Intégration et différentiation numérique

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Intégration et différentiation numérique
Nous présentons dans ce chapitre des méthodes pour approcher les dérivées et les intégrales de fonctions. Concernant l’intégration, on sait bien
qu’il n’est pas toujours possible, pour une fonction arbitraire, de trouver
la forme explicite d’une primitive. Mais même quand on la connaît, il
est parfois difficile de l’utiliser. C’est par exemple le cas de la fonction
f(x) = cos(4x) cos(3 sin(x)) pour laquelle on a
π
f(x)dx = π
0
4
3
2
∞
k=0
(−9/4)k
;
k!(k + 4)!
on voit que le calcul de l’intégrale est transformé en un calcul, aussi
difficile, de la somme d’une série. Dans certains cas, la fonction à intégrer
ou à différentier n’est connue que par les valeurs qu’elle prend sur un
ensemble fini de points (par exemple, des mesures expérimentales). On
se trouve alors dans la même situation que celle abordée au Chapitre 3
pour l’approximation des fonctions.
Dans tous ces cas, il faut considérer des méthodes numériques afin
d’approcher la quantité à laquelle on s’intéresse, indépendamment de la
difficulté à intégrer ou à dériver la fonction.
4.1 Quelques problèmes types
Problème 4.1 (Hydraulique) On considère un réservoir cylindrique
à base circulaire de rayon R = 1 m, rempli d’eau, et ayant à sa base un
trou d’évacuation de rayon r = 0.1 m. On mesure toutes les 5 secondes
la hauteur d’eau q(t) dans le réservoir (t désigne le temps)
t 0
q(t) 0.6350
5
0.5336
10
0.4410
15
0.3572
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c Springer-Verlag Italia 2010
20
0.2822
110
4 Intégration et différentiation numérique
On veut calculer une approximation de la vitesse de vidange q
(t) et la
2
comparer à celle prédite par la loi de Torricelli q (t) = −γ(r/R) 2gq(t),
où g est la norme de l’accélération de la gravité et γ = 0.6 est
un coefficient de correction. Pour la résolution de ce problème, voir
l’Exemple 4.1.
Problème 4.2 (Optique) Afin d’aménager une pièce soumise à des
rayons infrarouges, on souhaite calculer l’énergie émise par un corps noir
(c’est-à-dire un objet capable, à température ambiante, d’irradier dans
tout le spectre) dans les longueurs d’onde comprises entre 3μm et 14μm
(infrarouges). La résolution de ce problème s’effectue en calculant l’intégrale
−4
14·10
E(T ) = 2.39 · 10−11
3·10−4
dx
,
x5 (e1.432/(T x) − 1)
(4.1)
qui est l’équation de Planck pour l’énergie E(T ), où x est la longueur
d’onde (en cm) et T la température (en Kelvin) du corps noir. Pour le
calcul de cette intégrale voir l’Exercice 4.17.
Problème 4.3 (Electromagnétisme) Considérons un conducteur
électrique sphérique de rayon r et de conductivité σ. On veut calculer la distribution de la densité de courant j en fonction de r et t (le
temps), connaissant la distribution initiale de la densité de charge ρ(r).
Le problème peut être résolu en utilisant les relations entre densité de
courant, champ électrique et densité de charge, et en remarquant qu’avec
la symétrie de la configuration, j(r, t) = j(r, t)r/|r|, où j = |j|. On obtient
−σt/ε0
j(r, t) = γ(r)e
σ
, γ(r) =
ε0 r 2
r
ρ(ξ)ξ 2 dξ,
(4.2)
0
où ε0 = 8.859 · 10−12 farad/m est la constante diélectrique du vide. Pour
le calcul de cette intégrale, voir l’Exercice 4.16.
Problème 4.4 (Démographie) On considère une population ayant
un très grand nombre M d’individus. La distribution n(s) de la taille
de ces individus peut être représentée par une “courbe en cloche” caractérisée par sa moyenne h̄ et son écart type σ
2
2
M
n(s) = √ e−(s−h̄) /(2σ ) .
σ 2π