Intégration et différentiation numérique

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Intégration et différentiation numérique
Nous présentons dans ce chapitre des méthodes pour approcher les déri-
vées et les intégrales de fonctions. Concernant l’intégration, on sait bien
qu’il n’est pas toujours possible, pour une fonction arbitraire, de trouver
la forme explicite d’une primitive. Mais même quand on la connaît, il
est parfois difficile de l’utiliser. C’est par exemple le cas de la fonction
f(x)=cos(4x)cos(3sin(x)) pour laquelle on a
π
0
f(x)dx =π3
24∞
k=0
(−9/4)k
k!(k+4)!
;
on voit que le calcul de l’intégrale est transformé en un calcul, aussi
difficile, de la somme d’une série. Dans certains cas, la fonction à intégrer
ou à différentier n’est connue que par les valeurs qu’elle prend sur un
ensemble fini de points (par exemple, des mesures expérimentales). On
se trouve alors dans la même situation que celle abordée au Chapitre 3
pour l’approximation des fonctions.
Dans tous ces cas, il faut considérer des méthodes numériques afin
d’approcher la quantité à laquelle on s’intéresse, indépendamment de la
difficulté à intégrer ou à dériver la fonction.
4.1 Quelques problèmes types
Problème 4.1 (Hydraulique) On considère un réservoir cylindrique
à base circulaire de rayon R=1m, rempli d’eau, et ayant à sa base un
trou d’évacuation de rayon r=0.1m. On mesure toutes les 5 secondes
la hauteur d’eau q(t)dans le réservoir (tdésigne le temps)
t05101520
q(t)0.6350 0.5336 0.4410 0.3572 0.2822
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010

110 4 Intégration et différentiation numérique
On veut calculer une approximation de la vitesse de vidange q(t)et la
comparer à celle prédite par la loi de Torricelli q(t)=−γ(r/R)22gq(t),
où gest la norme de l’accélération de la gravité et γ=0.6est
un coefficient de correction. Pour la résolution de ce problème, voir
l’Exemple 4.1. 
Problème 4.2 (Optique) Afin d’aménager une pièce soumise à des
rayons infrarouges, on souhaite calculer l’énergie émise par un corps noir
(c’est-à-dire un objet capable, à température ambiante, d’irradier dans
tout le spectre) dans les longueurs d’onde comprises entre 3μmet14μm
(infrarouges). La résolution de ce problème s’effectue en calculant l’inté-
grale
E(T)=2.39 ·10−11
14·10−4
3·10−4
dx
x5(e1.432/(Tx)−1),(4.1)
qui est l’équation de Planck pour l’énergie E(T),oùxest la longueur
d’onde (en cm) et Tla température (en Kelvin) du corps noir. Pour le
calcul de cette intégrale voir l’Exercice 4.17. 
Problème 4.3 (Electromagnétisme) Considérons un conducteur
électrique sphérique de rayon ret de conductivité σ. On veut calcu-
ler la distribution de la densité de courant jen fonction de ret t(le
temps), connaissant la distribution initiale de la densité de charge ρ(r).
Le problème peut être résolu en utilisant les relations entre densité de
courant, champ électrique et densité de charge, et en remarquant qu’avec
la symétrie de la configuration, j(r, t)=j(r, t)r/|r|,oùj=|j|.Onobtient
j(r, t)=γ(r)e−σt/ε0,γ(r)= σ
ε0r2
r
0
ρ(ξ)ξ2dξ, (4.2)
où ε0=8.859 ·10−12 farad/m est la constante diélectrique du vide. Pour
le calcul de cette intégrale, voir l’Exercice 4.16. 
Problème 4.4 (Démographie) On considère une population ayant
un très grand nombre Md’individus. La distribution n(s)de la taille
de ces individus peut être représentée par une “courbe en cloche” carac-
térisée par sa moyenne ¯ het son écart type σ
n(s)= M
σ√2πe−(s−¯
h)2/(2σ2).