derivabilite resume bac math sc exp tech 3

Mr :Khammour.K Dérivabilité 4éme
Dérivabilité en un point x0 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0,
 On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si
 est une limite
finie l. le réel l s'appelle le nombre dérivé de f au point x0. On note l=f '(x0).
.
Dérivabilité à droite, dérivabilité à gauche:
 f est dérivable à droite en x0 si et tellement si
 ; Le réel l
0 et on note fd)
 f est dérivable à gauche en x0 si et seulement si 
 ; Le réel l
0 et on note fg)
 f est dérivable en x0 si et seulement si fd)= fg).
Interprétation graphique du nombre dérivé:
 f est dérivable en x0 (  f'(x0)=l) si et seulement si Cf admet au point d'abscisse x0
une tangente T de vecteur directeur 
Test d'équation T: y=f '(x0)(x-x0)+f(x0).
Cas particulier : f'(x0)=0  T: y=f(x0) (la tangente est dite horizontale)
 f est dérivable à droite en x0 (fd'(x0)=l) si et seulement si Cf admet au point
d'abscisse x0 une demie tangente Td de vecteur directeur 
Td d'équation: 
 f est dérivable à gauche en x0 (fg'(x0)=l) si et seulement si Cf admet au point
d'abscisse x0 une demie tangente Tg de vecteur directeur 
Td d'équation: 
 Si
 (respectivement  ), alors Cf admet au point
d'abscisse x0 une demie tangente verticale dirigée vers le haut( respectivement vers
le bas)
 Si
 (respectivement + ) alors Cf admet au point
d'abscisse x0 une demie tangente verticale dirigée vers le haut (respectivement vers
le bas)
Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle:
 f est dérivable sur ]a,b[ si et seulement si f est dérivable en tout x0 de
]a,b[.
 f est dérivable sur [a,b] si et seulement si f est dérivable sur ]a,b[, à
droite en a et à gauche en b
Formules de dérivation:
 Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors f+g; f×g ,  f etfn sont
dérivable sur I et on a:
(f+g)'= f'+g'.
(f.g)'= f '. g+ g'. f
(f)'=  f '
(fn)'=n f ' fn-1

 Si f est dérivable sur in intervalle I et f(x) > 0; pour tout xI  alors f est dérivable
sur I et =
 Si f et g sont dérivables sur I et g(x)0 pour tout xI alors
 sont dérivables sur I
et on a : (
 et( 
Dérivabilité des fonctions composées:
 Si g est dérivable sur I et f est dérivable sur g(I)=J alors fog est dérivable sur I
Et on a: (fog)'= g ' × ( f ' (g)).
Dérivée de la réciproque:
 f une bijection continue de I sur J; si f est dérivable sur I et f'(x)0 pour tout xI
alors f-1 est dérivable sur J et on a:  
Accroissements finies:
 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b) alors il existe un réel
c]a,b[ tel que f '(c)=0.
 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ alors il existe un réel c]a,b[ tel que
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c).
 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I , a et b deux réels de I tel que a<b et
s'il existe deux réels m et M tel que m  f '(x) M pour tout xI alors :
m(b-a) f(b)-f(a)  M(b-a).
 Si f est dérivable sur un intervalle I et s'il existe kIR tel que |f '(x)| k pour tout
xI alors : pour tout a et b de I on a : |f(b)-f(a)| k |b-a|