Vingt-deuxieme programme de colle - PCSI-2

Programme de colle numéro 22.
Semaine du mardi 2 mai 2017 au vendredi 5 mai 2017.
I.Espaces probabilisés finis.
Voir le précédent programme.
II. Conditionnement-Indépendance(univers fini).
1. Probabilité conditionnelle.
2. Formule des probabilités composées
3. Formule des probabilités totales.
4. Formule de Bayes.
5. Indépendance.
1) Indépendance de deux événements .
2) Indépendance d’une famille finie d’événements :
a) événements mutuellement indépendants ;
b) événements deux à deux indépendants.
Pour ce chapitre les idées des démonstrations doivent être connues des élèves afin de pouvoir les
restituer dans les exercices.
Les élèves peuvent exploiter un arbre de probabilités mais celui-ci ne peut remplacer
raisonnements,justifications….
III. Intégration.
[a,b] est un segment inclus dans ℝ et les fonctions sont à valeurs réelles.
1. Subdivision d’un segment.
2. Fonctions en escalier .
1) Définition et propriétés .
2) Intégrale d’une fonction en escalier : définition et propriétés.
3. Intégrale d’une fonction continue sur [a,b].
1) Approximation et encadrement d’une fonction continue par des fonctions
en escalier(admis).
2) Définition de l’intégrale d’une fonction continue comme borne supérieure
de l’ensemble des intégrales des fonctions en escalier minorant f et borne inférieure de
l’ensemble des intégrales des fonctions en escalier majorant f.
3) a) Existence d’une suite de fonctions en escalier ( n ) vérifiant la propriété
x  [a, b], f ( x)   n ( x)  un où la suite (u n ) converge vers 0.
b) Pour toute suite de fonctions en escalier vérifiant la propriété précédente, la suite


  n  converge vers f .

  
[ a ,b ]
 [ a ,b ] 
4) a) Propriétés :linéarité,relation de Chasles,positivité,croissance et
[a, b] f  [a, b] f .
b) Définition de la valeur moyenne de f sur [a,b].
5) Notation
b
a f (t )dt pour une fonction continue sur un intervalle inclus dans ℝ.
6) Une fonction continue et à valeurs positives sur [a,b] est nulle si et seulement si son
intégrale sur [a,b] est nulle. (Cours)
4. Sommes de Riemann.
1) Définition pour une fonction continue sur [a,b] : Rn ( f ) 
b  a n 1 
ba
f a  k
.

n k 0 
n 
2) Pour une fonction f continue sur [a,b],la limite de Rn ( f ) est
b
a f (t )dt (résultat admis,
démontré pour une fonction de classe C 1 sur [a,b] (Cours).
N.B. Vous noterez dans ce chapitre les changements de programme et le fait que les fonctions
continues par morceaux sur [a,b],l’inégalité de la moyenne et celle de Cauchy-Schwarz sont
hors progamme .Privilégiez les exercices sur les propriétés de l’intégrale pour une fonction continue
sur [a,b].