Tangentes et convexité - SensMath

Tangentes et convexité
I – Equation d’une tangente à une courbe donnée en un point donné
1°) Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I.
L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est : y = f ' ( a )( x − a ) + f ( a ) .
2°) Méthodes
Il est tout à fait possible d’apprendre par cœur la formule du 1°) et de l’appliquer au besoin.
Cela dit, on peut aussi utiliser la démarche suivante, qui aura l’avantage de s’adapter à
d’autres cas :
a) Une équation de droite « non verticale », c’est-à-dire non parallèle à l’axe des
ordonnées, possède toujours une équation du type y = m x + p .
b) La tangente à la courbe d’une fonction dérivable possède un coefficient directeur réel,
fini, par définition ; par conséquent, l’équation d’une tangente à la courbe d’une
fonction dérivable est toujours du type y = m x + p .
c) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’une fonction dérivable au point
d’abscisse a est le nombre dérivé f ' ( a ) par définition. Donc m = f ' ( a ) .
d) Un point donné appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient
l’équation de la droite, donc pour déterminer l’ordonnée à l’origine p d’une tangente
donnée, il suffit de remplacer les coordonnées du point de contact A ( a ; f ( a ) ) dans
l’équation de la tangente : y = m x + p . Cela donne f ( a ) = f ' ( a ) × a + p , d’où l’on
peut tirer p = f ( a ) − a × f ' ( a ) . Encore une fois, on peut apprendre le résultat par
cœur ou bien donner du sens et retrouver le raisonnement dans chaque cas particulier
qui se présentera.
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TP
Exercice 1
3x − 2
, pour tout x ∈ ]− 2 ; + ∞[ .
x+2
Calculer l’expression de f ' ( x ) .
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0. Tracer cette
tangente sur le graphique ci-dessous, sur lequel figure la courbe de f.
Montrer que pour tout x ∈ ]− 2 ; + ∞[ , f ' ( x ) > 0
Résoudre l’équation f ( x ) = 0 , puis l’équation f ( x ) = 1 . Interpréter graphiquement le
résultat.
On pose f ( x ) =
a)
b)
c)
d)
Exercice 2
La figure ci-contre représente la courbe C de la
fonction f ( x ) = 8 − ( x + 2) .
2
1. Développer, réduire et ordonner l’expression de
f ( x) .
2. Tracer la droite D 1 d’équation y = 4 x + 20 .
Déterminer x1, abscisse du point en lequel D1
est tangente à C.
3. C possède une tangente horizontale D 2;
préciser son équation, ainsi que l’abscisse x2 du
point de contact entre C et D 2.
4. Le nombre dérivé de f en −1 vaut −2. Comment
cela se note-t-il ? Déterminer une équation de
la tangente D 3 à C au point d’abscisse −1.
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Exercice 3
1. Comment se note symboliquement, le fait que le nombre dérivé de f en –1 vaut –2 ? Sur le
graphique joint, tracer T−1.
2. Tracer la tangente à la courbe passant par le point de coordonnées (−2;6). On déterminera
les coordonnées du point de contact par lecture graphique. Calculer le coefficient directeur
de cette droite et interpréter le résultat en termes de nombre dérivé.
3. Déterminer une tangente à la courbe de f parallèle à la tangente de la question 2.
Exercice 4
1
, pour tout x ∈ [0 ;10] .
4x + 1
a) Calculer l’expression de f ' ( x ) .
b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1. On vérifiera
que cette tangente passe par le point de coordonnées (− 4 ;1) .
c) Montrer que pour tout x ∈ [0 ;10] , f ' ( x ) < 0
On pose f ( x ) =
Exercice 5 (difficile)
On pose pour tout x ∈ 3 : f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 2 . On note C la courbe de f dans un repère
orthonormé (O ; i , j ) .
1.
2.
3.
4.
Calculer f ' ( x ) .
Déterminer toutes les tangentes à C parallèles à la première bissectrice du repère.
Déterminer toutes les tangentes à C passant par le point A de coordonnées (0 ; 3) .
Idem avec B (0 ; 4) .
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II – Dérivée seconde d’une fonction
a) Définition : Soit f une fonction dérivable sur I. Supposons que f ' soit aussi dérivable
sur I. Alors on dit que f est deux fois dérivable sur I.
b) Exemple : Si f ( x ) = 3x 4 − 5 x 2 + 6 , alors f ' ( x ) = 12 x3 − 10 x et f '' ( x ) = 36 x 2 − 10 ,
pour x ∈ ℝ .
c) Accélération et décélération : supposons que x soit une durée exprimée en heure et que
f ( x ) soit une mesure en km d’un véhicule qui parcourt cette distance pendant cette
durée x. Alors la dérivée f ' ( x ) mesure la vitesse instantanée du véhicule en km/h. Si
f ' ( x ) > 0 alors le véhicule est en train d’augmenter la distance, de la faire croitre. Et
si f ' ( x ) < 0 , alors ce véhicule revient vers le point de départ (ou recule).
f '' est la dérivée de la dérivée donc est la vitesse de la vitesse. Précisément, si
f '' ( x ) > 0 , alors à l’instant x, la vitesse f ' ( x ) est en train de croître, c’est ce que l’on
appelle une accélération. De la même manière, si f '' ( x ) < 0 , alors la vitesse f ' ( x ) est
en train de décroître, c’est ce que l’on appelle une décélération.
NB : en économie, on peut appliquer ce concept à la notion de coût marginal (et autres
grandeurs dites marginales bien sûr) : le coût marginal Cm est le coût de la dernière
unité produite. On modélise Cm par la dérivée C ' . Ainsi, C '' = ( Cm ) ' montre
l’accélération ou le freinage des coûts en fonction du nombre d’unités produites. Etc.
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III – Convexité
a) Introduction : lentille optiques
Il existe deux types de lentilles : des lentilles concaves et des lentilles convexes.
Voici une image trouvée sur le site http://capes-montages.skyrock.com/3016878541P-Montage-2-Lentilles-minces-Miroirs-spheriques.html
b) Objets concaves et convexes en mathématiques
De manière générale, on dit qu’un objet est convexe si, pour tout couple de points
appartenant à cet objet, le segment reliant ces deux points est tout entier contenu dans
l’objet. Voici une illustration, trouvée sur le site http://images.math.cnrs.fr/HermannMinkowski-des-formes-476.html
A gauche, on imagine que même si l’on change les points A et B à l’intérieur de l’objet
« rond », le segment [ AB ] est toujours contenu dans l’objet.
On dit au contraire que l’objet est concave s’il existe au moins deux points A et B à
l’intérieur de l’objet mais tels que le segment [ AB ] sorte de l’objet. L’illustration
montre un exemple à droite avec un objet « creux ».
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c) Définitions : Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I. On dit que f est convexe
sur I si la courbe de f est toujours située au-dessus de ses tangentes. On dit que f est
concave sur I si sa courbe est toujours située au-dessous de ses tangentes.
Exemples :
1
x
est concave sur ]−∞ ;0[ et
La fonction inverse x ֏
La fonction carré x ֏ x 2 est
convexe sur ℝ
convexe sur ]0; + ∞[
Cette fonction f est d’abord
concave sur ]−∞ ; α ] puis
convexe sur [α ; + ∞[ , où α
reste à déterminer !
d) Point d’inflexion : on appelle ainsi un point d’une courbe où il y a changement de
concavité (comme l’exemple tout à droite ci-dessus)
e) Caractérisations : Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.
1°) f est convexe sur I si et seulement si ∀x ∈ I , f '' ( x ) > 0 .
2°) f est concave sur I si et seulement si ∀x ∈ I , f '' ( x ) < 0 .
3°) Le point d’abscisse a est un point d’inflexion de la courbe de f si et seulement
si f '' ( a ) = 0 et f '' change de signe en a.
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