cours integ rieman

Intégrale des fonctions en escaliers
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégrale de Riemann
Université Mohammed I
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Oujda.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliers
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Plan
1
Intégrale des fonctions en escaliers
Subdivision :
Fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
2
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3
Propriétés de l'intégrale de Riemann
4
Primitives
5
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
Mars 2012
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Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Résponsable du cours
: Pr. NAJIB TSOULI.
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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1
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Subdivision :
Fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
2
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3
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4
Primitives
5
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Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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Plan
1
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Subdivision :
Fonction en escalier
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2
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Primitives
5
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Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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Subdivision
Denition
.
On appelle subdivision de [a, b] toute suite nie
σ = (a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b).
L'ensemble supp σ = {a = x0 , x1 , ..., xn = b} est appelé le support
de la subdivision σ .
On note S[a,b] l'ensemlble des subdivisions de [a, b].
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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Subdivision
Denition
.
1/ On appelle le pas de la subdivision σ le réel
p (σ) = max ([xk +1 − xk ]).
0≤k ≤n
2/ Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b].
On dit que σ est plus ne que σ 0 si supp σ 0 ⊂ supp σ .
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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Subdivision
Remarque
.
S
1/ Soient σ1 , σ2 ∈ S[a,b] , La réunion σ = σ1 σ2 est une
subdivision de [a, b] dont le support est la réunion des supp σ1 et
supp σ2 .
Dans ce cas σ est plus ne que σ1 et σ2 .
2/ La subdivision σ = (xk )0≤k ≤n est régulière si ∀k = 0, 1, .., n − 1
xk +1 − xk =
b−a
.
n
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Fonction en escalier
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Plan
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Fonction en escalier
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2
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4
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Changement de variable
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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Méthode de calcul des intégrales
Denition
.
Soit f une application de [a, b] dans R. On dit que f est une
application en escalier s'il existe :
- Une subdivision σ = (xk )0≤k ≤n de [a, b],
- u0 , u1 , ..., un ∈ R,
tel que ∀k = 0, 1, .., n − 1, ∀t ∈]xk , xk +1 [, f (t ) = uk .
On dit alors que la subdivision σ est adaptée à f .
On note E ([a, b]) l'ensemble des fonctions en escalier dénies sur
[a , b ].
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Fonction en escalier
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Fonction en escalier
Exemple
.
1/ Toute fonction constantes sur [a, b] est une fonction en escalier
sur [a, b].
2/ la fonction caractéristique X[a,b] qui vaut 1 sur [a, b] et 0 en
dehors est une fonction en escalier sur [a, b].
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Subdivision :
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Fonction en escalier
Remarque
.
1/ Toute fonction en escalier est borné.
2/ Si f , g ∈ E ([a, b]) alors f + g , fg , |f |, λf ∈ E ([a, b]) (λ ∈ R).
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Subdivision :
Fonction en escalier
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Plan
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Subdivision :
Fonction en escalier
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2
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Primitives
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Subdivision :
Fonction en escalier
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Intégrale d'une fonction en escalier
Denition
Soient f : [a, b] −→ R une fonction en escalier et σ = {x0 , ..., xn }
une subdivision adaptée.
On suppose que : ∀k ∈ {0, ..., n − 1}, ∀t ∈]xk , xk +1 [, f (t ) = λk .
n −1
X
On appelle intégrale de f le réel I (f ) =
(xk +1 − xk )λk ,
k
=0
R
et on note I (f ) = ab f (t )dt.
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Primitives
Subdivision :
Fonction en escalier
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Intégrale d'une fonction en escalier
Remarque
.
1/ Si f est une fonction constante sur [a, b] et vaut λ , alors
R
f ∈ E ([a, b]) et ab f (x )dx = (b − a)λ.
2/ I (f ) ne dépend pas de la subdivision adaptée à f choisie.
3/ Si f ∈ E ([a, b]) et si f est positive sur [a, b], alors I (f ) ≥ 0.
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Subdivision :
Fonction en escalier
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Intégrale d'une fonction en escalier
Proposition
∀f , g ∈ E ([a, b]) :
1/ si α, β ∈ R alors
I (αf + β g ) = αI (f ) + β I (g ).
2/ Si f ≤ g alors I (f ) ≤ I (g ).
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Primitives
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1
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Fonction en escalier
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2
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3
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4
Primitives
5
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Changement de variable
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Primitives
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Soit B ([a, b]) l'ensemble des fonctions réelles dénies et bornée sur
[a,b].
Soit f ∈ B ([a, b]) il existe M > 0 tel que
∀x ∈ [a, b] : −M ≤ f (x ) ≤ M .
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Proposition
Soient
et
I− (f ) =
I + (f ) =
sup
I (φ)
inf
I (ψ).
φ∈E ([a,b ]),φ≤f
ψ∈E ([a,b ]),ψ≥f
On a I− (f ) ≤ I+ (f ).
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Preuve :
Notons par
A+ (f ) = {I (ψ)/ψ ∈ E ([a, b]), f ≤ ψ}
et
A− (f ) = {I (φ)/φ ∈ E ([a, b]), f ≥ φ}.
Il est clair que
I (M ) = M (b − a) ∈ A+ (f ) et I (−M ) = −M (b − a) ∈ A− (f ).
De plus ∀I (ψ) ∈ A+ (f ), ∀I (φ) ∈ A− (f ) on trouve
−M (b − a) ≤ I (ψ) et I (φ) ≤ M (b − a).
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On en déduit que A+ (f ) (resp.A− (f )) possède donc une borne
inférieure (resp. borne supérieure) notée I+ (f ) (resp. I− (f )).
Ensuite pour toute ψ, φ ∈ E ([a, b)] telle que φ ≤ f ≤ ψ on trouve
I (φ) ≤ I (ψ).
D'où I (ψ) est majorant de A− (f ), il en résulte que I− (f ) ≤ I (ψ).
Cela signie que I− (f ) est un minorant de A+ (f ), d'où
I− (f ) ≤ I+ (f ).
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Primitives
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Denition
Soit f ∈ B ([a, b)]. On dit que f est intégrable au sens de Riemann
si I− (f ) = I+ (f )
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Theorème
(Critère de Riemann) Soit f ∈ B ([a, b)].
f est intégrable au sens de Riemann, si et seulement si,
pour tout > 0 il existe deux fonctions en escalier φ et ψ , telles
que
Z b
φ ≤ f ≤ ψ et
(ψ (x ) − φ (x ))dx < .
a
Preuve :
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Primitives
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On peut donner une version équivalente au Critère de Riemann :
Proposition
Soit f ∈ B ([a, b)].
f est intégrable au sens de Riemann, si et seulement si,
il existe deux suites (φn )n∈N et (ψn )n∈N de fonctions en escalier
telles que :
Z b
∀n ∈ N , φn ≤ f ≤ ψn et lim
(ψn (x ) − φn (x ))dx = 0.
n→+∞ a
Dans ce cas
Z b
a
Z b
Z b
f (x )dx = lim
ψ (x )dx = lim
φ (x )dx .
n→+∞ a n
n→+∞ a n
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Primitives
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Remarque
.
1/ Toute fonction
sens de Riemann.
2/ Toute fonction
sens de Riemann.
3/ Toute fonction
intégrable au sens
dénie et monotone sur [a, b] est intégrable au
dénie et continue sur [a, b] est intégrable au
dénie et continue par morceaux sur [a, b] est
de Riemann.
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Primitives
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Proposition
(Les sommes de Darboux )
Soit f ∈ B ([a, b)]. f est intégrable au sens de Riemann, si et
seulement si, ∀ > 0, il existe une subdivision σ = {x0 , x1 , ..., xn } de
[a, b] telle que
I (ψσ ) − I (φσ ) < avec
ψσ (x ) = Mk et φσ (x ) = mk pour k = 0, ..., n et ∀x ∈]xk , xk +1 [.
où Mk = supx ∈]xk ,xk +1 [ f (x ) et mk = inf x ∈]xk ,xk +1 [ f (x ).
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
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Remarque
(Les sommes de Riemann).
Soient f ∈ B ([a, b)] et σ = {x0 , x1 , ..., xn } une subdivision de [a, b]
telle que pour chaque k = 0, 1, ..., n − 1, on choisit un réel
λk ∈ [xk , xk +1 ].
On appelle somme de Riemann, la somme
Rσ (f ) =
n −1
X
k =0
(xk +1 − xk )f (λk ).
Dans le cas particulier d'une subdivision régulière -ieb−a
), pour tout k ∈ {0, 1, ..., n − 1},
xk = a + k (
n
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
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en posant λk = xk , on obtient
Rn+ (f ) =
et
n −1
b−a X
f (xk )
n
k =0
n−1
n
b−a X
b−a X
f (xk +1 ) =
f (xk ).
Rn (f ) =
n
n
k =0
k =1
−
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Primitives
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Proposition
Soit f une fonction continue sur [a,b], alors
lim R + (f ) = lim Rn− (f ) =
n→+∞ n
n→−∞
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Z b
a
f (x )dx .
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
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Remarque
Si f est une fonction continue sur [a,b], on pose xk = a + k ( b−n a )
pour k ∈ {0, 1, ..., n − 1}. Alors
Z b
n−1
b−a X
)
f (xk ) =
f (x )dx .
lim (
n→+∞ n
a
k =0
En particulier pour a=0 et b=1, nous onbtenons
n−1
1 X
lim ( )
f (xk ) =
n→+∞ n
k =0
Z
1
0
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f (x )dx .
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Primitives
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Exemple
Calculer lim un où un = n
n→+∞
2X
n −1
k =n
1
k2
..
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
1
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Subdivision :
Fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
2
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3
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4
Primitives
5
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Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
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Primitives
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Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Linéarité)
Soient f et g deux fonctions Riemann-intégrables sur [a,b] et
α, β ∈ R alors αf + β g est une fonction Riemann intégrables sur
[a,b] avec
Z b
a
(αf + β g )(x )dx = α
Z b
a
f (x )dx + β
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Z b
a
g (x )dx .
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
Soient f et g deux fonctions Riemann-intégrables sur [a,b].
R
1/ Si f ≥ 0 sur [a,b] alors ab f (x )dx ≥ 0.
R
R
2/ Si f ≥ g sur [a,b] alors ab f (x )dx ≥ ab g (x )dx.
3/ Si f=g sauf en un nombre ni de points alors
Rb
Rb
f
(
x
)
dx
=
a
a g (x )dx.
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque
.
1/
2/
3/
4/
R
Si f=0 sauf en un nombre ni de points alors ab f (x )dx = 0.
R
R
Si f ≤ g sur [a,b] alors ab f (x )dx ≤ ab g (x )dx.
Rb
R
f (x )dx ≥ ab g (x )dx n'implique pas que f ≥ g sur [a,b].
a
Rb
a f (x )dx = 0 n'implique pas que f=0 sur [a,b].
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Primitives
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Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
Si f est une fonctions Riemann-intégrable sur [a,b] alors |f | est une
fonctions Riemann-intégrables sur [a,b] avec
|
Z b
a
f (x )dx | ≤
Z b
a
|f (x )|dx
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque
.
1/ Une fonction f telle que |f | soit Riemann-intégrable sur [a,b]
n'est pas nécessairement Riemann-intégrable sur [a,b].
2/ Si f est Riemann-intégrable sur [a,b] avec
|f (x )| ≤ M , ∀x ∈ [a, b] alors
|
Z b
a
f (x )dx | ≤ (b − a) sup |f (x )| ≤ M (b − a).
a≤x ≤b
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Relation de Chales)
Soit f une fonctions dénie sur [a,b], alors pour tout c ∈ [a, b] :
f est une fonctions Riemann-intégrable sur [a,b] si et seulement si f
est une fonctions Riemann-intégrable sur [a,c] et f est une fonctions
Riemann-intégrable sur [c,b].
On a :
Z b
Z c
Z b
f (x )dx =
f (x )dx +
f (x )dx .
a
a
c
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Primitives
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Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Première formule de la moyenne)
Soit f et g deux fonctions dénies sur [a,b] telles que
i- f soit continue,
ii- g soit Riemann intégrable et de signe constant.
Alors ∃c ∈ [a, b] tel que
Z b
a
f (x )g (x )dx = f (c )
Z b
a
Mars 2012
g (x )dx .
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Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque
.
Soit f une fonction continue sur [a,b]. Alors ∃c ∈ [a, b] tel que
Z b
a
f (x )dx = f (c )(b − a).
Mars 2012
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(deuxième formule de la moyenne)
Soit f et g deux fonctions dénies sur [a,b] telles que
i- f soit continue, positive et décroissante,
ii- g soit continue et de signe constant.
Alors ∃c ∈ [a, b] tel que
Z b
a
f (x )g (x )dx = f (a)
Z c
a
Mars 2012
g (x )dx .
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit f et g deux fonctions dénies et Riemann-intégrables sur [a,b].
Alors les fonctions fg , f 2 et g 2 sont Riemann-intégrables sur [a,b]
et on a :
Z b
Z b
Z b
1
1
2
g 2 (x )dx ) 2 .
|
f (x )g (x )dx | ≤ (
f (x )dx ) 2 (
a
a
a
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Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque
(Inégalité de Minkowski).
Soit f et g deux fonctions dénies et Riemann-intégrables sur [a,b].
Alors les fonctions (f + g )2 , f 2 et g 2 sont Riemann-intégrables sur
[a,b] et on a :
Z b
(
a
2
(f (x ) + g (x )) dx
1
)2
≤(
Z b
a
2
f (x )dx
Mars 2012
1
)2
Z b
+(
a
1
g 2 (x )dx ) 2 .
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Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
1
Intégrale des fonctions en escaliers
Subdivision :
Fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
2
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3
Propriétés de l'intégrale de Riemann
4
Primitives
5
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
Mars 2012
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Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Denition
Soit f une fonction numérique dénie sur [a,b]. On dit qu'une
fonction H : [a, b] −→ R est une primitive de f sur [a,b] si et
seulement si H est dérivable sur [a,b] et pour tout
x ∈ [a, b] H 0 (x ) = f (x ).
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliers
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Remarque
.
1/ G est une primitive de f sur [a,b] si et seulement si
∃λ ∈ R telle que ∀x ∈ [a, b], G (x ) = H (x ) + λ.
2/ Si H est une primitive de f sur [a,b] alors l'ensemble des
primitives de f sur [a,b] est {H + c , c ∈ R}.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliers
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Denition
Soit f une fonction numérique dénie et intégrable au sens de
Riemann sur [a,b]. Pour toutR x ∈ [a, b], on dénit une fonction F
sur [a, b] en posant F (x ) = ax f (t )dt. Cette intégrale est appelée
intégrale indénie de f.
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Primitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Proposition
(Théorème fondamental du calcul intégral)
Soit f une fonction numérique dénie et intégrable au sens de
Riemann sur [a,b]. Si f est continue
R x en x0 ∈ [a, b] alors la fonction
F dénie sur [a,b] par F (x ) = a f (t )dt est une primitive de f sur
[a,b], et on a F 0 (x0 ) = f (x0 ).
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Primitives
Remarque
.
Cettte fonction F est l'unique primitive de f sur [a,b] telle que
F (a ) = 0 .
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Corollaire
.
1/ Toute fonction continue sur [a,b] admet une primitive dans cette
intervalle.
2/ Pour toute primitive H de f dans [a,b], on a :
Z b
a
f (x )dx = H (b) − H (a).
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Primitives
3/ Si f est de classe C 1 alors
Z b
a
f 0 (x )dx = f (b) − f (a).
R
4/ Soit f une fonction continue sur [a,b], positive et ab f (x )dx = 0
alors f = 0 sur [a,b].
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Primitives
5/ Soient f une fonction continue sur [a,b], u et v deux fonctions de
classe C 1 sur un intervalle J telles que u (J ) ⊂ [a, b] et
v (J ) ⊂ [a, b].
R
Alors la fonction G dénie par G (x ) = uv((xx)) f (t )dt est de classe C 1
sur J, et sa dérivée est
G 0 (x ) = v 0 (x )f (v (x )) − u 0 (x )f (u (x )).
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Primitives
Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
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1
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Subdivision :
Fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
2
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4
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5
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Changement de variable
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Plan
1
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Intégration par partie
Changement de variable
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Intégration par partie
Proposition
Soient u et v deux fonctions numériques de classe C 1 dénies sur
[a,b]. Alors
Z b
a
u (x )v (x )dx = [u (x )v (x )]ba −
0
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Z b
a
u (x )v 0 (x )dx .
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Intégration par partie
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Intégration par partie
Remarque
(Formule de Taylor avec reste intégral)
Soit f une fonction de C n+1 sur [a,b], la formule de Taylor avec
reste intégral est
f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a)
Rb
n
n
2
+ (b−2!a) f (2) (a) + ... + (b−n!a) f (n) (a) + a (b−n!x ) f (n+1) (x )dx .
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Intégration par partie
Exemple
. Rπ
π
Rπ
1/ 04 arctan xdx = [x arctan x ]04 − 21 04
π
[x arctan x ]04 −
π
1
2 4
2 [log(1 + x )]0 .
2x
1+x 2 dx
=
R
2/ Calculer par récurrence In (x ) = 0x (a2 +dtt 2 )n , avec a 6= 0 et n 6= 0
2nIn+1 =
1
x
[
+ (2n − 1)In (x )].
a2 (a2 + x 2 )n
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Primitives
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Changement de variable
Proposition
Soit f une fonction dénie et continue sur [a,b].
Soit φ une fonction de clesse C 1 sur [α, β] tel que
φ([α, β]) = [a, b]. Alors
Z
φ(β)
φ(α)
f (x )dx =
Z b
a
f (φ(t ))φ0 (t )dt .
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Changement de variable
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Changement de variable
Remarque
.
1/ Si la fonction φ est monotone sur [α, β] alors l'image par φ est
[a, b] (resp.[b,a]) si φ est croissante (resp.décroissante).
2/ Si la fonction φ est bijective sur [α, β] alors α = φ−1 (a) et
β = φ−1 (b).
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Intégration par partie
Changement de variable
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Méthode de calcul des intégrales
Changement de variable
3/ Soit f une fonction RRiemann-intégrable sur [-a,a] :
a f (x )dx = 0,
- si f est impaire alors
R a −a
R
- si f est paire alors −a f (x )dx = 2 0a f (x )dx .
4/ Si f est une fonction périodique de période T et
Riemann-intégrable sur tout intervalle fermé et borné de R. Alors
pour tout a ∈ R :
Z a +T
a
f (x )dx =
Z T
0
f (x )dx .
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Primitives
Intégration par partie
Changement de variable
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Subdivision :
Fonction en escalier
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2
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3
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4
Primitives
5
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Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
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Primitives
Intégration par partie
Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
Méthode de calcul des intégrales
Complément sur le calcul des primitives
cosp x sinq xdx avec p , q ∈ N
il se présente trois cas :
Primitive de
1
2
3
R
:
si p est impair on pose t = cos x donc dt = − sin xdx .
si q est impair on pose t = sin x donc dt = cos xdx .
si
R p et q 4sont pair,
R on linéarise : par exemple
1
cos(x ) dx = 8 [cos(4x ) + 4 cos(2x ) + 3]dx .
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Changement de variable
Complément sur le calcul des primitives
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Complément sur le calcul des primitives
P (x ) exp axdx où P est un polynôme :
Il est préférable d'utiliser une méthode de coécients indéterminés
et de chercher une primitve de la forme Q (x ) exp ax avec degré de
Q est égale au degré de P.
On remarque que si le degré de P est petit, on peut utliser des
intégrations par parties autant de fois que le degré de P.
Primitive de
R
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Intégration par partie
Changement de variable
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Complément sur le calcul des primitives
dx
ax 2 +bx +c où a 6= 0 :
Soit ∆ = b2 − 4ac , il se présente trois cas :
1er cas
Si ∆ = 0 alors ax 2 + bx + c = a(x + 2ba )2 ,
et on pose t = x + 2ba , ainsi
Z
Z
dx
1 dt
2
=
+ c.
=−
2
2
ax + bx + c
a
t
2ax + b
Primitive de
R
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Complément sur le calcul des primitives
2eme cas
Si ∆ < 0 alors ax 2 + bx √
+ c = a[(x + 2ba )2 + −∆
4a2 ], parsuite si on
−∆
b
pose t = x + 2a et α = 2a alors
ax 2 + bx + c = a(t 2 + α2 )
et
Z
dx
1
=
2
ax + bx + c
a
Z
t2
dt
+ α2
=
1
aα
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2ax + b
Arctg ( √
) + C.
−∆
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Complément sur le calcul des primitives
3eme cas
Si ∆ > 0 alors ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) où x1 et x2 sont
les racines de ax 2 + bx + c .
Ainsi
Z
dx
1
= [
2
ax + bx + c
a
Z
A
x − x1
dx +
où A et B sont des constantes à déterminer.
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Z
B
x − x2
dx ]
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Complément sur le calcul des primitives
Primitive des fractions rationnelles :
La méthode générale consiste à décomposer la fraction rationnelle
en éléments simples, puis le calcul se ramène à des primitives de :
la partie principale (si elle existe) qui est un polynôme.
éléménts simples de première espèce de la forme (x −Aa)n où
A ∈ R et n ∈ N ∗ .
+B
éléménts simples de deuxième espèce de la forme (ax 2Ax
+bx +c )n
où A, B ∈ R et n ∈ N ∗ .
1
2
3
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Primitive des fractions rationnelles en
1
2
3
cos x etsin x (Régles
de Bioche
Si le terme diérentiel f(x)dx est invariant lorsqu'on remplace x
par -x (-ie- f(-x)d(-x)=f(x)dx), dans ce cas on pose t = cosx .
Si le terme diérentiel f(x)dx est invariant lorsqu'on remplace
x par (π − x ) (-ie- f (π − x )d (π − x ) = f (x )dx ), dans ce cas
on pose t = sinx .
Si aucune de ces invariances n'est vériée, dans ce cas on pose
t = tg ( x2 ), en utilisant les relations
sinx =
2t
1 + t2
, cosx =
1 − t2
2t
, tgx =
1 + t2
1 − t2
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exp x ,cosh x et sinh x :
On peut utiliser le changement de variable t = th x2 et on utilise les
relations suivantes :
Primitive des fraction rationnelles en
shx =
2t
1−t
, chx =
2
1 + t2
2t
, thx =
.
2
1−t
1 + t2
On peut utiliser également le changement de varible t = exp x pour
se ramener à une fraction rationnelle en t.
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dx
ax 2 +bx +c :
2
On a ax 2 + bx + c = a[(x + 2ba )2 + −∆
4a2 ] où ∆ = b − 4ac . En
b
posant t = (x + 2a ), il se présente trois cas possible :
Intégrales Abéliennes de la forme
R
√
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1
2
t ) + C , β 6= 0.
√ dt
= Argsh( |β|
t 2 +β 2
R
t ) + C , β 6= 0.
√ dt
= Argsin( |β|
−t 2 +β 2
R
3
Z
Argch( βt ) + C
p
={
log |t + t 2 − β 2 | + C
t 2 − β2
dt
p
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si t > |β|
si t < −|β|.