Polynômes et Fractions rationnelles

Université Mohammed V
Faculté des Sciences-Rabat
Département de Mathématiques
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Module : Algèbre 1
(S1)
Filière :
Sciences de Matière Physique et Chimie (SMPC)
Chapitre 4: Polynômes et Fractions rationnelles.
Par :
M. Abdellah ALLA
Mme. Nadia BOUDI
M. Ahmed HAJJI
M. Houssame MAHZOULI.
Année universitaire 2015-2016
Université Mohammed V, Faculté des Sciences RABAT. Avenue Ibn Battouta, B. P. 1014 RP, Rabat – Maroc. Site web :
www.fsr.ac.ma, Tel : [phone], Fax : [phone].

Profs. : A. ALLA, N. BOUDI A. HAJJI, H. MAHZOULI
Polynômes et fractions rationnelles
Dans ce chapitre Kdésigne soit Csoit R. Les éléments de Kseront appelés les scalaires.
1 Définitions et opérations
Définition 1.1. – On appelle polynôme P à une indéterminée X et à coefficients dans K
toute suite (ak)k∈Nnulle à partir d’un certain rang (c-à-d il existe n ∈Ntel que ∀k>n,
ak=0). On écrit P sous la forme
P:=P(X)=a0+a1X+a2X2+... +anXn=
n
X
k=0
akXk
Les scalaires a0, ..., ansont appelés les coefficients de P et X est l’indéterminée. On note
K[X]l’ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K.
– Le polynôme nul 0 est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls.
– On dit que deux polynôme sont égaux si et seulement si les suites consituées de leurs
coefficients sont égales.
Définition 1.2 (Fonctions polynomiales).Si P =
n
X
k=0
akXk∈K[X], on appelle fonction poly-
nomiale associée, l’application :
˜
P:K−→ K
x7−→
n
X
k=0
akxk
Remarque 1.3.S’il n’y a pas d’ambiguïté, on identifie le polynôme avec la fonction polynomiale
associée.
Définition 1.4 (Somme de deux polynômes).La somme des polynômes P =
n
X
k=0
akXket Q =
m
X
k=0
bkXkest le polynôme :
P+Q=
n+m
X
k=0
(ak+bk)Xk
N. B : Les coefficients qui ne s’affichent pas dans l’écriture de P et Q jusqu’à l’ordre n +m
seront remplacés par des zéros.
Remarquons que l’addition (la loi +) est une loi de composition interne sur K[X].
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Proposition 1.5 (Propriétés de +).La loi (+) sur K[X]vérifie les propriétés suivantes :
Associativité: :∀P,Q,R∈K[X], P +(Q+R)=(P+Q)+R.
Existence d’un élément neutre: : Le polynôme nul est l’élément neutre pour la loi (+),
c’est à dire, P +0=0+P=P pour tout P ∈K[X].
Existence d’un symétrique: −P est l’élément symétrique de P, c’est à dire, P +(−P)=
P−P=0pour tout P ∈K[X].
Commutativité: ∀P,Q∈K[X], P +Q=Q+P.
Autrement dit, (K[X],+)est un groupe commutatif.
Démonstration. C’est une conséquence des résultats analogues sur les suites. tu
Définition 1.6 (Multiplication par un scalaire).Soient λ∈Ket P =
n
X
k=0
akXk∈K[X]. La
multiplication de P par λest l’élément de K[X]défini par :
λ.P=
n
X
k=0
(λak)Xk.
Proposition 1.7. ∀λ, µ ∈Ket ∀P,Q∈K[X],ona:
(1) (λ+µ).P=λ.P+µ.P.
(2) λ.(P+Q)=λ.P+λ.Q.
(3) (λµ).P=λ(µ.P).
(4) 1.P=P.
(5) 0.P=0.
Remarques 1.8.(1) La multiplication des polynômes par les scalaires est une loi de com-
position externe.
(2) (K[X],+, .) est un K-espace vectoriel.
La multiplication entre polynômes est définie par analogie avec la multiplication entre fonctions
polynomiales.
Définition 1.9 (Multiplication de deux polynômes).Le produit des polynômes P =
n
X
k=0
akXket
Q=
m
X
k=0
bkXkest le polynôme :
P×Q=
n+m
X
k=0
ckXk,où ∀k ak=
k
X
i=0
aibk−i=X
i+j=k
aibj
S’il n’y a pas d’ambiguïté, le produit des polynômes Pet Qest aussi noté PQ.
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Proposition 1.10 (Propriétés de ×).La loi (×) sur K[X]vérifie les propriétés suivantes :
Associativité: :∀P,Q,R∈K[X], P(QR)=(PQ)R.
Existence d’un élément neutre: : Le polynôme P =1est l’élément neutre pour la loi
(×), c’est à dire P ×1=1×P=P pour tout P ∈K[X].
Commutativité: :∀P,Q∈K[X], PQ =QP.
Distributivité sur +::∀P,Q,R∈K[X], P(Q+R)=PQ +PR.
Démonstration. Exercice. tu
2 Degré d’un polynôme
Définition 2.1. Soit P =
n
X
k=0
akXk∈K[X]. On définit le degré de P, noté degP, par :
– Si P =0, on pose degP=−∞
– Si P ,0, alors degP=max{k∈N|ak,0}.
Remarques 2.2.Soit P∈K[X].
(1) Si P=
n
X
k=0
akXk, on ne peut affirmer que le fait que degP≤n. Il faut préciser an,0
pour avoir degP=n.
(2) Les polynômes de la forme akXks’appellent "monômes".
(3) Si P∈K[X] est de degré n∈N(c-à-d, an,0), on dit que anest le coefficient dominant
(ou coefficient de plus haut degré) de P et que anXnest le terme dominant.
(4) Lorsque le coefficient dominant de Pest 1, on dit que Pest unitaire.
Proposition 2.3. Soient P,Q∈K[X]non nuls et λ∈K∗. Alors,
(1) deg(P+Q)≤max(degP,degQ). L’inégalité est stricte si et seulement si degP=degQ
et si les coefficients dominants de P et Q sont opposés.
(2) deg(λP)=degP.
(3) deg(PQ)=degP+degQ. De plus le coefficient dominant de PQ est le produit des
coefficents dominants de P et Q.
Démonstration. On pose P=
n
X
k=0
akXket Q=
m
X
k=0
bkXkavec degP=net degQ=m(donc
an,0 et bm,0).
(1) Si n=m, il est clair que P+Q=
n
X
k=0
(ak+bk)Xk. Donc, deg(P+Q)≤navec égalité si
an+bn,0.
Si n>m,ona:
P+Q=anXn+... +am+1Xm+1+
m
X
k=0
(ak+bk)Xk
Ainsi, deg(P+Q)=n=max{n,m}. De même, si m>n,deg(P+Q)=m=max{n,m}.
(2) Le coefficient dominant de λPest λan,0. Alors, deg(λP)=n.
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(3) On a :
PQ =
n+m
X
k=0
ckXk,où ∀k ak=
k
X
i=0
aibk−i=X
i+j=k
aibj
Alors, cn+m=anbm,0 est le coefficient dominant de PQ. Ainsi, deg(PQ)=degP+degQ.tu
Corollaire 2.4. Soient P,Q∈K[X]. Alors,
(1) Si PQ =0alors P =0ou Q =0.
(2) Si PQ =1alors P,Q∈K∗.
Démonstration. (1) On raisonne par contraposée. Supposons que P,0 et Q,0. Alors
deg(PQ)=degP+degQ∈N. Donc, PQ ,0. Absurde.
(2) On a degP+degQ=deg(PQ)=0. Donc, degP=degQ=0. tu
3 Division euclidienne
Définition 3.1. Soient P,Q∈K[X]non nuls. On dit que Q divise P (ou que P est un multiple
de Q) s’il existe T ∈K[X]tel que P =QT . On note alors Q |P.
Exemple 3.2. (1) Le polynôme (X−1)(X−2) divise (X−1)2(X−2)(X2+X+1).
(2) Le polynôme 0 est divisible par tous les polynômes mais il ne divise que lui même.
(3) Si Q|Pavec Pnon nul, alors degP≥degQ, car on a P=T Q avec T,0, et donc
degP=degT+degQ≥degQ.
(4) Si λ∈K∗, alors λdivise tout polynôme non nul de K[X].
Proposition 3.3. La relation de divisibilité vérifie :
(1) ∀P∈K[X]non nul, P |P.
(2) ∀P,Q∈K[X]non nuls, P |Q et Q |P=⇒ ∃λ∈K∗,P=λQ, (on dit qu’ils sont des
polynômes associés).
(3) ∀P,Q,R∈K[X]non nuls, P |Q et Q |R=⇒P|R.
Démonstration. Exercice. tu
On montre par récurrence le résultat suivant :
Théoréme 3.1 (Division euclidienne).Soient A,B∈K[X]avec B ,0. Alors, il existe un
unique couple (Q,R)de polynômes dans K[X], tel que
A=BQ +R et degR<degB
Q est le quotient et R est le reste de la division euclidienne de A par B.
Démonstration.Existence : Si degA<degB,Q=0 et R=Aconviennent.
On pose degA=net degB=m. Montrons l’existence de cette division par récurrence pour tout
n≥m. On pose d’abord A=
n
X
k=0
akXket B=
m
X
k=0
bkXk
Si n=m,Q=am
bm
et R=A−am
bm
Bconvient car deg(R)<degB.
Supposons la propriété (existence) vraie pour tout polynôme Ade degré ≤net montrons la pour
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