MASTER RECHERCHE « GESTION DES RISQUES EN FINANCE ET ASSURANCE »

MASTER RECHERCHE
« GESTION DES RISQUES
EN FINANCE ET ASSURANCE »
COURS DE MISE A NIVEAU
POUR ETUDIANTS ISC
COURS
D’ ECONOMETRIE

Statistiques et Econométrie - chapitre 1 : Variables aléatoires et lois de probabilité 2
Contents
Chapitre 1 : Variables aléatoires et lois de probabilité 3
A.Notionsdeprobabilité(rappels)..................................... 3
B.Variablesaléatoiresdiscrètesetabsolumentcontinues......................... 3
C.Loisusuelles................................................ 5
D.Couplesdevariablesaléatoires...................................... 6
E.Théorèmesdeconvergence ........................................ 7
Chapitre 2: Echantillonnage 8
Introduction: quelques définitions...................................... 8
A.Moyenned’échantillon .......................................... 8
B.Proportiond’échantillon ......................................... 9
C.Variancesdansunéchantillon ...................................... 10
Chapitre 3: Estimation et tests 13
AEstimation:généralités.......................................... 13
BTests:généralités ............................................. 14
CApplications:estimationsettestsparamétriques............................ 15
D.Quelquestestsnonparamétriques.................................... 21
Chapitre 4: Régression linéaire 23
ALarégressionlinéairesimple ....................................... 23
BLemodèlederégressionmultiple..................................... 27
CPrévision(prédiction)........................................... 30
DVariablesexplicativesparticulières.................................... 31
Annexe 1 : alphabet grec et quelques utilisations typiques en statistiques ou économétrie 33
Annexe2: Calculssurlessommesdecarrés 34
Annexe 3 : Statistiques descriptives et régression linéaire simple 35
Autres “Statistiques de la régression”.................................... 35
“ANALYSEDEVARIANCE”........................................ 35
Annexe 4 : Notations, rappels et compléments de calcul matriciel 36
Vecteursetmatricesparticuliers ...................................... 36
Transposée .................................................. 36
Produitscalaire................................................ 36
Produit d’une matrice Apar un vecteur X................................ 36
Produit de deux matrices Aet B...................................... 36
Matrice de variance-covariance d’un vecteur X.............................. 37
Statistiquesdescriptivessurunensembledevariables........................... 37
Opérations vectorielles sur espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Statistiques et Econométrie - chapitre 1 : Variables aléatoires et lois de probabilité 3
Chapitre 1 : Variables aléatoires et lois de probabilité
A.Notionsdeprobabilité(rappels)
1◦)Espace probabilisé (Ω,a,P)
Ω:espace fondamental :fini ou infini, discret (dénombrable) ou continu
ω∈Ω:événement élémentaire
@≡P(Ω):tribu des parties de Ω
A∈@⇔A⊂Ω:événement complexe (composé)
P:@→[0; 1]
A7→P(A)=P(ω∈A)loi de probabilité sur @P(A)= P
ω∈A
P(ω)dans la cas discret
équiprobabilité ⇔P(ω)= 1
CardΩ∀ω∈Ω(n’a de sens que si Ωfini)
uniformité ⇔P(A)=“Taille”(A)
“Taille”(Ω)∀A∈@avec “Taille”=longueur si Ω⊂R; “Taille”=surface si Ω⊂R2
2◦)Axiomes de probabilités et règles de calcul des probabilités
∀A⊂Ω,0≤P(A)≤1P(Ω)=1 P(∅)=0
si A∩B=∅⇒P(A∪B)=P(A)+P(B)
P¡A¢=1−P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
3◦)Probabilités conditionnelles et indépendance
P(A/B)=P(A∩B)
P(B)
P(A∩B)=P(A/B).P (B)=P(B/A).P (A)
Aet Bindépendants ⇔P(A∩B)=P(A).P (B)⇔P(A/B)=P(A)⇔P(B/A)=P(B)
4◦)Théorème de Bayes
P(B/A)≡P(A/ B).P (B)
P(A)=P(A/ B).P (B)
P(A/ B).P (B)+P(A/ B).P (B)
B. Variables aléatoires discrètes et absolument continues
1◦)Définitions
•X:Ω→R
ω7→X(ω):variable aléatoire réelle (v.a.r.) : fonction définie par: ensemble de départ, ensem-
ble d’arrivée et correspondance : ω7→X(ω)∀ω∈Ω
•X(ω)=x∈R=réalisation de X=valeur prise par Xune fois la tirage réalisé (et ωconnu).
•X(Ω)=support de X={X(ω),ω ∈Ω}
•Xdiscrète ⇔X(Ω)discret Xabsolument continue ⇔X(Ω)continu
•Fonction de répartition :FX:R→[0; 1]
x7→FX(x)≡P(X≤x)=P({ω∈Ω/X(ω)≤x})
∀x∈R,0≤FX(x)≤1
FXcontinue à droite: FX(x0)= lim
dx→0+FX(x0+dx)
FXcroissante (au sens large) FX(−∞)=0 FX(+∞)=1

Statistiques et Econométrie - chapitre 1 : Variables aléatoires et lois de probabilité 4
Cas discret Cas continu
Loi∗distribution de probabilité densité
PX:X(Ω)→[0; 1]
x7→PX(x)≡P(X=x)
=P
ω/X(ω)=x
P(ω)
fX:R→R+
x7→fX(x)≡F0
X(x)
=lim
dx→0+
P(x≤X≤x+dx)
dx
Calcul de FXFX(x0)= P
x≤x0
PX(x)FX(x0)=Rx0
−∞ fX(x)dx
Espérance∗∗ µX=EX=E(X)≡P
x∈X(Ω)
xPX(x)µX≡R+∞
−∞ xfX(x)dx
Variance∗∗ VX=V(X)≡E³(X−EX)2´=E¡X2¢−(EX)2
VX=P
x∈X(Ω)
(x−EX)2PX(x)VX=R+∞
−∞ (x−EX)2fX(x)dx
=P
x∈X(Ω)
x2PX(x)−(EX)2=R+∞
−∞ x2fX(x)dx −(EX)2
Remarques: ∗On peut considérer que PXest définie sur R,Nou Z,avecPX(x)=0 ∀x/∈X(Ω).
∗∗ Il existe des v.a.r. (discrètes ou continues) X/EXn’est pas définie ou VXn’est pas définie (car
la somme ou l’intégrale correspondante diverge).
•Ecart-type :σX=σ(X)≡√VX=rE³(X−EX)2´
2◦)Probabilités et statistiques descriptives
Probabilités (théorie) Statistiques descriptives (concret)
Espace ΩPopulation P
Probabilité d’un événement % de cas où l’événement est réalisé
Loi théorique (PXou fX;FX)Répartition empirique des valeurs (histogramme)∗
Espérance Moyenne empirique
Variance Variance empirique
* : Dans les populations de petite taille, on regroupe généralement les observations dans des classes (intervalles
de valeurs).
3◦)Opérations sur les v.a.r.
Soient : une v.a.r. X:Ω→Ret une fonction g:Dg⊂R→Img⊂R,ondéfinit la v.a.r. Y=g(X):
Y:Ω→R
ω7→Y(ω)≡g(X(ω)) .Alors:
EX(Y)≡EX(g(X)) ≡
P
x∈X(Ω)
g(x)PX(x)si Xdiscrète
R+∞
−∞ g(x)fX(x)dx si Xcontinue
Attention : en général, EX(g(X)) 6=g(EX(X))
Applications:
Moment non centré d’ordre k:E¡Xk¢,pourk∈N∗
Moment centré d’ordre k:E³(X−EX)k´,pourk∈N∗
4◦)Changement de variables
Soit Y=g(X),aveclesnotationsdu3
◦).Alors:
•FY(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)
=FX¡g−1(y)¢si ginversible (sinon, il faut réfléchir au cas par cas).
•fY(y)=fX(g−1(y))
g0(g−1(y)) si ginversible

Statistiques et Econométrie - chapitre 1 : Variables aléatoires et lois de probabilité 5
5◦)Propriétés de l’espérance et de la variance
Soient X:Ω→Rune v.a.r. et (a.b)∈R2,alors:
•E(a+bX)=a+bEXet
•V(a+bX)=b2VX
C. Lois usuelles
1◦)Cas discret
Bernoulli :XÃB(p),p∈[0; 1]
X(Ω)={0; 1}P(X=1)=pP(X=0)=1−pEX=pVX=p. (1 −p)
Binomiale :XÃB(n, p),n∈N∗,p∈[0; 1]
X(Ω)={0; 1; 2...n}P(X=k)=Ck
npk(1 −p)n−k∀k=0,...n
EX=np VX=np. (1 −p)
Si X1,X2,...XnÃB(p)indépendantes,alorsUn≡n
P
i=1
XiÃB(n, p)
Poisson :XÃP(λ),λ∈R+∗
X(Ω)=NP(X=k)=e−λλk
k!∀k∈NEX=λVX=λ
Si XÃB(n, p),avecngrand (>20 à50)etnp petit (<5à7), alors Xsuit approximativement une loi de
Poisson (λ=np), et P(X=k)≈e−np(np)k
k!
Si XÃB(n, p),avecnet np grands (>7à10), alors Xsuit approximativement une loi normale (µ=np,
σ2=np (1 −p))
Géométrique :XÃG(p),p∈[0,1]
X(Ω)=N∗P(X=k)=p(1 −p)k−1∀k∈N∗EX=1
pVX=1 p³1 p−1´=1−p
p2
Hypergéométrique :XÃH(N,n1,n
2),(N,n1,n 2)∈N3,0<n 2<n 1<N
X(Ω)={0; 1; ...n2}P(X=k)=Ck
n2Cn1−k
N−n2
Cn1
N∀k=0,1,...n
2
EX=n1n2
NVX=n1n2 N¡1−n1 N¢³1−n2−1 N−1´=n1n2(N−n1)(N−n2)
N2(N−1) (inutile de retenir ces formules)
2◦)Cas continu
Uniforme :XÃUa,b,(a, b)∈R2,a<b
X(Ω)=[a;b]f(x)= 1
b−a∀x∈[a;b]EX=a+b 2VX=(b−a)2 12
Normale centrée réduite :XÃN(0,1)
X(Ω)=Rf(x)=e−x2
2
√2π∀x∈REX=0 VX=1
Normale :XÃN¡µ, σ2¢,µ∈R,σ
2∈R+∗
X(Ω)=Rf(x)=e−(x−µ)2
2σ2
√2πσ ∀x∈REX=µVX=σ2
Attention : on trouve aussi la notation : XÃN(µ, σ)