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Bac
Equipe academique de
mathématique
Fonction Réciproque

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Fonction Réciproque
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1
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Soit f la fonction définie sur
0, 2
par
2 cos 2f x x
1°) a) Dresser le tableau de variation de f sur
0, 2
.
b) Montrer que f est une bijection de
0, 2
sur un intervalle J que l’on précisera.
c) Le graphique ci-dessous est la courbe
f
C
dans un repère orthonormé
,,O i j
.
On note
1
f
la fonction réciproque de f.
Tracer dans le même repère la courbe
1
f
C
de la fonction
1
f
.
2°) a) Calculer
15
2
f
et
15
'2 f
.
b)
1
f
est-elle dérivable à droite en 1 ? justifier.
3°) Montrer que
1
f
est dérivable sur
1,3
et que
11
'2 ² 4 3 fx xx
.
EXERCICE N°1 :
20'
4 points
Magazine
02
ANALYSE
Fonctions réciproques
BAC

2
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La courbe
C
de ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthonormé
( , , )O i j
d'une
fonction
f
continue et dérivable sur
1, 
.
La droite D étant son asymptote au voisinage de
.
À partir du graphique et des renseignements fournis ;
1°) Déterminer
()
lim ( ) ; lim
xx
fx
fx x
;
(1)f
et
'(1)f
.
2°) Justifier que f réalise une bijection de
1, 
sur
un intervalle J qu'on précisera.
3°) On note
1
f
la fonction réciproque de
f
.
a) Montrer que
1
f
est dérivable en(–1),puis
déterminer
1'1f
.
b) Etudier la dérivabilité de
1
f
à droite en –3.
c) Tracer dans le même repère la courbe de
1
f
.
Soit f la fonction définie sur
1,
par :
²1f x x x  
.
On désigne par
C
la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
,,O i j
.
1°) a) Calculer la limite de f en
.
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2°) Dresser le tableau de variation de f et en déduire que f réalise une bijection de
1,
sur
0,1
.
3°) On note
1
f
la fonction réciproque de f.
On désigne par
C'
la courbe représentative de
1
f
dans un repère orthonormé
;,O i j
.
Tracer les courbes
C
de f et
C'
de
1
f
dans le même repère
;,O i j
.
4°) Expliciter
1
fx
pour tout
0,1x
.
5°) Pour tout
0, 2 x
, on pose :
1tan
cos
g x f x
x
.
a) Vérifier que pour tout
0, 2 x
,
1
cos
gx x
.
b) Montrer que g est dérivable sur
0, 2
et pour tout
0, 2 x
,
sin
'cos²
x
gx x
.
c) En déduire que g réalise une bijection de
0, 2
sur un intervalle J que l’on précisera.
d) On note
1
g
la fonction réciproque de g.
Montrer que
1
g
est dérivable en 2 et calculer
1'2g
.
EXERCICE N°2 :
20'
4 points
EXERCICE N°3 :
30'
6 points