4ème année * Section : Mathématiques Série d’exercice n°3 : Géométrie Réalisé par : Prof : Dhahbi . A Equation à coefficients complexes EXERCICE N ° 1 : Soit a un nombre complexe non nul et (E) l’équation : : z2 - 2z + 1 + a2 = 0 . 1°/ Résoudre dans l’ensemble C des nombre complexes l’équation (E). 2°/ Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé directe ( o , u , v ) , On considère les points A et B d’affixes respectives 1 + ia et 1 – ia. On pose a = a1 + ia2 ; a1 et a2 des réels a) Montrer que les points O, A et B sont alignés si et seulement si a1 = 0 . b) Montrer que les vecteurs OA et OB sont orthogonaux si et seulement si a = 1. 3°/ On suppose que a = e i ou ] , [ . 2 2 x x i i x x a) Vérifier que pour tout réel x, on a : )e2 ; 1 - e ix = - 2i sin( ) e 2 . 2 2 b) En déduire l’écriture sous forme exponentielle de chacun des nombres complexes 1 + ia et 1 – ia. c) Déterminer a pour que les points O, A et B forment un triangle isocèle rectangle en O. EXERCICE N°2 : 1°/ Résoudre dans C , l'équation z2 + ( 1 - i 3 )z - ( 1 + i 3 ) = 0 ( E) . 2°/ Montrer que les solutions z' et z" de l'équation (E) peuvent s'écrire en fonction de a et b avec : 3i 1 i 3 a= et b = . 2 2 3°/ a) Ecrire a et b sous forme trigonométrique puis représenter les images A(a) et B(b). b) En déduire une construction simple des B( z') et D(z") . c) En utilisant une interprétation géométrique, déterminer les formes trigonométriques de z' et z". 5 5 4°/ Donner les valeurs exactes des cos et sin . 12 12 EXERCICE N °3 : Soit ] - , [et ( E ) l’équation dans C définie par : iz2 + ( 2sin ) z – 2i ( 1 + cos ) = 0 . 1°/ a) Vérifier que: sin2 - 2 ( 1 + cos ) = [ i ( 1 + cos ) ] 2 . b) Résoudre, dans C, l'équation ( E ) d' inconnue z .On note z1 et z2 les solutions de ( E ) avec réel z1 > 0 . z c) Ecrire chacune des solutions z1 et z2 sous forme exponentielle. En déduire que : 2 = e i ( ) . z1 1 + e ix = 2 cos( 2°/ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( o , u , v ) supposé direct . Soient M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 et z2 solution de ( E ) . a) Montrer que M1 et M2 sont symétriques par rapport à la droite (o, v ). b) Déterminer l’ensemble des points M1 quand décrit ] - , [ . c) Déterminer les valeurs de pour que le triangle O M1M2 est équilatéral. EXERCICE N ° 4 : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( o , u , v ) supposé direct . On considère les points A, B et C d’affixes respectives 1, – 1 et i. Soit (O ,1) A tout point M ( z ) on associe par l’application f le point M’( z’ ) tel que : z’ = z ( z 1) z 1 1°/ Déterminer f (C). Montrer que pour tout point M de \ {A}, on a: f (M) = B. 2°/ Déterminer l’ensemble des points invariants par f. 3°/ Soit M un point du plan privé de (AB) et de . Soit M1 = S ( AB ) ( M ) et soit M’ = f (M). a) Montrer que : zM M ' 1 z AM 1 = zz z 1 2 . En déduire que M 1 M ' et AM1 sont orthogonaux. b) Montrer que les vecteurs M 1 M ' et BM ' sont orthogonaux. c) En déduire une construction géométrique de M’. Série d’exercice : nombre complexe 1 Dhahbi . A Série d’exercice : 4éme Maths EXERCICE N °5: Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O, u , v ) . (unité graphique 4cm) 1°/ On considère dans C, l'équation (E): (z2 - 2 3 z + 4) (z2 + 2z + 4) =0 a) Montrer que les solutions de ( E ) sont : a = -1 + i 3 , b = -1 - i 3 , c = 3 - i et d = 3 + i b) Ecrire chacun des nombres précédents sous forme trigonométrique. 2°/ a) Placer dans le plan P les points A d'affixe a , B d'affixe b , C d'affixe c et D d'affixe d . ac b) Soit z = . Calculer z : on précisera son module et on donnera un de ses arguments. d b c) En déduire que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales et que AC = BD. 2in a 3 3°/ Pour tout entier naturel n on note An le point d'affixe an = n e 2 a) Calculer a1, a2, a3 et placer les points A1, A2 et A3. b) * On pose rn = | an | , calculer rn en fonction de n. * En déduire que (rn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. c) Calculer Ln = OA0 + OA1 + .. ……… + OAn en fonction de n. Quelle est la limite de suite (Ln) pour n tendant vers + ? EXERCICE N°6 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ) . On considère pour tout réel ]0, [, l’équation : ( E ) : z2 – 2 i e i z – 4 (1 – i) e 2 i = 0 . 2 1°/ Résoudre l’équation ( E ) dans C. 2°/ On considère les points A, B et C d’affixes respectives 2 e i , – 2 (1 – i) e i et 2i e i . a) Montrer que pour tout ]0, [, le point A appartient à un cercle ( C ) que l’on précisera 2 b) Montrer que OACB est un parallélogramme. d) En déduire une construction du point B à partir de A. 3°/ a) Déterminer en fonction de , le module et un argument de – 2 ( 1 – i ) e i . b) Déterminer l’ensemble des points B lorsque varie dans ] 0 , [. 2 4°/ Soit l’équation ( E' ): ( 2 z - 1) 3 = (- 2 + 2 i) e i z3. a) Déterminer les racines cubiques du nombre complexe (- 2 + 2 i ) e i . b) Soit x ] 0 , [ \ { }. Montrer l’équivalence suivante : 2z 1 2 x = 2 e ix z = (1 + i cotg ( ) ). 2 z 4 c) En déduire les solutions de l’équation ( E' ). EXERCICE N°7: Dans l’ensemble C des nombre complexes on considère l’équation ( Ed ) : z3 + (3 – d2 )z + 2 i ( 1 + d2 ). ou d est un nombre complexe donné de module 2 . 1°/ a) Vérifier que 2i est une solution de Ed. b) Résoudre alors l’équation Ed. 2°/ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe (O , u , v ) , on considère les points A , B , M et N d’affixes respectives 2i ; - i ; - i + d et – i – d. a) Calculer MN et déterminer le milieu de [MN]. b) En déduire que lorsque d varie, les points M et N appartient à un cercle fixe que l’on précisera. c) Dans le cas ou AMN est un triangle, montrer que O est le centre de gravité du triangle AMN. d) En déduire les valeurs de d pour les quelles le triangle AMN est isocèle de sommet principal A. Pour une bonne réussite Série d’exercice : nombre complexe 2 Dhahbi . A 4ème Année * Section : Mathématiques Réalisé par : Prof : Dhahbi . A Série de révision complexe EXERCICE N° 4 : Soit l'équation ( E ) : z3 + ( 3 -i)z2 + ( 1 -i 3 )z - i = 0 1°/ a) Montrer que ( E ) admet une racine imaginaire pure b) Résoudre l'équation ( E ). 2°/ Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé ( o , u , v ) , 3 i 3 i On considère les points A , B et C d'affixe respective i , , . 2 2 a) Ecrire zA, zB, zC sous forme exponentielle. b) Représenter graphiquement A, B, C dans le plan complexe ainsi que le cercle circonscrit au triangle ABC. EXERCICE N°4 : Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ) . Soit le point Ω ( i ) I ) On considère l’équation d’inconnue z C ,(E) :z2 – (2cosθ + i )z + 1 + icosθ + sinθ = 0, θ [0 , [ 2 1°/ Résoudre dans C l’équation (E) . 2°/ Soit le point M d’affixe z = eiθ + i , déterminer l’ensemble Γ des points M lorsque θ varie . II ) On considère l’application fm : P\{Ω} P m m IR* z i 1°/ Déterminer et discuter suivant les valeurs de m, l’ensemble des points invariants par fm . 2°/ Déterminer l’ensemble des points M( z ) tels que z’ soit réel . 3°/ a) Calculer Ω M .ΩM’ et donner une mesure de l’angle ( M , M' ) . b) En déduire que les points Ω , M et M’ sont alignés et que : M . M' = m. 4°/ λ IR*, montrer que f λ o fm est une homothétie que l’on précisera. 5°/Soit M un point de Γ. ( Γ est l’ensemble trouver dans I) 2°/ ) a) Déterminer et construire les points M’ = f -2 ( M ) et M’’ = f 4 ( M’ ) . b) Quelle est l’image du point M par l’homothétie de centre Ω et de rapport -2 ? EXERCICE N ° 10 C est l'ensemble des nombres complexes et le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O,u ,v ), ( unité graphique 1 cm ) 1°/ Vérifier que (1-i )2= -2i et (1+i)2 = 2i 2°/ On considère l'équation (E) définie dans C par z4 – 14 iz2 + 32 = 0 a) Montrer que si le nombre complexe est solution de (E), alors - est aussi une solution de (E) b) Vérifier que, pour tout nombre complexe z, on a : z4 – 14 iz2 +32 = (z2 +2i )(z2- 16i ) . 3°/ En utilisant les questions précédentes, résoudre dans C, l'équation (E). On désignera par z1, z2, z3 et z4 les solutions de (E): z1 et z2 les solutions de parties imaginaires positives et telles que ........ z3 et z4 les solutions de parties imaginaires positives et telles que 4°/ On note M1 , M2 , M3 , M4 les points d'affixes respectives z1 , z2 , z3 , z4 . a) Représenter les points d'affixes respectives z1, z2, z3, z4 . b) Quelle est la nature du quadrilatère M1M2M3M4 ? Justifier la réponse. EXERCICE N ° 9 : Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( o , u , v ) . 1°/ Soit dans P les points M1, M2, M3 d'affixes respectives les complexes z1, z2, z3. M(z) M’(z’) ; z’ – i = Montrer que le triangle M1M2M3 est équilatéral si et seulement si z 1 + jz2 + j2 z3 = 0 ou j = e ou z1 + j2z2 + j z3 = 0 . 2°/ Soit dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (E) : z3 - (1 + a + i a) z2 + a (1 + i + i a)z - i a2 =0 a désigne un paramètre complexe. a) Vérifier que 1 est une solution de (E). i 2 3 b) Calculer les deux autres solutions z' et z" de ( E ). c) Soit dans P les points A, B et C d'affixes de complexe a de manière que le triangle ABC soit équilatéral ( on pourra utiliser la question 1°/ ) EXERCICE N ° 10 : On considère dans C ; l'équation (E): z3 + 3(1-2i) z2 – 3(3+4i) z – 11 - 6i = 0 . 1°/ a ) Montrer que l'équation (E) , possède une solution réelle unique que déterminer . b) Achever la résolution de (E) 2°/ a) Résoudre dans C l'équation z3 = 8i. b) Ecrire les solutions sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique. c) Montrer que l'équation (E) est équivalente à ( z +1 - 2i )3 = 8i . 3°/ Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O, u , v ). a ) A , B et C désignent les images des solutions de (E) . Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. b) Montrer que ABC est un triangle équilatéral EXERCICE N ° 12 : On s'intéresse dans cet exercice aux solutions de l'équation : Z4 – 16 z3 + 90 z2 – 16 z + 89 = 0 (E) dans l'ensemble C des nombres complexes. 1°/ a) Montrer que (E) admet deux solutions imaginaires pures opposés. b ) Résoudre alors l'équation (E) 2°/ Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, u , v ). Soient A, B, C, D les points dont les affixes sont dans l'ordre : 8+5i , i ,-i et 8-5i . a ) Représenter les points A , B , C , D . b) Montrer que le quadrilatère ABCD admet un axe de symétrie. c) Calculer les longueurs AC, BD et AD. EXERCICE N ° 5 : Soit l'équation d'inconnu z. : ( E ) z2 - ( - cos2 t + i cos t sin t ) z - sin2 t - i sin t cos t = 0 t IR 1/ Déterminer t pour que z' = - z". 2/ Déterminer t pour que l'une des solutions soit nulle. 2 3/ Déterminer t pour que | z' z"| = 2 4/ Résoudre ( E ) sachant que l'une des solution est réelle EXERCICE N ° 1 : Soit ] 0 , [et ( E ) l’équation dans C définie par : z2 - ( 3 + i ) e i z + 2 ( 1 + i ) e 2 i = 0 . 2 1°/ a) Résoudre , dans C, l'équation ( E ) d'inconnue z . On note z1 et z2 les solutions de ( E ) avec z1 > z 2 . b) Ecrire la solution z2 sous forme exponentielle. 2°/ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u , v ) supposé direct . On considère les points A , B et C d’affixes respectives 2 e i , ( 1 + i ) e i et e i . a) Montrer que les droites (OA) et (OC) d’une part et (OA) et ( AB ) d’autre part sont perpendiculaires. b) Montrer que OABC est un trapèze rectangle. c) Montrer que l’aire du quadrilatère OABC est un réel indépendant de Pour une bonne réussite Série d’exercice : nombre complexe 3 Dhahbi . A