Nombres complexes Algèbre linéaire I --
L’alg`ebre et les racines
Une pr´eoccupation majeure de l’alg`ebre est de r´esoudre des
´equations.
2x= 1 n’a pas de solution dans les entiers (Z). On a invent´e
les nombres rationnels (Q). La solution est x= 1/2.
x2= 2 n’a pas de solution dans les rationnels (Q). On a
invent´e les nombres r´eels (IR). La solution est x=±√2.
x2+ 1 = 0 n’a pas de solution dans les r´eels (IR). On a
invent´e les nombres complexes (C). La solution est x=±i.
L’unit´e imaginaire
D´efinition
Par d´efinition, l’unit´e imaginaire i est une solution de l’´equation
quadratique
x2+ 1 = 0
ou de fa¸con ´equivalente
x2=−1.
C¸a signifie que
i2=−1.
Comme il n’y a pas de nombre r´eel tel que son carr´e soit un
nombre r´eel n´egatif, ce nombre est imaginaire et on lui attribue le
symbole i.
Le terme ”imaginaire” pour ces valeurs est dˆu `a Ren´e Descartes en
1637.
L’unit´e imaginaire et √−1
L’unit´e imaginaire iest parfois ´ecrit √−1, mais on doit faire bien
attention quand on manipule des ´equations avec des radicaux. On
peut obtenir de faux r´esultats :
−1 = i·i=√−1·√−1 = √−1· −1 = √1 = 1
La r`egle de calcul √a·√b=√a·b
n’est valide que dans le cas de valeurs r´eelles positives de aet de
b. Pour ´eviter de faire de telles erreurs en manipulant les nombres
complexes, on s’interdit de mettre un nombre n´egatif sous un
symbole de racine carr´ee. Cela signifie qu’on n’´ecrit pas
d’expressions comme √−7, mais `a la place on ´ecrit i√7. C’est `a
cela que sert le nombre imaginaire i.
Les nombres complexes (p. 495)
D´efinition
Un nombre complexe z est un nombre de la forme
z=a+bi
o`u a et b sont des nombres r´eels, et i est l’unit´e imaginaire, ayant
la propri´et´e i2=−1.
Le nombre r´eel a est appel´e la partie r´eelle du nombre complexe z
et est not´e Re(z) = a.
Le nombre r´eel b est appel´e la partie imaginaire du nombre
complexe z et est not´e Im(z) = b.
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