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4ème année * Section : Mathématiques
Série d’exercice n°3 : Géométrie
Réalisé par : Prof : Dhahbi . A
Equation à coefficients complexes
EXERCICE N ° 1 :
Soit a un nombre complexe non nul et (E) l’équation : : z2 - 2z + 1 + a2 = 0 .
1°/ Résoudre dans l’ensemble C des nombre complexes l’équation (E).
2°/ Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé directe ( o ,
u
,
v
) ,
On considère les points A et B d’affixes respectives 1 + ia et 1 – ia. On pose a = a1 + ia2 ; a1 et a2 des réels
a) Montrer que les points O, A et B sont alignés si et seulement si a1 = 0 .
b) Montrer que les vecteurs
OA
et
OB
sont orthogonaux si et seulement si
a
= 1.
3°/ On suppose que a =
i
e
ou
[
2
,
2
]
.
a) Vérifier que pour tout réel x, on a : 1 +
ix
e
= 2 cos(
2
x
)
2
x
i
e
; 1 -
ix
e
= - 2i sin(
2
x
)
2
x
i
e
.
b) En déduire l’écriture sous forme exponentielle de chacun des nombres complexes 1 + ia et 1 – ia.
c) Déterminer a pour que les points O, A et B forment un triangle isocèle rectangle en O.
EXERCICE N°2 :
1°/ Résoudre dans C , l'équation z2 + ( 1 - i
3
)z - ( 1 + i
3
) = 0 ( E) .
2°/ Montrer que les solutions z' et z" de l'équation (E) peuvent s'écrire en fonction de a et b avec :
a =
2
3i
et b =
231 i
.
3°/ a) Ecrire a et b sous forme trigonométrique puis représenter les images A(a) et B(b).
b) En déduire une construction simple des B( z') et D(z") .
c) En utilisant une interprétation géométrique, déterminer les formes trigonométriques de z' et z".
4°/ Donner les valeurs exactes des cos
12
5
et sin
12
5
.
EXERCICE N °3 :
Soit  ] -  ,  [et ( E ) l’équation dans C définie par : iz2 + ( 2sin ) z – 2i ( 1 + cos  ) = 0 .
1°/ a) Vérifier que: sin2 - 2 ( 1 + cos  ) = [ i ( 1 + cos  ) ] 2 .
b) Résoudre, dans C, l'équation ( E ) d' inconnue z .On note z1 et z2 les solutions de ( E ) avec réel z1 > 0 .
c) Ecrire chacune des solutions z1 et z2 sous forme exponentielle. En déduire que :
1
2
z
z
=
)( i
e
.
2°/ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( o ,
u
,
v
) supposé direct .
Soient M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 et z2 solution de ( E ) .
a) Montrer que M1 et M2 sont symétriques par rapport à la droite (o,
v
).
b) Déterminer l’ensemble des points M1 quand  décrit ] -  ,  [ .
c) Déterminer les valeurs de  pour que le triangle O M1M2 est équilatéral.
EXERCICE N ° 4 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( o ,
u
,
v
) supposé direct .
On considère les points A, B et C d’affixes respectives 1, – 1 et i. Soit
)1,(O
A tout point M ( z ) on associe par l’application f le point M’( z’ ) tel que : z’ =
1)1( zzz
1°/ Déterminer f (C). Montrer que pour tout point M de \ {A}, on a: f (M) = B.
2°/ Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
3°/ Soit M un point du plan privé de (AB) et de . Soit M1 =
)(
)( MS AB
et soit M’ = f (M).
a) Montrer que :
1
1'
AM
MM
z
z
=
2
1 z
zz
. En déduire que
'
1MM
et
1
AM
sont orthogonaux.
b) Montrer que les vecteurs
'
1MM
et
'BM
sont orthogonaux.
c) En déduire une construction géométrique de M’.
Série d’exercice : nombre complexe 1 Dhahbi . A

Série d’exercice : 4éme Maths
EXERCICE N °5:
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O,
u
,
v
) . (unité graphique 4cm)
1°/ On considère dans C, l'équation (E): (z2 - 2
3
z + 4) (z2 + 2z + 4) =0
a) Montrer que les solutions de ( E ) sont : a = -1 + i
3
, b = -1 - i
3
, c =
3
- i et d =
3
+ i
b) Ecrire chacun des nombres précédents sous forme trigonométrique.
2°/ a) Placer dans le plan P les points A d'affixe a , B d'affixe b , C d'affixe c et D d'affixe d .
b) Soit z =
bd ca
. Calculer z : on précisera son module et on donnera un de ses arguments.
c) En déduire que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales et que AC = BD.
3°/ Pour tout entier naturel n on note An le point d'affixe an =
3
2
2
in
ne
a
a) Calculer a1, a2, a3 et placer les points A1, A2 et A3.
b) * On pose rn = | an | , calculer rn en fonction de n.
* En déduire que (rn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
c) Calculer Ln = OA0 + OA1 + .. ……… + OAn en fonction de n.
Quelle est la limite de suite (Ln) pour n tendant vers +  ?
EXERCICE N°6 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ,
u
,
v
) .
On considère pour tout réel ]0,
2
[, l’équation : (
E
) : z2 – 2 i
i
e
z – 4 (1 – i)
i
e2
= 0 .
1°/ Résoudre l’équation (
E
) dans C.
2°/ On considère les points A, B et C d’affixes respectives 2
i
e
, – 2 (1 – i)
i
e
et 2i
i
e
.
a) Montrer que pour tout ]0,
2
[, le point A appartient à un cercle ( C ) que l’on précisera
b) Montrer que OACB est un parallélogramme.
d) En déduire une construction du point B à partir de A.
3°/ a) Déterminer en fonction de , le module et un argument de – 2 ( 1 – i )
i
e
.
b) Déterminer l’ensemble des points B lorsque varie dans ] 0 ,
2
[.
4°/ Soit l’équation (
'
E
): (
2
z - 1) 3 = (- 2 + 2 i)
i
e
z3.
a) Déterminer les racines cubiques du nombre complexe (- 2 + 2 i )
i
e
.
b) Soit x ] 0 , [ \ { }. Montrer l’équivalence suivante :
z
z12 
=
2
ix
e
z =
4
2
(1 + i cotg (
2
x
) ).
c) En déduire les solutions de l’équation (
'
E
).
EXERCICE N°7:
Dans l’ensemble C des nombre complexes on considère l’équation ( Ed ) : z3 + (3 – d2 )z + 2 i ( 1 + d2 ).
ou d est un nombre complexe donné de module 2 .
1°/ a) Vérifier que 2i est une solution de Ed.
b) Résoudre alors l’équation Ed.
2°/ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe (O ,
u
,
v
) ,
on considère les points A , B , M et N d’affixes respectives 2i ; - i ; - i + d et – i – d.
a) Calculer MN et déterminer le milieu de [MN].
b) En déduire que lorsque d varie, les points M et N appartient à un cercle fixe que l’on précisera.
c) Dans le cas ou AMN est un triangle, montrer que O est le centre de gravité du triangle AMN.
d) En déduire les valeurs de d pour les quelles le triangle AMN est isocèle de sommet principal A.
Pour une bonne réussite
Série d’exercice : nombre complexe 2 Dhahbi . A

Année * Section : Mathématiques
ème
4
Série de révision
Réalisé par : Prof : Dhahbi . A
complexe
EXERCICE N° 4 :
Soit l'équation ( E ) : z3 + (
3
-i)z2 + ( 1 -i
3
)z - i = 0
1°/ a) Montrer que ( E ) admet une racine imaginaire pure
b) Résoudre l'équation ( E ).
2°/ Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé ( o ,
u
,
v
) ,
On considère les points A , B et C d'affixe respective i ,
2
3i
,
2
3i
.
a) Ecrire zA, zB, zC sous forme exponentielle.
b) Représenter graphiquement A, B, C dans le plan complexe ainsi que le cercle circonscrit au triangle
ABC.
EXERCICE N°4 :
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ,
u
,
v
) . Soit le point Ω ( i )
I ) On considère l’équation d’inconnue z C ,(E) :z2 – (2cosθ + i )z + 1 + icosθ + sinθ = 0, θ [0 ,
2
[
1°/ Résoudre dans C l’équation (E) .
2°/ Soit le point M d’affixe z = eiθ + i , déterminer l’ensemble Γ des points M lorsque θ varie .
II ) On considère l’application fm : P\{Ω} P
M(z) M’(z’) ; z’ – i =
izm
m  IR*
1°/ Déterminer et discuter suivant les valeurs de m, l’ensemble des points invariants par fm .
2°/ Déterminer l’ensemble des points M( z ) tels que z’ soit réel .
3°/ a) Calculer Ω M .ΩM’ et donner une mesure de l’angle (
M
,
'M
) .
b) En déduire que les points Ω , M et M’ sont alignés et que :
M
.
'M
= m.
4°/ λ  IR*, montrer que f λ o fm est une homothétie que l’on précisera.
5°/Soit M un point de Γ. ( Γ est l’ensemble trouver dans I) 2°/ )
a) Déterminer et construire les points M’ = f -2 ( M ) et M’’ = f 4 ( M’ ) .
b) Quelle est l’image du point M par l’homothétie de centre Ω et de rapport -2 ?
EXERCICE N ° 10
C est l'ensemble des nombres complexes et le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O,u ,v ), (
unité graphique 1 cm )
1°/ Vérifier que (1-i )2= -2i et (1+i)2 = 2i
2°/ On considère l'équation (E) définie dans C par z4 – 14 iz2 + 32 = 0
a) Montrer que si le nombre complexe  est solution de (E), alors - est aussi une solution de (E)
b) Vérifier que, pour tout nombre complexe z, on a : z4 – 14 iz2 +32 = (z2 +2i )(z2- 16i ) .
3°/ En utilisant les questions précédentes, résoudre dans C, l'équation (E).
On désignera par z1, z2, z3 et z4 les solutions de (E):
z1 et z2 les solutions de parties imaginaires positives et telles que ........
z3 et z4 les solutions de parties imaginaires positives et telles que
4°/ On note M1 , M2 , M3 , M4 les points d'affixes respectives z1 , z2 , z3 , z4 .
a) Représenter les points d'affixes respectives z1, z2, z3, z4 .
b) Quelle est la nature du quadrilatère M1M2M3M4 ? Justifier la réponse.
EXERCICE N ° 9 :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( o ,
u
,
v
) .
1°/ Soit dans P les points M1, M2, M3 d'affixes respectives les complexes z1, z2, z3.
Montrer que le triangle M1M2M3 est équilatéral si et seulement si z 1 + jz2 + j2 z3 = 0 ou j =
3
2
i
e
ou z1 + j2z2 + j z3 = 0 .
2°/ Soit dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation
(E) : z3 - (1 + a + i a) z2 + a (1 + i + i a)z - i a2 =0 a désigne un paramètre complexe.
a) Vérifier que 1 est une solution de (E).

b) Calculer les deux autres solutions z' et z" de ( E ).
c) Soit dans P les points A, B et C d'affixes de complexe a de manière que le triangle ABC soit équilatéral
( on pourra utiliser la question 1°/ )
EXERCICE N ° 10 :
On considère dans C ; l'équation (E): z3 + 3(1-2i) z2 – 3(3+4i) z – 11 - 6i = 0 .
1°/ a ) Montrer que l'équation (E) , possède une solution réelle unique que déterminer .
b) Achever la résolution de (E)
2°/ a) Résoudre dans C l'équation z3 = 8i.
b) Ecrire les solutions sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique.
c) Montrer que l'équation (E) est équivalente à ( z +1 - 2i )3 = 8i .
3°/ Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O,
u
,
v
).
a ) A , B et C désignent les images des solutions de (E) .
Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
b) Montrer que ABC est un triangle équilatéral
EXERCICE N ° 12 :
On s'intéresse dans cet exercice aux solutions de l'équation :
Z4 – 16 z3 + 90 z2 – 16 z + 89 = 0 (E) dans l'ensemble C des nombres complexes.
1°/ a) Montrer que (E) admet deux solutions imaginaires pures opposés.
b ) Résoudre alors l'équation (E)
2°/ Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,
u
,
v
).
Soient A, B, C, D les points dont les affixes sont dans l'ordre : 8+5i , i ,-i et 8-5i .
a ) Représenter les points A , B , C , D .
b) Montrer que le quadrilatère ABCD admet un axe de symétrie.
c) Calculer les longueurs AC, BD et AD.
EXERCICE N ° 5 :
Soit l'équation d'inconnu z. : ( E ) z2 - ( - cos2 t + i cos t sin t ) z - sin2 t - i sin t cos t = 0 t  IR
1/ Déterminer t pour que z' = - z".
2/ Déterminer t pour que l'une des solutions soit nulle.
3/ Déterminer t pour que | z' z"| =
2
2
4/ Résoudre ( E ) sachant que l'une des solution est réelle
EXERCICE N ° 1 :
Soit  ] 0 ,
2
[et ( E ) l’équation dans C définie par : z2 - ( 3 + i )
i
e
z + 2 ( 1 + i )
i
e2
= 0 .
1°/ a) Résoudre , dans C, l'équation ( E ) d'inconnue z .
On note z1 et z2 les solutions de ( E ) avec
1
z
>
2
z
.
b) Ecrire la solution z2 sous forme exponentielle.
2°/ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O,
u
,
v
) supposé direct .
On considère les points A , B et C d’affixes respectives 2
i
e
, ( 1 + i )
i
e
et
i
e
.
a) Montrer que les droites (OA) et (OC) d’une part et (OA) et ( AB ) d’autre part sont
perpendiculaires.
b) Montrer que OABC est un trapèze rectangle.
c) Montrer que l’aire du quadrilatère OABC est un réel indépendant de 
Pour une bonne réussite
Série d’exercice : nombre complexe 3 Dhahbi . A