´e (p. 496)
D´efinition
Le nombre complexe conjugu´e du nombre complexe z =a+bi
est d´efini par a −bi, et se note ¯z.
Le nombre complexe conjugu´e ¯z est l’image de z par la sym´etrie
par rapport `a l’axe r´eel.
Th´eor`eme
z1+z2= ¯z1+ ¯z2
z1·z2= ¯z1·¯z2
¯
¯z=z
¯z=z si et seulement si z est r´eel
Module d’un nombre complexe (p. 496)
Le module (ou la valeur absolue) d’un nombre complexe
z=a+bi est
|z|=√z·¯z=pa2+b2
C’est un nombre r´eel (et positif).
Th´eor`eme
On v´erifie imm´ediatement ces propri´et´es importantes du module :
|z|= 0 si et seulement si z = 0,
|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|(in´egalit´e triangulaire)
|z1·z2|=|z1| · |z2|
|z|=|¯z|

Division par un nombre complexe (p. 496)
Soient z1et z2deux nombres complexes. On a
z1
z2
=z1¯z2
z2¯z2
=z1¯z2
|z2|2
En multipliant le d´enominateur par son conjugu´e, il devient r´eel.
On peut alors identifier la partie r´eelle et la partie imaginaire du
quotient.
Exemples
Soient les nombres complexes z= 2 −3iet w=−1 + i.
w
z=−1 + i 2−3i
=−1 + i
2−3i2 + 3i 2 + 3i
=−2 + 2i−3i+ 3i2
4 + 6i−6i−9i2
=−5−i
13
=−5
13 −1 13i.
Racine carr´ee de l’unit´e imaginaire
On peut penser qu’on aura besoin d’inventer un autre ensemble de
nombres imaginaires pour prendre en compte la racine carr´ee de i.
Cependant ce n’est pas n´ecessaire car elle peut s’´ecrire comme l’un
ou l’autre des deux nombres complexes : √i=±1
√2(1 + i). On
peut le prouver ainsi :
±1
√2(1 + i)2
=±1
√22
(1 + i)2
= (±1)21
2(1 + i)(1 + i)
=1
2(1 + 2i+i2)
=1
2+i−1 2
=i
Calcul avec des matrices complexes
Soient A=2−3i5
2i−1 + iet B=1 + i1−i
3i4.
A+B=(2 −3i) + (1 + i) (5) + (1 −i)
(2i) + (3i) (−1 + i) + (4) 
=3−2i6−i
5i3 + i
AB =2−3i5
2i−1 + i 1 + i1−i
3i4
=(2 −3i)(1 + i) + (5)(3i) (2 −3i)(1 −i) + (5)(4)
(2i)(1 + i) + (−1 + i)(3i) (2i)(1 −i) + (−1 + i)(4) 
=2−i+ 3 + 15i2−5i−3 + 20
2i−2−3i−3 2i+ 2 −4 + 4i
=5 + 14i19 −5i
−5−i−2 + 6i

M´ethode de Cramer
Trouvez la solution du syst`eme d’´equations
3x+ (−2 + i)y= 4
(1 + 2i)x−i y = 1
On pose A=3−2 + i
1 + 2i−iet b=4
1. Le d´eterminant de
Aest donn´e par
det(A) = (3)(−i)−(−2 + i)(1 + 2i)
=−3i−(−2−4i+i−2)
=−3i−(−4−3i)
= 4
M´ethode de Cramer (suite)
x=det(A1(b))
det(A)=1 4
4−2 + i
1−i
=1
4((4)(−i)−(−2 + i)(1)) = 1 4(−4i−(−2 + i))
=1
4(2 −5i) = 1 2−5 4i
y=det(A2(b))
det(A)=1 4
3 4
1 + 2i1
=1
4((3)(1) −(4)(1 + 2i)) = 1 4(3 −(4 + 8i))
=1
4(−1−8i) = −1 4−2i.
Matrice conjugu´ee, conjugu´ee transpos´ee et hermitienne
D´efinition
La conjugu´ee d’une matrice A est not´ee A et est obtenue en
prenant le nombre complexe conjugu´e de chaque ´el´ement de la
matrice.
D´efinition
La conjugu´e transpos´ee d’une matrice A est not´ee A∗et est
obtenue en prenant le nombre complexe conjugu´e de chaque
´el´ement de la matrice puis en transposant la matrice. A∗=AT.
D´efinition
La matrice carr´ee A est dite Hermitienne si A∗=A.
Propri´et´es des matrices conjugu´ees transpos´ees
Th´eor`eme
Soient A et B deux matrices avec des ´el´ements complexes et soit z
un nombre complexe.
1. (A+B)∗=A∗+B∗
2. (zA)∗=zA∗
3. (AB)∗=B∗A∗
4. (A∗)∗=A
5. Si A est une matrice carr´ee, alors det(A∗) = det(A)
6. A est inversible si et seulement si A∗est inversible, et dans ce
cas on a (A∗)−1= (A−1)∗.
7. Les valeurs propres de A∗sont les conjugu´es des valeurs
propres de A.