Fonctions intégrables

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Généralités
* On notera 𝓔 l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b]
* I(φ) est la somme des aires des rectangles déterminés par φ (fonction en escalier)
Définition – Fonction Riemann-intégrable
On dit qu’une fonction est Riemann-intégrable sur un segment [a,b] s’il existe deux fonctions en escalier sur [a,b] dont les
intégrales sont arbitrairement voisines :
∀ ε > 0, ∃ φ ∈ 𝓔, ∃ ψ ∈ 𝓔, φ ≤ f ≤ ψ et I(ψ)-I(φ) < ε
* Les fonctions en escalier sur [a,b] sont donc intégrables selon Riemann sur [a,b].
Théorème
Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Propriétés – Linéarité
Si f et g sont intégrables selon Riemann sur [a,b] alors :
b
b
b
∫ [f(x)dx + g(x)dx] = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
a
a
b
b
a
∫ λf(x)dx = λ ∫ f(x)dx (λ ∈ ℝ)
a
Si f ≥ 0 sur [a,b] alors
Si f ≥ g sur [a,b] alors
b
∫a f(x)dx
b
∫a f(x)dx
a
≥0
b
≥ ∫a g(x)dx
Théorème – Monotonie
b
b
Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b]. Si pour tout x ∈ [a,b], f(x) ≤ g(x), alors ∫a f(x)dx ≤ ∫a g(x)dx
Relation de Chasles
Si c ∈ [a,b] alors f est intégrable sur [a,c] et [c,b] et
b
c
b
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
a
a
c
* Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Inégalité de Schwarz
b
b
b
b
2
b
b
|∫a f(x)g(x)dx | ≤ √∫a f 2 (x)dx ∫a g 2 (x)dx ou (∫a f(x)g(x)dx ) ≤ ∫a f 2 (x)dx ∫a g 2 (x)dx
* L’égalité est obtenue lorsque ∀ x ∈ [a,b] f(x) + λg(x) = 0 (f et g proportionnelles)
Théorème de la moyenne
Si f et g sont continues sur [a,b], et si g garde un signe constant, il existe c ∈ [a,b] tel que
b
b
∫ f(x)g(x)dx = f(c) ∫ g(x)dx
a
a
Théorème
Si f est continue sur [a,b], il existe c ∈ [a,b] tel que
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b
1
∫ f(x)dx
b−a a
= f(c)
Analyse – Fonctions intégrables | 1
Primitive et intégrale
Définition – Intégrale
b
Si f est intégrable sur [a,b], le nombre réel ∫a f(x)dx est appelé intégrale de f sur [a,b]
Définition – Primitive
Si f est une fonction de [a,b] dans ℝ, on appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur ]a, b[ telle que F’ = f
Théorème fondamental de l’analyse
Soit F une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a, b[. On note f sa dérivée. Si la fonction f est intégrable sur [a, b] alors
b
∫a f(x)dx = F(b) − F(a)
Théorème
x
Toute fonction continue f de [a,b] dans ℝ admet une primitive F, définie pour tout x ∈ [a,b] par F(x) = ∫a f(x)dx
Les autres primitives sont de la forme x ⟼ F(x) + C où C est une constante
x
F(x) = ∫a f(x)dx est l’unique primitive de f nulle en a
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Théorème de Taylor-Young
Formule de Taylor avec reste intégral
(ou reste de Laplace)
Soit f une fonction de classe 𝒞n+1 sur un intervalle I. Soient x et x0 des points de I. Alors
x (n+1) (x
f
− t)
(x − x0 )n dt
f(x) = Pn (x) + ∫
n!
x0
où Pn (x) = ∑nk=0
f(k) (x0 )
k!
(x − x0 )k = f(x0 ) +
f′(x0 )
1!
(x − x0 ) +
f′′ (x0 )
1!
(x − x0 )2 + ⋯ +
fn (x0 )
n!
(x − x0 )n
Pn (x) est un polynôme de Taylor ou une approximation de Taylor d’ordre n
x (x−t)n n+1
(t)dt
f
n!
0
Et R n (x) = ∫x
est le reste intégral d’ordre n
* En x0 = 0 on retrouve la formule de Taylor-Mac Laurin
* Cette formule généralise le théorème fondamental de l’analyse que l’on retrouve pour n = 0
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction dérivable sur I jusqu’à l’ordre n. Alors la fonction 𝜀 définie au voisinage de 0 par :
𝑓(x0 + ℎ) = 𝑓(x0 ) + ℎ𝑓 ′ (x0 ) + ⋯ +
ℎ𝑛 (n)
f (x0 )
n!
Ce qui revient à (x0 + ℎ) = 𝑓(x0 ) + ℎ𝑓
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′ (x
0)
+ ℎ𝑛 𝜀(ℎ) est telle que lim 𝜀(ℎ) = 0
+⋯+
ℎ→0
ℎ𝑛 (n)
f (x0 )
n!
𝑛
+ 𝑜(ℎ )
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Sommes de Riemann
Valeur moyenne d’une fonction intégrable
On appelle valeur moyenne d’une fonction intégrable sur [a,b] le réel :
n
b
1
1
b−a
μ=
∫ f(x)dx = lim ∑ f(a + k
)
n→+∞ n
b−a a
n
k=1
Définition
Soit f : [a,b] ⟶ ℝ une fonction partout définie sur le segment [a,b]. On considère n ∈ ℕ* et une subdivision régulière de [a,b]
xk = a + k
b−a
n
avec 0 ≤ k ≤ n.
La somme de Riemann associée à f est :
Sn =
b−a
n
∑nk=1 f (a + k
b−a
n
) = ∑nk=1(xk − xk−1 )f(xk )
b
Si f est intégrable au sens de Riemann lim Sn = ∫a f(t)dt
n→+∞
Exemple
Un = ∑nk=1
n
n2 +k2
1
1
n
1+ 2
n
= ∑nk=1
k2
On a donc une somme de Riemann pour la fonction continue sur [0, 1] définie par f =
Donc
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Un
converge
vers
1
1+x2
1
∫0 f(x)dx
1
= ∫0
1
1+x2
dx = [arctan x]10 =
π
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Analyse – Fonctions intégrables | 4
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Analyse – Fonctions intégrables | 5