resume continuite et limites 4e

L.S.C.J.Gafsa RESUME DE COURS B.Tabbabi
(limites et continuité)
Continuité et limite en un réel
Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition.
Les fonctions
cosx x
et
sinx x
sont continues en tout réel.
Théorème
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et soit a un réel de I.
.Si f est continue en a, alors les fonctions
f
(
est une constante réelle) , |f| et f
n
(
*n
)sont continues
en a.
. Si f est continue en a et f(a)
0
,alors les fonctions
1
f
et
1n
f
(
*n
)sont continues en a.
.Si f et g sont deux fonctions continues en a ,alors les fonctions f + g et fg sont continues en a.
.Si f et g sont deux fonctions continues en a et g(a)
0 alors la fonction
f
g
est continue en a.
.Si la fonction f est continue en a et pour tout x de I on a ;
( ) 0f x 
alors la fonction
f
est continue en a .
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf peut-être en un réel a de I..
S’il existe une fonction g définie sur I,continue en a et telle que g(x) = f(x) pour tout x
a
alors
lim ( ) ( ).
x a f x g a
Continuité en un réel
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.Soit a un réel de I.
f est dite continue en a si
lim ( ) ( )
x a f x f a
Prolongement par continuité
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en un réel a de I.
Si f admet une limite finie l lorsque x tend vers a,alors la fonction F définie sur I par
F(x)=
( )f x si x a
l si x a
est continue en a.F est appelée prolongement par continuité de f sur I.
Continuité sur un intervalle
Définition
.Une fonction f est dite continue sur un intervalle ouvert ]a,b[ si elle est continue en tout réel de ]a,b[.
.Une fonction f est dite continue sur un intervalle [a,b] si elle est continue sur ]a,b[ ,en a
et b
.
.Une fonction f est dite continue sur un intervalle [a,b[ si elle est continue sur ]a,b[ et en a
.
.Une fonction f est dite continue sur un intervalle ]a,b] si elle est continue sur ]a,b[ et en b
.
Théorème
.La limite ,à l’infini, d’une fonction polynôme est la limite du monôme de plus haut degré.
.La limite,à l’infini,d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des monômes de plus haut degré.
Formes indéterminées
( )
0 , 0x , ( )
0( )
et
sont des formes de limites dont on ne peut prévoir les résultats.
Limites des fonctions trigonométriques
0 0 0
sin( ) 1 cos 1 1
lim ,lim 0,lim ² 2
x x x
ax x cosx
a
x x x
0
tan( )
,lim
x
ax a
x
.
voir verso

Limite et continuité des fonctions composées
Soient u une fonction définie sur ensemble I et v une fonction définie sur un ensemble J contenant u(I).
On définit la fonction
v u
composée de u et v sur I par
( ) ( )v u x v u x
.
Théorème ( continuité des fonctions composées)
Soit u une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et v une fonction définie sur un
intervalle ouvert J contenant le réel u(a).
Si u est continue en a et v est continue en u(a) alors
v u
est continue en a.
Autrement dit,la composée de deux fonction continues est continue.
Théorème (limite d’une fonction composée)
Soient u et v deux fonctions. a et b sont deux réels finis ou infinis.
Si
lim ( )
x a u x b
et
lim ( )
x b v x c
alors
lim ( )
x a v u x c
.
Comparaison des limites
Théorème
u,v et w sont trois fonctions.a est un réel ou infini.
.Si
x a x a
u( x) v( x ) et si limu( x ) l etlimv( x) l' alors l l'
.
.Si
x a x a
u( x) v( x ) et si limu( x ) alors limv( x)
. Si
x a x a
u( x) v( x ) et si limv( x ) alors limu( x )
.
.Si
v( x) u( x) w( x) 
et
x a x a x a
limv( x) limw( x ) l alors limu( x ) l
.
Image d’un intervalle par une fonction continue
Théorème
.L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
.L’image d’un intervalle fermé borné par une fonction continue est un intervalle fermé borné.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soient a et b deux réels tels que a < b.f est une fonction continue sur [a,b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),l’équation f(x)
k admet dans [a,b] au moins une solution.
En particulier si f(a).f(b)<0 alors l’équation f(x)
0 admet dans [a,b] au moins une solution.
Si de plus f est strictement monotone sur [a,b] alors l’équation f(x)
k admet dans [a,b] une unique solution.
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Si f ne s’annule pas sur I alors f garde un signe constant sur I.
Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b[ (b pouvant être infini).
.Si f est croissante et majorée alors f admet une limite finie en b.
.Si f est croissante et non majorée alors
x b
lim f ( x )
.
.Si f est décroissante et minorée alors f admet une limité finie en b.
.Si f est décroissante et non minorée alors
x b
lim f ( x )
.
Théorème
L’image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle de même nature.
Exemples : Si f est strictement décroissante sur [a,b[ alors
x b
f a,b lim f ( x ), f ( a )
.
Si f est strictement croissante sur [a,b[ alors
x b
f a,b f (a ),lim f ( x )
.
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