20/04/2017 Analyse Fonctions intégrables | 1
Fonctions intégrables
Généralités
* On notera l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b]
* I(φ) est la somme des aires des rectangles déterminés par φ (fonction en escalier)
Définition Fonction Riemann-intégrable
On dit qu’une fonction est Riemann-intégrable sur un segment [a,b] s’il existe deux fonctions en escalier sur [a,b] dont les
intégrales sont arbitrairement voisines :
ε > 0, φ , ψ , φ ≤ f ≤ ψ et I(ψ)-I(φ) < ε
* Les fonctions en escalier sur [a,b] sont donc intégrables selon Riemann sur [a,b].
Théorème
Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Propriétés Linéarité
Si f et g sont intégrables selon Riemann sur [a,b] alors :
   
     
Si f ≥ 0 sur [a,b] alors   
Si f ≥ g sur [a,b] alors  
Théorème Monotonie
Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b]. Si pour tout x [a,b], f(x) g(x), alors   
Relation de Chasles
Si c [a,b] alors f est intégrable sur [a,c] et [c,b] et
    
* Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est intégrable selon Riemann sur [a,b].
Inégalité de Schwarz

  
ou 

* L’égalité est obtenue lorsque x [a,b] f(x) + λg(x) = 0 (f et g proportionnelles)
Théorème de la moyenne
Si f et g sont continues sur [a,b], et si g garde un signe constant, il existe c [a,b] tel que
 
 
Théorème
Si f est continue sur [a,b], il existe c [a,b] tel que

 
20/04/2017 Analyse Fonctions intégrables | 2
Primitive et intégrale
Définition Intégrale
Si f est intégrable sur [a,b], le nombre réel 
est appelé intégrale de f sur [a,b]
Définition Primitive
Si f est une fonction de [a,b] dans , on appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur ]a, b[ telle que F’ = f
Théorème fondamental de l’analyse
Soit F une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a, b[. On note f sa dérivée. Si la fonction f est intégrable sur [a, b] alors

 
Théorème
Toute fonction continue f de [a,b] dans admet une primitive F, définie pour tout x [a,b] par 
Les autres primitives sont de la forme    où C est une constante

est l’unique primitive de f nulle en a
20/04/2017 Analyse Fonctions intégrables | 3
Théorème de Taylor-Young
Formule de Taylor avec reste intégral
(ou reste de Laplace)
Soit f une fonction de classe n+1 sur un intervalle I. Soient x et x0 des points de I. Alors

 

 
 
 

est un polynôme de Taylor ou une approximation de Taylor d’ordre n
Et 
 
est le reste intégral d’ordre n
* En x0 = 0 on retrouve la formule de Taylor-Mac Laurin
* Cette formule généralise le théorème fondamental de l’analyse que l’on retrouve pour n = 0
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction dérivable sur I jusqu’à l’ordre n. Alors la fonction définie au voisinage de 0 par :

  est telle que 
  
Ce qui revient à 
 
20/04/2017 Analyse Fonctions intégrables | 4
Sommes de Riemann
Valeur moyenne d’une fonction intégrable
On appelle valeur moyenne d’une fonction intégrable sur [a,b] le réel :
 
   



Définition
Soit f : [a,b] une fonction partout définie sur le segment [a,b]. On considère n * et une subdivision régulière de [a,b]
 
avec 0 k n.
La somme de Riemann associée à f est :



  

Si f est intégrable au sens de Riemann 

Exemple




On a donc une somme de Riemann pour la fonction continue sur [0, 1] définie par

Donc Un converge vers 
 
20/04/2017 Analyse Fonctions intégrables | 5
1 / 5 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !