Fonctions intégrables

20/04/2017 Analyse – Fonctions intégrables | 1
 Fonctions intégrables 
Généralités
* On notera  l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b]
* I(φ) est la somme des aires des rectangles déterminés par φ (fonction en escalier)
Définition – Fonction Riemann-intégrable
On dit qu’une fonction est Riemann-intégrable sur un segment [a,b] s’il existe deux fonctions en escalier sur [a,b] dont les
intégrales sont arbitrairement voisines :
 ε > 0,  φ  ,  ψ  , φ ≤ f ≤ ψ et I(ψ)-I(φ) < ε
* Les fonctions en escalier sur [a,b] sont donc intégrables selon Riemann sur [a,b].
Théorème
Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Propriétés – Linéarité
Si f et g sont intégrables selon Riemann sur [a,b] alors :
Si f ≥ 0 sur [a,b] alors   
Si f ≥ g sur [a,b] alors  
Théorème – Monotonie
Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b]. Si pour tout x [a,b], f(x)  g(x), alors   
Relation de Chasles
Si c  [a,b] alors f est intégrable sur [a,c] et [c,b] et
* Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Inégalité de Schwarz
 ou 
* L’égalité est obtenue lorsque  x  [a,b] f(x) + λg(x) = 0 (f et g proportionnelles)
Théorème de la moyenne
Si f et g sont continues sur [a,b], et si g garde un signe constant, il existe c  [a,b] tel que
Théorème
Si f est continue sur [a,b], il existe c  [a,b] tel que 

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Primitive et intégrale
Définition – Intégrale
Si f est intégrable sur [a,b], le nombre réel 
 est appelé intégrale de f sur [a,b]
Définition – Primitive
Si f est une fonction de [a,b] dans , on appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur ]a, b[ telle que F’ = f
Théorème fondamental de l’analyse
Soit F une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a, b[. On note f sa dérivée. Si la fonction f est intégrable sur [a, b] alors
Théorème
Toute fonction continue f de [a,b] dans  admet une primitive F, définie pour tout x  [a,b] par 
Les autres primitives sont de la forme    où C est une constante
 est l’unique primitive de f nulle en a

20/04/2017 Analyse – Fonctions intégrables | 3
Théorème de Taylor-Young
Formule de Taylor avec reste intégral
(ou reste de Laplace)
Soit f une fonction de classe n+1 sur un intervalle I. Soient x et x0 des points de I. Alors
où 
 est un polynôme de Taylor ou une approximation de Taylor d’ordre n
Et 
 est le reste intégral d’ordre n
* En x0 = 0 on retrouve la formule de Taylor-Mac Laurin
* Cette formule généralise le théorème fondamental de l’analyse que l’on retrouve pour n = 0
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction dérivable sur I jusqu’à l’ordre n. Alors la fonction  définie au voisinage de 0 par :
  est telle que 
Ce qui revient à 

20/04/2017 Analyse – Fonctions intégrables | 4
Sommes de Riemann
Valeur moyenne d’une fonction intégrable
On appelle valeur moyenne d’une fonction intégrable sur [a,b] le réel :
Définition
Soit f : [a,b]   une fonction partout définie sur le segment [a,b]. On considère n  * et une subdivision régulière de [a,b]
 avec 0  k  n.
La somme de Riemann associée à f est :
Si f est intégrable au sens de Riemann 
Exemple
On a donc une somme de Riemann pour la fonction continue sur [0, 1] définie par   
Donc Un converge vers 

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