maths fiches de synthese

Fiches de synthèse pour les Mathématiques
Rémi CHEVAL
11 juin 2013
1
Méthodes sur les fonctions vues en première (page 29)
1.1
Fonctions définies par morceaux
– On peut vous demander d’étudier la continuité et la dérivabilité en certains points pour des
fonctions utilisant la valeur absolue par exemple :
f (x)
1.2
=
∣ 1 − x2 ∣
1 − x2
x2 − 1
{
si x ∈ [−1; 1]
si x ∈ R/[−1; 1]
Continuité, dérivabilité et équation de tangente
Continuité en a ∈ R :
f est continue en a
⇐⇒
lim f (x)
=
x→a
x<a
lim f (x)
=
x→a
a<x
f (a)
f (x) − f (a)
x − a
Le TA n’admet pas de limite quand x → a
Ô⇒
Absence de tangente.
Le TA tend vers ±∞ quand x → a
Ô⇒
Tangente verticale : x = a
Le TA admet une limite finie f ′ (a) en a Ô⇒
y = f ′ (a) ⋅ (x − a) + f (a)
Dérivabilité en a ∈ R :
1.
2.
3.
=
Nous allons étudier le taux d’accroissement (TA) :
Remarques :
– L’équation admet bien f ′ (a) comme coefficient directeur et passe par ( a; f (a) )
√
– La seule fonction qui pose un problème pour la dérivabilité est : x z→ x en 0.
1.3
Calculs des dérivées et des primitives
(u ○ v) (x)
=
′
– La composée :
(u′ ○ v) (x) × v ′ (x)
On considère que u est l’extérieur et v est l’intérieur. Dans ce cas, la dérivée d’une composée est :
La dérivée de l’extérieur appliquée à l’intérieur × La dérivée de l’intérieur
– Les fonctions puissances :
(u × v) (x)
′
– Le produit :
∀n ∈ Q,
=
(x z→ xn ) (x)
′
u′ (x) × v(x)
+
=
n ⋅ xn−1
u(x) × v ′ (x)
– Fonctions auxiliaires :
● exp′ (x) = exp(x)
ei⋅θ
=
cos(x)
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹¶
f
ln′ (x) =
●
+ i ⋅ sin(x)
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¶
Ô⇒
1
x
●
i ⋅ ei⋅θ
g
sin′ (x) = cos(x)
=
− sin(x)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
●
Dérivée de f
1
cos′ (x) = − sin(x)
+ i⋅
cos(x)
´¹¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹¶
Dérivée de g
1.4
Le Tableau d’entraînement
Primitives
1
3
2
9
1
6
4
6
+1
Fonctions
×
(
2
3
⋅x+3 )
2
(
3
⋅x+3 )
2
×
3
3
( ⋅x+3 )
2
(
2
3
⋅x+3 )
2
×
4
3
( ⋅x+3 )
2
3
3
( ⋅x+3 )
2
√
3
⋅x+3
2
3/2
3
( ⋅x+3 )
2
×
2
3
3
× ln ∣ ⋅ x + 3 ∣
2
2
1
−
×
3
3
2 ⋅x+3
−
1
3
4
3
1.5
●
×
( 32
√
×
3
2
3
2
×
(1)
×
×
(2)
×
(
3
2
3
2
×
(3)
×
(
×
1
( )
2
×
3
2
×
(−1)
×
2
3
2
×
(−2)
×
3
3
2
×
(−3)
×
1
3
2 ⋅x+3
1
( 23 ⋅ x + 3)
1
1
2
⋅ x + 3)
( 23 ⋅ x + 3)
3
⋅x+3
2
√
3
2
1
3
2
−1
Dérivées
⋅x+3
×
1
(− )
2
×
1
3
⋅x+3 )
2
2
3
⋅x+3 )
2
1
√
3
2 ⋅x+3
1
2
( 32 ⋅ x + 3 )
1
3
( 32 ⋅ x + 3 )
1
( 32 ⋅ x + 3 )
4
1
3/2
( 23 ⋅ x + 3 )
Les Éléments de symétrie
La fonction x ↦ x2 est paire, x ↦ x3 est impaire, comme les exposants.
Mnémotechnique :
Soit Df l’ensemble de définition des fonctions suivantes.
●
Parité des fonctions :
Les fonctions impaires
Df centré en 0 et ∀x ∈ Df ,
Les fonctions paires
f (−x) = −f (x)
Df centré en 0 et ∀x ∈ Df ,
Symétrie centrale de centre (0; 0)
●
Autres éléments de symétrie :
Symétrie centrale de centre
Symétrie axiale d’axe d’équation : x = 0
!!
Faites des schémas ! !
(a; b)
Symétrie d’axe d’équation : x = a
Df doit être centré en a et ∀(a + x) ∈ Df
f (a + x) − b
=
f (−x) = f (x)
Df doit être centré en a et ∀(a + x) ∈ Df
b − f (a − x)
f (a + x)
2
=
f (a − x)
1.6
●
1.
Limites en ±∞ (Étude asymptotique)
Je préfère vous donner toutes les armes pour affronter les calculs de limites.
lim
Factorisation par le terme dominant :
lim
xÐ→±∞
√
x − x2 + 1
x2 − 3x
x+1
√
√
x
+
x2 + 1
√
= lim (x − x2 + 1) ⋅
xÐ→+∞
x + x2 + 1
2.
Expression conjuguée :
3.
Théorème de comparaisons des limites :
4.
Se ramener par un changement de variable en 0 :
xÐ→+∞
lim
xÐ→+∞
1.7
1
x × sin ( )
x
=
sin(X)
X
lim +
XÐ→0
Limites en a ∈ R (Étude locale)
Première situation :
1.
x + sin(x)
lim
xÐ→±∞
lim f (x) =
xÐ→a
0
0
Factorisation de vos polynômes par (x − a) :
lim
xÐ→3
sin (2 ⋅ (x − 1))
lim
xÐ→1
x − 1
2.
Taux d’accroissement :
3.
Théorème de comparaisons des limites :
2x2 + x − 21
x2 − 9
sin (x)
lim
xÐ→0
x
;
;
√
x+3 − 2
lim
xÐ→1
x − 1
1
lim x2 × sin ( )
xÐ→0
x
α
0
– Il suffit dans ce cas d’étudier le signe de α et de faire correctement la différence entre les cas
a− et a+ pour le passage à l’inverse du 1/0.
Seconde situation :
lim f (x) =
xÐ→a
lim
x Ð→ −2
−2 < x
1.8
x − 5
x2 − 4
et
lim
x Ð→ −2
x < −2
x − 5
x2 − 4
Étude du signe de certaines dérivées
Cette section peut paraître très simple mais je préfère vous rappeler les méthodes classiques pour
étudier le signe de vos dérivées et en déduire les variations de votre fonction :
–
Tous les résultats sur l’étude des polynômes, surtout ceux du second degré.
–
∀x ∈ R,
–
−1 ≤ cos(x) ≤ 1
et
−1 ≤ sin(x) ≤ 1
Pensez à dériver une seconde fois si vous ne trouvez vraiment pas de solution et à
considérer α le réel où votre dérivée s’annule si vous ne savez pas trouver sa valeur
précise :
Étudier les variations de f définie sur R par :
3
f (x) = 2ex + x2 + 1
1.9
Les asymptotes — verticales, horizontales et/ou obliques
–
Verticale :
–
Horizontale :
–
Oblique :
1.10
lim f (x) = ±∞
Ô⇒
xÐ→a
lim
xÐ→±∞
lim
xÐ→±∞
f (x) = b
x=a
Ô⇒
y=b
(f (x) − (a ⋅ x + b)) = 0
Ô⇒
y =a⋅x+b
Positions relatives des courbes Cf et Cg
– Cette méthode peut être utilisé entre deux courbes et en particulier pour l’étude de la position
de la courbe par rapport à une asymptote oblique ou horizontale :
Étude du signe de
1.11
f (x) − g(x)
Montrer qu’une équation f (x) = k admet une solution unique et en
donner une approximation
Théorème 1.1 (Valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones). .
f est continue et strictement monotone sur un intervalle I vers un intervalle J = f (I)
–
Si
–
Alors
1.12
∀k ∈ J,
f (x) = k
admet une solution unique sur I
Utiliser la méthode d’Euler
f (α + h)
=
f ′ (α) × h
4
+
f (α)
2
Méthodes sur les fonctions exp et ln (pages 56 et 213)
2.1
Définitions et propriétés de ces fonctions
Définition 2.1 (La fonction exponentielle). La fonction exponentielle est l’unique fonction f définie
et dérivable sur R qui vérifie :
f (0) = 1
{
∀x ∈ R
f ′ (x) = f (x)
– On note cette fonction exponentielle de la manière suivante : exp(x) ou ex .
– On verra par la suite pourquoi nous utilisons la seconde notation ex .
Définition 2.2 (La fonction logarithme népérien). La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Cela permet d’en déduire les propriétés suivantes :
1. L’ensemble de définition de ln est
2. ∀x ∈ R,
ln(ex ) = x
∀x > 0,
et
]0; +∞[
eln(x) = x
3. Les courbes représentatives de x z→ ln(x) et x z→ ex sont symétriques axialement par rapport à
la droite d’équation y = x.
●
exp(x) ∗ exp(y) = exp(x + y) ;
lim
x Ð→ −∞
●
exp(x) = 0 ;
lim
x Ð→ +∞
lim
x Ð→ +∞
ln(x) = −∞ ;
lim
x Ð→ +∞
;
lim
x Ð→ +∞
∀p ∈ Q
exp(p ∗ x) = ( exp(x) )p
;
lim
x Ð→ −∞
∀(x; y) ∈ R2 ,
x
ln ( ) = ln(x) − ln(y)
y
ln(x) = +∞ ;
∀n ∈ N,
exp(x)
= +∞ ;
xn
Propriétés de la fonction logarithme népérien :
x Ð→ 0+
2.2
exp(x)
= exp(x − y)
exp(y)
exp(x) = +∞ ;
ln(x ∗ y) = ln(x) + ln(y)
lim
∀(x; y) ∈ R2 ,
Propriétés de la fonction exponentielle :
;
ln(x)
= 0 ;
xn
xn ⋅ exp(x) = 0
∀n ∈ N,
ln(xp ) = p ∗ ln(x)
lim
x Ð→ 0+
xn ⋅ ln(x)
=
0
Étude du signe d’une fonction
– Utilisation de la croissance des deux fonctions :
e2x+1 − 1 ≥ 0
⇐⇒
e2x+1 ≥ 1
⇐⇒
2x + 1 ≥ 0
⇐⇒
x≥−
1
2
– Factorisation des exponentielles :
En utilisant exp(x) ∗ exp(y) = exp(x + y) , factoriser à l’extérieur par exp(x) revient à enlever x à l’intérieur de vos exponentielles. Et puis
ensuite, vous avez la chance que votre exp(x) soit toujours positif.
– Enlever des puissances avec le ln :
En utilisant ln(px ) = x ∗ ln(p) , vous pouvez
facilement descendre les termes en x en utilisant la fonction ln(x).
5
2.3
●
Équivalence entre une équation en ln et une en exp
Il est toujours plus simple d’étudier une équation avec des exponentielles :
1
⋅ ln(1 + e−x ) = x
2
●
2.4
3
Ensuite, vous étudiez
⇐⇒
f (x) = e3x − ex
e3x − ex = 1
et vous priez que 1.12 fonctionne
Attention à l’ensemble de définition de la fonction ln plz ! !
Méthodes sur le calcul intégral (pages 71 et 229)
3.1
Vous devez impérativement les reconnaître
– Si vous détectez la dérivée d’une expression qui se situe à l’intérieur d’une fonction, vous devez
directement penser aux exemples suivants.
Je rappelle que la constante est une chose secondaire.
● On commence par identifier à quoi ressemble la primitive.
● Ensuite on dérive cette primitive pour en déduire la constante par compensation.
(ln x)4
x
=
2x ⋅ (2x2 + 1)2
3.2
=
1
( ) ⋅ (ln x)4
x
primitive
ÐÐÐÐÐÐ→
1
⋅ (ln x)5
5
1
⋅ (4x) ⋅ (2x2 + 1)2
2
primitive
ÐÐÐÐÐÐ→
1
⋅ (2x2 + 1)3
6
1
⋅ (−2x) ⋅ exp(1 − x2 )
2
primitive
ÐÐÐÐÐÐ→
x ⋅ exp(1 − x2 )
=
−
x
√
x2 − 1
=
1
1
⋅ (2x) ⋅ √
2
x2 − 1
−
primitive
ÐÐÐÐÐÐ→
1
⋅ exp(1 − x2 )
2
√
x2 − 1
Calcul d’une intégrale par le calcul d’une primitive
Théorème 3.1 (Théorème Fondamentale de l’Analyse). Soit f une fonction continue sur un
segment [a; b], alors
∀x ∈ [a; b],
x
∫a
f (t) dt
=
[F (t)]
x
a
=
F (x) − F (a)
où F est une primitive de f sur [a; b].
– Pensez que c’est la fin - le début
dans l’utilisation du théorème précédent.
– Votre fonction doit-être continue sur [a; b] pour pouvoir obtenir une intégrale.
3.3
Calcul d’une aire sous la courbe
– Prenez correctement votre intégrale pour obtenir une aire positive
– ATTENTION : Souvent votre intégrale vous donner un résultat en unité d’aire.
Pensez à passer en correctement en cm2 (par exemple) si on vous le demande.
6
4
Méthodes sur les nombres complexes (pages 89 et 249)
Ce chapitre est plutôt simple mais il faut faire preuve d’une belle maîtrise dans vos calculs.
Faisons un petit tour des méthodes à maîtriser pour ne pas se faire surprendre le jour de l’épreuve.
4.1
Le conjugué : Comment enlever la complexité du dénominateur ?
L’objectif de cette fameuse expression conjuguée est de pouvoir mettre les termes au carré
pour enlever une racine carré ou dans ce chapitre, pour enlever le terme imaginaire i au dénominateur.
● Mettre sous forme algébrique : A
2+i
+ (2 + 3i) ⋅ (−1 − i)
1 − 2i
=
S’il Vous Plaît :
– Ne prenez pas 5 lignes pour développer des expressions faciles. Énoncez le calcul dans votre tête
et essayer de le faire avec le plus de simplifications possibles. Un élève bon en calcul est un
élève qui ne fait pas de calcul.
4.2
Équation du second degré quand ∆ < 0
–
–
–
Pensez aux racines évidentes Ô⇒ Factorisation par (x − a).
√
x2 − 3 = 0 admet deux fuckings solutions ! ! PLZ ! ! N’oubliez pas − 3 ! !
Ne commencez pas à parler du signe d’un nombre complexe même si vous factorisez des termes.
–
Résolution de :
a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0
avec (a, b, c) ∈ R3
√
−b − i −∆
z1 =
et z2 = z1
2⋅a
∆ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
4.3
Formules pour le conjugué, le module et l’argument
z = a+i⋅b
1.
Si
2.
Somme :
3.
Produit : z1 ∗ z2 = z1 ∗z2
4.
Quotient :
5.
Puissance :
z = a−i⋅b
Alors
z1 + z2 = z1 + z2
(
z1
z1
) =
z2
z2
;
∣z∣ =
;
∣z1 + z2 ∣ ≤ ∣z1 ∣ + ∣z2 ∣
∣z1 ∗z2 ∣ = ∣z1 ∣∗∣z2 ∣ ;
;
;
( z )p = (z p ) ;
∣
√
a2 + b 2
z1
∣z1 ∣
∣ =
z2
∣z2 ∣
;
arg(z1 ∗z2 ) = arg(z1 )+arg(z2 ) [2π]
arg (
∣ z ∣p = ∣ z p ∣ ;
z1
) = arg(z1 ) − arg(z2 ) [2π]
z2
arg(z p ) = p × arg(z) [2π]
4.4
La forme trigonométrique (face à la forme algébrique)
4.5
Le bien connu :
4.6
Géométrie : Utiliser l’argument pour mesurer un angle
4.7
Caractérisation d’un ensemble de points
ei⋅θ = cos(θ) + i ⋅ cos(θ)
7
5
Méthodes sur la géométrie dans l’espace (pages 103 et 263)
5.1
Présentation des objets
Définition 5.1 (Comment définir une droite ?). Soit O le centre de notre repère.
→
–
d :=
un point A(a; b; c) + un vecteur directeur non nul Ð
u (u ; u ; u )
x
M (x; y; z) ∈ ∆
⇐⇒
∃ t ∈ R, tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x=
y=
z=
y
z
a + t ⋅ ux
b + t ⋅ uy
c + t ⋅ uz
Définition 5.2 (Comment définir un plan ?). Soit O le centre de notre repère.
→
–
P :=
un point A(a; b; c) + un vecteur normal non nul Ð
n (xn ; yn ; zn )
M (x; y; z) ∈ P
–
P :=
ÐÐ→ Ð
AM . →
n
⇐⇒
=
0
→
→
un point A(a; b; c) + deux vecteurs non colinéaires Ð
u et Ð
v
M (x; y; z) ∈ ∆
⇐⇒
′
Trouver deux réels t et t , tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x=
y=
z=
a + t ⋅ xu + t′ ⋅ xv
b + t ⋅ yu + t′ ⋅ yv
c + t ⋅ zu + t′ ⋅ zv
→
→
À partir de maintenant, nous allons définir une droite par d ∶= (A; Ð
u ) (où Ð
u est son vecteur
→
→
→
→
→
→
directeur) et un plan par P ∶= (A; Ð
n ) (où Ð
n est un vecteur normal) ou P ∶= (A; Ð
u ,Ð
v ) (où Ð
u et Ð
v
sont dans le plan).
5.2
Position relative de deux droites
d // d′
⇐⇒
Méthode 2 (Sont-elles sécantes ?). .
→
–
d ∶= ( A(a; b; c) ; Ð
u (xu ; yu ; yu ) )
d et d′ sont sécantes en (x; y; z)
⇐⇒
●
Remarque :
→
(B ; Ð
v)
Ð
→
→
u et Ð
v sont colinéaires
d′ ∶=
et
→
( B(a′ ; b′ ; c′ ) ; Ð
v (xv ; yv ; zv ) )
Trouver deux réels t et t′
Méthode 3 (Sont-elles orthogonales ?).
d et d′ sont orthogonales
→
(A ; Ð
u ) et d′ ∶=
d ∶=
Méthode 1 (Sont-elles parallèles ?).
d ∶=
⇐⇒
a + t ⋅ x u = a′ + t ′ ⋅ x v
b + t ⋅ yu = b′ + t′ ⋅ yv
c + t ⋅ zu = c′ + t′ ⋅ zv
x = a + t ⋅ xu
y = b + t ⋅ yu
z = c + t ⋅ zu
→
(A ; Ð
u ) et d′ ∶=
Ð
→
→
u et Ð
v
Si deux droites sont parallèles ou sécantes,
8
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
→
(B ; Ð
v)
sont orthogonaux
alors elles sont coplanaires.
5.3
Position relative d’une droite et d’un plan
Méthode 4 (La droite est-elle parallèle au plan ?). ! !
→
→
–
d ∶= (A ; Ð
u ) et P ∶= (B ; Ð
n)
d // P
–
d ∶=
→
(A ; Ð
u ) et P ∶=
d // P
⇐⇒
Si non, elle est sécante ! !
Ð
→
→
⇐⇒
u et Ð
n sont orhogonaux
→
→)
(B ; Ð
v ; Ð
w
Trouver deux réels α et β, tel que
Ð
→
u
=
→
→
α⋅Ð
v + β⋅Ð
w
Méthode 5 (La droite est-elle perpendiculaire au plan ?). .
→
→
–
d ∶= (A ; Ð
u ) et P ∶= (B ; Ð
n)
d ⊥ P
–
d ∶=
→
(A ; Ð
u ) et P ∶=
d ⊥ P
5.4
Ð
→
→
⇐⇒
u et Ð
n sont colinéaires
→
→)
(B ; Ð
v ; Ð
w
Ð
→
→
u .Ð
v =0
⇐⇒
Ð
→
→=0
u .Ð
w
et
Position relative de deux plans
Méthode 6 (Les deux plans sont-ils parallèles ?). ! ! Si non, ils sont sécants ! !
→
→
→
→ sont colinéaires
–
P ∶= (A ; Ð
n ) // P ′ ∶= (B ; Ð
m)
⇐⇒ Ð
n et Ð
m
→
→
→
Ð
→
→
→
→
–
P ∶= (A ; Ð
n ) // P ′ ∶= (B ; Ð
u ,Ð
v ) ⇐⇒
n .Ð
u = 0 et Ð
n .Ð
v =0
Méthode 7 (Les deux plans sont-ils orthogonaux ?). .
→
→
→
→ sont orthogonaux
–
P ∶= (A ; Ð
n ) ⊥ P ′ ∶= (B ; Ð
m)
⇐⇒ Ð
n et Ð
m
→
→
→
–
P ∶= (A ; Ð
n ) ⊥ P ′ ∶= (B ; Ð
u ,Ð
v)
⇐⇒
Trouver deux réels α et β, tel que
Ð
→
n
=
→
→
α⋅Ð
u + β⋅Ð
v
Méthode 8 (Quelle droite est l’intersection des deux plans ?). .
→
● Etape la plus difficile : Déterminer un vecteur directeur Ð
u de cette droite.
→
→)
Ð
→
→
→
→=0
–
P ∶= (A ; Ð
v ) et P ′ ∶= (B ; Ð
w
Ô⇒
u .Ð
v = 0 et Ð
u .Ð
w
→
→
→, Ð
–
P ∶= (A ; Ð
v ) et P ′ ∶= (B ; Ð
w
w′ )
Ô⇒
Trouver deux réels α et β tel que :
9
Ð
→
u
=
→
→ + β⋅Ð
α⋅Ð
w
w′
et
Ð
→
→
u .Ð
v =0