7. Probabilités

7. Probabilités • 103
7. Probabilités
Objectifs et pré-requis
On introduit dans ce chapitre la notion de variable aléatoire qui permet de modéliser des situations
et de justifier certaines expériences effectuées en classe de seconde.
Extrait du programme (Bulletin officiel n° 9 du 30 septembre 2010) :
Contenus Capacités attendues
Probabilités
Variable aléatoire discrète et loi de probabi-
lité.
Espérance.
• Déterminer et exploiter la loi d’une variable
aléatoire.
• Interpréter l’espérance comme valeur moyenne
dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
QCM Pour bien commencer ▶
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p. 268.
Corrigés des activités
1 Espérance d’une variable aléatoire
●
1 a. 3
5
b.
3
5
c.
9
2
5
d.
9
2
5
+
4
2
5
=
1
3
2
5
●
2 a. p(« obtenir 0 boule blanche ») = p(N ; N) =
4
2
5
.
p(« obtenir 1 boule blanche ») = p(B ; N) + p(N ; B) =
2
×
6
2
5
=
1
2
2
5
.
p(« obtenir 2 boules blanches ») = p(B ; B) =
9
2
5
.
On peut remarquer que la somme des probabilités vaut 1.
b. On obtiendra en moyenne
4
2
5
×
5
0
0
=
8
0
fois « 0 boule blanche », 240 fois « 1 boule blanche »,
180 fois « 2 boules blanches ».
c. Le nombre moyen de boules blanches est
0
×
8
0
+
1
×
2
4
0
+
2
×
1
8
0
5
0
0
=
6
0
0
5
0
0
=
1
,
2
.
d. On obtiendra en moyenne
4
2
5
×
1
0
0
0
0
=
1
6
0
0
fois « 0 boule blanche », 4800 fois « 1 boule
blanche », 3600 fois « 2 boules blanches ».
Le nombre moyen de boules blanches que l’on peut espérer est
0
×
1
6
0
0
+
1
×
4
8
0
0
+
2
×
3
6
0
0
1
0
0
0
0
=
1
,
2
.
e. Le nombre moyen de boules blanches que l’on peut espérer ne dépend pas du nombre
d’expériences.
●
3 a. On peut espérer faire des gains car 1,2 > 1.
b. Pour 100 parties, on peut espérer gagner en moyenne 0,2 × 100 = 20 jetons.

104 • 7. Probabilités
2 Avec ou sans remise ?
PARTIE A : Expérience avec remise
●
1 Réalisation de l’arbre.
●
2 Les issues sont (1 ; 1), (1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 1), (2 ; 2), (2 ; 3), (3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 3).
Ces issues sont équiprobables de probabilité
1
9
.
●
3 a. p(« On tire deux fois le même nombre ») = p({((1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3))} =
1
3
.
b. p(« Le premier nombre tiré est strictement inférieur au second ») = p({(1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 3)}) =
1
3
.
c. p(« La somme des deux nombres est 4 ») = p({(1 ; 3), (2 ; 2), (3 ; 1)}) = 1
3
.
PARTIE B : Expérience sans remise
●
1 Les issues sont (1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 1), (3 ; 2).
Ces issues sont équiprobables de probabilité
1
6
.
●
2 a. p(« On tire deux fois le même nombre ») = 0.
b. p(« Le premier nombre tiré est strictement inférieur au second ») = p ({(1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 3)}) =
1
2
.
c. p(« La somme des deux nombres est 4 ») = p ({(1 ; 3), (3 ; 1)}) =
1
3
.
PARTIE C : Comparaison des expériences
a. « Avec remise ».
b. « Sans remise ».
c. Même probabilité pour les deux expériences.
Corrigés des Travaux pratiques
TICE 1 L’espérance de vie
●
1
●
2 En C3, apparaît le nombre : 996,9.
●
3 Après duplication de la formule on trouve en C113 : 2,17357269. D’après ce modèle, il reste environ
2 personnes âgées de 110 ans.

7. Probabilités • 105
●
4 Le nombre de décès dans la première classe d’âge.
●
5 La formule à mettre en D115 est « =SOMME(D3:D113)/1000 ». On trouve ainsi 80,2399072.
L’espérance de vie est environ 80,2 ans.
●
6 Pour obtenir l’espérance de vie des femmes et des hommes, des « copier/coller/dupliquer » des
formules précédentes conduisent rapidement aux résultats. Attention toutefois, dans la cellule G3
la formule que l’on doit obtenir est « A3*(F2-F3) » et non « D3*(F2-F3) ». De même dans J3 on doit
trouver « A3*(I2-I3) ».
L’espérance de vie trouvée est :
• pour l’ensemble de la population : 80,2
• pour l’ensemble des individus de sexe masculin : 77,1
• pour l’ensemble des individus de sexe féminin : 83,3.
Ce calcul étant réalisé avec des « âges par défaut », on peut ajouter 0,5 aux valeurs trouvées
ci-dessus.
●
7 Il suffit de mettre 1000 dans la cellule C62 et d’effacer les contenus des cellules D2 à D62. L’espérance
de vie est 83,7 – 60 = 23,7 ans.
●
8 Espérance de vie en 1975 : 72,4 ; en 1985 : 74,9 ; en 1995 : 77,4 ; en 2008 : 80,2.
(72,9 ; 75,4 ; 77,9 ; 80,7 avec la correction de 0,5 ans.)
●
9 On met par exemple 510 dans la cellule F2 et 490 dans la cellule I2. C’est à partir de 54 ans que le
nombre d’hommes (469) est inférieur au nombre de femmes (470).
Algorithmique 1 Un jeu équitable ?
●
1 a. Le lancer d’une pièce de monnaie symétrique est modélisé par le tirage d’un nombre au hasard
dans l’ensemble {0 ; 1} : entAléat(0,1). On conviendra que 0 représente le côté « pile », et 1 le côté
« face ».
b. N est le nombre de lancers et I est le rang du tirage.
c. L1(I) est le gain de la partie de rang I.
d. Programmation de l’algorithme sur la calculatrice.
e. Le jeu est équilibré.
●
2 a.
PROGRAM : PILEFACE
: Prompt N
: EffListe L1
: For(I,1,N)
: entAléat (0, 1) + entAléat (0, 1) + entAléat (0, 1) -> L1 (I)
: If (L1 (I) = 0)
: Then
: -12 -> L1 (I)
: End
: End
: Disp “MOYENNE”, moyenne (L1)
b. Programmation de l’algorithme sur la calculatrice.
c. Le jeu est équilibré.
●
3 a. Le premier modèle conduit à la loi de probabilité suivante :
x– 4 1 2
p(X = x)
1
4
2
4
1
4
E(x) = −
4
×
1
4
+
1
×
2
4
+
2
×1
4
=
0
. L’espérance mathématique est nulle.

106 • 7. Probabilités
b. Le gain dans le second jeu est défini par le tableau suivant :
Issue PPP PPF PFP FPP PFF FPF FFP FFF
Gain – 12 1 1 1 2 2 2 3
L’espérance de gain est donc
−
1
2
+
1
+
1
+
1
+
2
+
2
+
2
+
3
8
=
0
.
c. Dans les deux jeux, l’espérance mathématique est nulle. Les jeux sont équilibrés.
D’où la difficulté de donner des réponses aux questions 1.e. et 2.c.
Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’application
1
Points 012345
Proba
2
1
0
2
7
3
1
0
2
5
1
0
2
9
1
0
2
8
1
0
2
1
1
0
2
Points 678910
Proba 0
1
0
2
0
1
0
2
2
1
0
2
0
1
0
2
2
1
0
2
2 1. Les 6 tirages possibles équiprobables sont
12, 13, 14, 23, 24, 34.
2. La loi de probabilité de X est définie par le tableau
suivant :
X34567
Proba
1
6
1
6
2
6
1
6
1
6
3. p (X ⩽ 4) =
1
3
3 1.
X12345
Proba
2
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
X678910
Proba
3
2
5
3
2
5
2
2
5
2
2
5
1
2
5
2. E(X) =
1
2
7
2
5
4 1.
S23456
Proba
9
3
6
1
2
3
6
1
0
3
6
4
3
6
1
3
6
2.
3. E(S) =
0
3
5 NOTE Dans le spécimen et certains manuels, il
faut lire que le secteur vert permet de gagner 2 euros
et non de les perdre.
1. La loi de probabilité du gain est donnée par le
tableau suivant :
Gain 0210
Probabilité
3
8
3
8
2
8
E(S) =
2
6
8
=
3
,
2
5
2. La mise doit être de 3,25 euros pour que le jeu
soit équitable.
6 Cet exercice est corrigé dans le manuel,
p. 268.
7 1. 1 – 0,12 = 0,88
2. Le nombre moyen d’appels par minute est 1,88.
8
X013510
Probabilité
3
2
0
3
2
0
2
2
0
1
2
0
1
2
0

7. Probabilités • 107
9 1.
X123456
Probabilité
6
2
1
5
2
1
4
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1
2. E(X) =
5
6
2
1
10 1.
X123456
Probabilité 1
3
6
3
3
6
5
3
6
7
3
6
9
3
6
1
1
3
6
2. E(X) =
1
6
1
3
6
11 1. La probabilité d’avoir au moins un stylo
défectueux est 0,04. Sur 100 paquets on peut s’at-
tendre à avoir 4 paquets contenant au moins un
stylo défectueux.
2. E(X) = 0,05.
12 Le nombre moyen de points est 1,87. Il est de
8
3
1
0
2
≈ 1,79 pour le Scrabble français. Le nombre
moyen de points est donc supérieur dans le Scrabble
anglais.
13 Cet exercice est corrigé dans le manuel,
p. 268.
14 a. D
b. B
c. B
15 1. La probabilité d’une issue quelconque
(dé 1 ; dé 2) est
1
1
6
.
2.
Dé 1
Dé 2 1234
12345
23456
34567
45678
3.
X2345678
Proba
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
3
1
6
2
1
6
1
1
6
4. Avec deux dés à 6 faces, la probabilité d’une issue
quelconque (dé 1 ; dé 2) est
1
3
6
.
Dé 1
Dé 2 123456
1 234567
2 345678
3 456789
4 5678910
5 67891011
6 7 8 9 10 11 12
X234567
Proba
1
3
6
2
3
6
3
3
6
4
3
6
5
3
6
6
3
6
X8 9 10 11 12
Proba
5
3
6
4
3
6
3
3
6
2
3
6
1
3
6
16 NOTE Dans le spécimen et certains manuels, à
la question 1.c., il faut lire une probabilité égale à
5
9
.
1. a. p(6 ; 6 ; 6) =
1
2
1
6
b. p(« obtenir 3 chiffres identiques ») =
1
3
6
c. p(« obtenir 3 chiffres différents ») =
6
×
5
×
4
2
1
6
=
5
9
2. a. p(« obtenir 2 chiffres identiques ») =
1
−
1
3
6
−
2
0
3
6
=
1
5
3
6
, d’où la loi de probabilité de X :
X– 1 2 9
Proba
2
0
3
6
1
5
3
6
1
3
6
b. E(X) =
1
9
3
6
, le jeu est favorable au joueur.
17 Traduction de l’énoncé
Un enfant vise
la cible ci-contre
avec des fléchettes.
S’il la rate il
obtient 0 point,
sinon il obtient le
nombre de points
marqués dans la
zone atteinte.
1. Il lance une série de deux fléchettes. On
appelle X la variable aléatoire qui associe à la
série réalisée le score obtenu. Déterminer l’en-
semble des valeurs que peut prendre X.
10 5 252
5
2
5
2