Tangentes et convexité - SensMath

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Tangentes et convexité
I – Equation d’une tangente à une courbe donnée en un point donné
1°) Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I.
L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est :
(
)
(
)
(
)
'
y f a x a f a
= − + .
2°) Méthodes
Il est tout à fait possible d’apprendre par cœur la formule du 1°) et de l’appliquer au besoin.
Cela dit, on peut aussi utiliser la démarche suivante, qui aura l’avantage de s’adapter à
d’autres cas :
a) Une équation de droite « non verticale », c’est-à-dire non parallèle à l’axe des
ordonnées, possède toujours une équation du type
y m x p
= +
.
b) La tangente à la courbe d’une fonction dérivable possède un coefficient directeur réel,
fini, par définition ; par conséquent, l’équation d’une tangente à la courbe d’une
fonction dérivable est toujours du type
y m x p
= +
.
c) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’une fonction dérivable au point
d’abscisse a est le nombre dérivé
(
)
'
f a
par définition. Donc
(
)
'
m f a
= .
d) Un point donné appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient
l’équation de la droite, donc pour déterminer l’ordonnée à l’origine p d’une tangente
donnée, il suffit de remplacer les coordonnées du point de contact
(
)
(
)
;
A a f a
dans
l’équation de la tangente :
y m x p
= +
. Cela donne
(
)
(
)
'
f a f a a p
= × +
, d’où l’on
peut tirer
(
)
(
)
'
p f a a f a
= − × . Encore une fois, on peut apprendre le résultat par
cœur ou bien donner du sens et retrouver le raisonnement dans chaque cas particulier
qui se présentera.

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TP
Exercice 1
On pose ( )
2
23 + −
=x
x
xf , pour tout ] [ ∞+−∈ ;2x .
a) Calculer l’expression de ( ) xf ' .
b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0. Tracer cette
tangente sur le graphique ci-dessous, sur lequel figure la courbe de f .
c) Montrer que pour tout
]
[
∞+−∈ ;2x ,
(
)
0' >xf
d) Résoudre l’équation ( ) 0=xf , puis l’équation ( ) 1=xf . Interpréter graphiquement le
résultat.
Exercice 2
La figure ci-contre représente la courbe
C
de la
fonction
( ) ( )
f x x= − +8 2
2
.
1. Développer, réduire et ordonner l’expression de
( )
f x .
2. Tracer la droite D
1
d’équation y x= +4 20.
Déterminer x
1
, abscisse du point en lequel D
1
est tangente à C .
3. C possède une tangente horizontale D
2
;
préciser son équation, ainsi que l’abscisse x
2
du
point de contact entre C et D
2
.
4. Le nombre dérivé de f en −1 vaut −2. Comment
cela se note-t-il ? Déterminer une équation de
la tangente D
3
à C au point d’abscisse −1.

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Exercice 3
1. Comment se note symboliquement, le fait que le nombre dérivé de f en –1 vaut –2 ? Sur le
graphique joint, tracer T
−1
.
2. Tracer la tangente à la courbe passant par le point de coordonnées (−2;6). On déterminera
les coordonnées du point de contact par lecture graphique. Calculer le coefficient directeur
de cette droite et interpréter le résultat en termes de nombre dérivé.
3. Déterminer une tangente à la courbe de f parallèle à la tangente de la question 2.
Exercice 4
On pose ( )
14 1+
=x xf , pour tout [ ] 10;0∈x .
a) Calculer l’expression de
(
)
xf ' .
b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1. On vérifiera
que cette tangente passe par le point de coordonnées ( ) 1;4− .
c) Montrer que pour tout [ ] 10;0∈x , ( ) 0' <xf
Exercice 5 (difficile)
On pose pour tout ∈x 3 : ( ) 252
23
++−= xxxxf . On note C la courbe de f dans un repère
orthonormé ( ) jiO ,; .
1. Calculer
(
)
xf ' .
2. Déterminer toutes les tangentes à C parallèles à la première bissectrice du repère.
3.
Déterminer toutes les tangentes à C passant par le point A de coordonnées ( ) 3;0 .
4. Idem avec B ( ) 4;0 .

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II – Dérivée seconde d’une fonction
a) Définition : Soit f une fonction dérivable sur I. Supposons que
'
f
soit aussi dérivable
sur I. Alors on dit que f est deux fois dérivable sur I.
b) Exemple : Si
(
)
4 2
3 5 6
f x x x
= − +
, alors
(
)
3
' 12 10
f x x x
= − et
(
)
2
'' 36 10
f x x
= −
,
pour x
∈
ℝ
.
c) Accélération et décélération : supposons que x soit une durée exprimée en heure et que
(
)
f x
soit une mesure en km d’un véhicule qui parcourt cette distance pendant cette
durée x . Alors la dérivée
(
)
'
f x
mesure la vitesse instantanée du véhicule en km/h. Si
(
)
' 0
f x
>
alors le véhicule est en train d’augmenter la distance, de la faire croitre. Et
si
(
)
' 0
f x
<
, alors ce véhicule revient vers le point de départ (ou recule).
''
f
est la dérivée de la dérivée donc est la vitesse de la vitesse. Précisément, si
(
)
'' 0
f x
>
, alors à l’instant x , la vitesse
(
)
'
f x
est en train de croître, c’est ce que l’on
appelle une accélération. De la même manière, si
(
)
'' 0
f x
<
, alors la vitesse
(
)
'
f x
est
en train de décroître, c’est ce que l’on appelle une décélération.
NB : en économie, on peut appliquer ce concept à la notion de coût marginal (et autres
grandeurs dites marginales bien sûr) : le coût marginal
m
C
est le coût de la dernière
unité produite. On modélise
m
C
par la dérivée
'
C
. Ainsi,
(
)
'' '
m
C C= montre
l’accélération ou le freinage des coûts en fonction du nombre d’unités produites. Etc.

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III – Convexité
a) Introduction : lentille optiques
Il existe deux types de lentilles : des lentilles concaves et des lentilles convexes.
Voici une image trouvée sur le site http://capes-montages.skyrock.com/3016878541-
P-Montage-2-Lentilles-minces-Miroirs-spheriques.html
b) Objets concaves et convexes en mathématiques
De manière générale, on dit qu’un objet est convexe si, pour tout couple de points
appartenant à cet objet, le segment reliant ces deux points est tout entier contenu dans
l’objet. Voici une illustration, trouvée sur le site http://images.math.cnrs.fr/Hermann-
Minkowski-des-formes-476.html
A gauche, on imagine que même si l’on change les points A et B à l’intérieur de l’objet
« rond », le segment
[ ]
AB
est toujours contenu dans l’objet.
On dit au contraire que l’objet est concave s’il existe au moins deux points A et B à
l’intérieur de l’objet mais tels que le segment
[ ]
AB
sorte de l’objet. L’illustration
montre un exemple à droite avec un objet « creux ».