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Equipe academique de
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Fonction Réciproque
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02
Magazine
BAC
ANALYSE
Fonctions réciproques
EXERCICE N°1 :
20'
4 points
 
Soit f la fonction définie sur 0,  par f  x   2  cos 2x 
 2
 
1°) a) Dresser le tableau de variation de f sur 0,  .
 2
 
b) Montrer que f est une bijection de 0,  sur un intervalle J que l’on précisera.
 2
c) Le graphique ci-dessous est la courbe
On note f
1
b) f
1
1

5
 2  et f
 

1
Cf 1 de la fonction
f
1
.
' 52  .
est-elle dérivable à droite en 1 ? justifier.
3°) Montrer que f
1

dans un repère orthonormé O , i , j .
la fonction réciproque de f.
Tracer dans le même repère la courbe
2°) a) Calculer f
Cf
1

est dérivable sur 1,3 et que f
1
 ' x   2
1
 x ²  4x  3
.
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EXERCICE N°2 :
La courbe
20'
4 points
C de ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthonormé (O , i , j ) d'une
fonction f continue et dérivable sur  1,  .
La droite D étant son asymptote au voisinage de    .
À partir du graphique et des renseignements fournis ;
f (x)
; f (1) et f '(1) .
x 
x 
x
2°) Justifier que f réalise une bijection de  1,  sur
1°) Déterminer lim f ( x ) ; lim
un intervalle J qu'on précisera.
3°) On note f 1 la fonction réciproque de f .
a) Montrer que f 1 est dérivable en(–1),puis
déterminer  f 1 '  1 .
b) Etudier la dérivabilité de f 1 à droite en –3.
c) Tracer dans le même repère la courbe de f 1 .
EXERCICE N°3 :
30'
6 points
Soit f la fonction définie sur 1, par : f  x   x  x ²  1 .
C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O , i , j  .
On désigne par
1°) a) Calculer la limite de f en  .
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2°) Dresser le tableau de variation de f et en déduire que f réalise une bijection de 1, sur 0,1 .
3°) On note f
1
la fonction réciproque de f.
C' la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O; i , j  .
Tracer les courbes C de f et C'de f dans le même repère  O; i , j  .
1
On désigne par
1
4°) Expliciter f
1
 x  pour tout
x  0,1 .
 
5°) Pour tout x  0,  , on pose : g  x  
 2
 1 
f
  tan x .
 cos x 
1
 
a) Vérifier que pour tout x  0,  , g  x  
.
cos x
 2
sin  x 
 
 
b) Montrer que g est dérivable sur 0,  et pour tout x  0,  , g ' x  
.
cos² x 
 2
 2
 
c) En déduire que g réalise une bijection de 0,  sur un intervalle J que l’on précisera.
 2
1
d) On note g la fonction réciproque de g.


Montrer que g 1 est dérivable en 2 et calculer g 1 ' 2 .
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