maths fiches de synthese

Fiches de synthèse pour les Mathématiques
Rémi CHEVAL
11 juin 2013
1 Méthodes sur les fonctions vues en première (page 29)
1.1 Fonctions définies par morceaux
– On peut vous demander d’étudier la continuité et la dérivabilité en certains points pour des
fonctions utilisant la valeur absolue par exemple :
f(x)=1−x2=1−x2si x∈[−1; 1]
x2−1si x∈R[−1; 1]
1.2 Continuité, dérivabilité et équation de tangente
Continuité en a∈R:fest continue en a
⇐⇒ lim
x→a
x<a
f(x)=lim
x→a
a<x
f(x)=f(a)
Dérivabilité en a∈R:Nous allons étudier le taux d’accroissement (TA) : f(x)−f(a)
x−a
1. Le TA n’admet pas de limite quand x→aÔ⇒ Absence de tangente.
2. Le TA tend vers ±∞quand x→aÔ⇒ Tangente verticale : x=a
3. Le TA admet une limite finie f′(a)en aÔ⇒ y=f′(a)⋅(x−a)+f(a)
Remarques :
– L’équation admet bien f′(a)comme coefficient directeur et passe par (a;f(a))
– La seule fonction qui pose un problème pour la dérivabilité est : xz→√xen 0.
1.3 Calculs des dérivées et des primitives
–La composée : (u○v)′(x)=(u′○v)(x)×v′(x)
On considère que uest l’extérieur et vest l’intérieur. Dans ce cas, la dérivée d’une composée est :
La dérivée de l’extérieur appliquée à l’intérieur ×La dérivée de l’intérieur
–Les fonctions puissances : ∀n∈Q,(xz→xn)′(x)=n⋅xn−1
–Le produit : (u×v)′(x)=u′(x)×v(x)+u(x)×v′(x)
–Fonctions auxiliaires :
●exp′(x)=exp(x)●ln′(x)=1
x●sin′(x)=cos(x)●cos′(x)=−sin(x)
ei⋅θ=cos(x)
f+i⋅sin(x)
gÔ⇒ i⋅ei⋅θ=−sin(x)
Dérivée de f+i⋅cos(x)
Dérivée de g
1

1.4 Le Tableau d’entraînement
Primitives +1Fonctions Dérivées −1
1
3×3 2⋅x+32
2
9×3 2⋅x+33
1
6×3 2⋅x+34
4
6×3 2⋅x+33/2
3
2⋅x+3
3
2⋅x+32
3
2⋅x+33
3
2⋅x+3
3
2×(1)×1
3
2×(2)×3 2⋅x+3
3
2×(3)×3 2⋅x+32
3
2×1 2×1
3
2⋅x+3
2
3×ln 3 2⋅x+3
−2
3×1
3
2⋅x+3
−1
3×1
3
2⋅x+32
4
3×3 2⋅x+3
1
3
2⋅x+3
1
3
2⋅x+32
1
3
2⋅x+33
1
3
2⋅x+3
3
2×(−1)×1
3
2⋅x+32
3
2×(−2)×1
3
2⋅x+33
3
2×(−3)×1
3
2⋅x+34
3
2×−1 2×1
3
2⋅x+33/2
1.5 Les Éléments de symétrie
●Mnémotechnique : La fonction x↦x2est paire, x↦x3est impaire, comme les exposants.
Soit Dfl’ensemble de définition des fonctions suivantes.
●Parité des fonctions :
Les fonctions impaires Les fonctions paires
Dfcentré en 0et ∀x∈Df, f (−x)=−f(x)Dfcentré en 0et ∀x∈Df, f (−x)=f(x)
Symétrie centrale de centre (0; 0)Symétrie axiale d’axe d’équation : x=0
●Autres éléments de symétrie : ! ! Faites des schémas ! !
Symétrie centrale de centre (a;b)Symétrie d’axe d’équation : x=a
Dfdoit être centré en aet ∀(a+x)∈DfDfdoit être centré en aet ∀(a+x)∈Df
f(a+x)−b=b−f(a−x)f(a+x)=f(a−x)
2

1.6 Limites en ±∞(Étude asymptotique)
●Je préfère vous donner toutes les armes pour affronter les calculs de limites.
1. Factorisation par le terme dominant : lim
xÐ→±∞
x2−3x
x+1
2. Expression conjuguée : lim
xÐ→+∞ x−√x2+1=lim xÐ→+∞ (x−√x2+1)⋅x+√x2+1
x+√x2+1
3. Théorème de comparaisons des limites : lim
xÐ→±∞ x+sin(x)
4. Se ramener par un changement de variable en 0:
lim
xÐ→+∞ x×sin 1
x=lim
XÐ→0+
sin(X)
X
1.7 Limites en a∈R(Étude locale)
Première situation : lim
xÐ→af(x)=0
0
1. Factorisation de vos polynômes par (x−a):lim
xÐ→3
2x2+x−21
x2−9
2. Taux d’accroissement : lim
xÐ→1
sin (2⋅(x−1))
x−1; lim
xÐ→0
sin (x)
x; lim
xÐ→1√x+3−2
x−1
3. Théorème de comparaisons des limites : lim
xÐ→0x2×sin 1
x
Seconde situation : lim
xÐ→af(x)=α
0
– Il suffit dans ce cas d’étudier le signe de αet de faire correctement la différence entre les cas
a−et a+pour le passage à l’inverse du 10.
lim
xÐ→ −2
−2<x
x−5
x2−4et lim
xÐ→ −2
x<−2
x−5
x2−4
1.8 Étude du signe de certaines dérivées
Cette section peut paraître très simple mais je préfère vous rappeler les méthodes classiques pour
étudier le signe de vos dérivées et en déduire les variations de votre fonction :
–Tous les résultats sur l’étude des polynômes, surtout ceux du second degré.
–∀x∈R,−1≤cos(x)≤1et −1≤sin(x)≤1
–Pensez à dériver une seconde fois si vous ne trouvez vraiment pas de solution et à
considérer αle réel où votre dérivée s’annule si vous ne savez pas trouver sa valeur
précise :
Étudier les variations de fdéfinie sur Rpar : f(x)=2ex+x2+1
3

1.9 Les asymptotes — verticales, horizontales et/ou obliques
–Verticale : lim
xÐ→af(x)=±∞ Ô⇒ x=a
–Horizontale : lim
xÐ→±∞ f(x)=bÔ⇒ y=b
–Oblique : lim
xÐ→±∞ f(x)−(a⋅x+b) =0Ô⇒ y=a⋅x+b
1.10 Positions relatives des courbes Cfet Cg
– Cette méthode peut être utilisé entre deux courbes et en particulier pour l’étude de la position
de la courbe par rapport à une asymptote oblique ou horizontale :
Étude du signe de f(x)−g(x)
1.11 Montrer qu’une équation f(x)=kadmet une solution unique et en
donner une approximation
Théorème 1.1 (Valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones). .
–Si fest continue et strictement monotone sur un intervalle Ivers un intervalle J=f(I)
–Alors ∀k∈J,
f(x)=kadmet une solution unique sur I
1.12 Utiliser la méthode d’Euler
f(α+h)=f′(α)×h+f(α)
4

2 Méthodes sur les fonctions exp et ln (pages 56 et 213)
2.1 Définitions et propriétés de ces fonctions
Définition 2.1 (La fonction exponentielle). La fonction exponentielle est l’unique fonction fdéfinie
et dérivable sur Rqui vérifie :
f(0)=1
∀x∈Rf′(x)=f(x)
– On note cette fonction exponentielle de la manière suivante : exp(x)ou ex.
– On verra par la suite pourquoi nous utilisons la seconde notation ex.
Définition 2.2 (La fonction logarithme népérien). La fonction logarithme népérien est la bijec-
tion réciproque de la fonction exponentielle. Cela permet d’en déduire les propriétés suivantes :
1. L’ensemble de définition de ln est ]0; +∞[
2. ∀x∈R,ln(ex)=xet ∀x>0, eln(x)=x
3. Les courbes représentatives de xz→ln(x)et xz→exsont symétriques axialement par rapport à
la droite d’équation y=x.
●Propriétés de la fonction exponentielle : ∀(x;y)∈R2,∀n∈N,∀p∈Q
exp(x)∗exp(y)=exp(x+y);exp(x)
exp(y)=exp(x−y); exp(p∗x)=(exp(x))p
lim
xÐ→ −∞ exp(x)=0 ; lim xÐ→ +∞ exp(x)=+∞ ;lim xÐ→ +∞
exp(x)
xn=+∞ ;lim
xÐ→ −∞ xn⋅exp(x)=0
●Propriétés de la fonction logarithme népérien : ∀(x;y)∈R2,∀n∈N,
ln(x∗y)=ln(x)+ln(y); ln x
y=ln(x)−ln(y); ln(xp)=p∗ln(x)
lim
xÐ→ 0+ln(x)=−∞; lim
xÐ→ +∞ ln(x)=+∞;lim xÐ→ +∞
ln(x)
xn=0;lim
xÐ→ 0+xn⋅ln(x)=0
2.2 Étude du signe d’une fonction
–Utilisation de la croissance des deux fonctions :
e2x+1−1≥0⇐⇒ e2x+1≥1⇐⇒ 2x+1≥0⇐⇒ x≥−1
2
–Factorisation des exponentielles : En utilisant exp(x)∗exp(y)=exp(x+y), fac-
toriser à l’extérieur par exp(x)revient à enlever xà l’intérieur de vos exponentielles. Et puis
ensuite, vous avez la chance que votre exp(x)soit toujours positif.
–Enlever des puissances avec le ln :En utilisant ln(px)=x∗ln(p), vous pouvez
facilement descendre les termes en xen utilisant la fonction ln(x).
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