1 S – Probabilités – Partie 1 Quelques rappels On tire au

1ère S – Probabilités – Partie 1
Quelques rappels
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32.
1. Préciser l’ensemble Ω de tous les résultats possibles de cette expérience aléatoire.
2. Quelle loi de probabilité peut-on choisir sur cet ensemble ? équiprobabilité
3. Quelle est la probabilité de l’événement A : « Obtenir un 7, un 9 ou un 10 » ?
4. On convient que pour jouer, la mise est de 5 € et que le joueur gagne 5 € si la carte tirée est une
figure, 10 € si c’est un as, et 0 € dans les autres cas. De plus la somme est doublée lorsqu’il s’agit
d’un cœur. Quel peut être le gain algébrique en tenant compte de la mise qui n’est pas récupérée ?
5. On désigne par X le procédé qui associe à chaque élément de Ω le gain algébrique du joueur.
Compléter : X(« huit de cœur »)= 5
X(« roi de pique »)= 0
X(« dame de
cœur »)= 15 Quel objet mathématique reconnaît-on dans X ? (une loi de probabilité)
6. On note (X = - 5) l’événement le gain est une perte de 5 €. En déduire la probabilité de cet
événement.
7. Pour chacune des valeurs possibles de X, calculer la probabilité
et remplir le tableau
suivant :
5
0
5
15
16
9
6
1
32
32
32
32
8. Calculer la somme des probabilités
. Etait-ce prévisible ? On trouve 1
Définition :
On considère un ensemble fini Ω et une loi de probabilité p définie sur Ω.
Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction définie sur Ω à valeurs dans . Si , , . . ,
désignent les valeurs prises par X, on note «
» l’événement « X prend la valeur ». on définit une
nouvelle loi de probabilité associée à X par la donnée des réels
et des probabilités
pour 1
.
On présente souvent cette loi sous forme de tableau
….
…
On vérifie que la somme des probabilités vaut 1.
Paramètres
On appelle :
Espérance de X le nombre noté
défini par
.
Variance de X le nombre noté
défini par
ou
"
"
∑"
∑"
#
$
encore
. On peut montrer que
Ecart type de X le nombre noté %
défini par %
.
&
'
Calculer l’espérance et l’écart type dans l’exemple ci-dessus.
%
* 7,05
(
Propriété
Soit a et b des réels. ,
,
- et ,
,
.
L’espérance de gain s’interprète comme la moyenne des gains obtenus en jouant un très grand nombre de
fois. Le jeu est favorable au joueur si l’espérance est strictement positive, défavorable si elle est
strictement négative. Si l’espérance est nulle, le jeu est équitable.
L’écart type du gain mesure la dispersion des gains autour de l’espérance (qui représente la moyenne..).
Plus l’écart type est grand, plus le degré de risque du jeu est grand.
Démonstration par l’absurde p.186 Exercices 2 et 4 p.186
Exercices résolus p.188 à 193
Exercices n°19,20,21,34,36,39,41,46,48,54,61,73,77,82
DM n°96 p211